3.1 代数式 课件　2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

课时1 代数式 3.1 代数式 第三章 整式及其加减 22201 1.能正确列出代数式。 2.经历用字母表示数的过程，理解字母表示数的意义，了解代数式的意义，发展符号感。 学习目标 22201 想一想，填一填： 兔子数量 嘴/张 耳朵/只 腿/条 1只 2只 3只 … n只 1 2 4 2 4 8 3 6 12 … … … n 2n 4n 导入新课 22201 用长度相同的小棒按下图所示的方式拼摆正方形。 （1）拼摆5个这样的正方形需要_____根小棒。 16 第1个 4根 第2个 3根 第3个 第4个 第5个 3根 3根 3根 探究1：用字母表示数 新知探究 22201 2025/9/11 4 用火柴棒搭正方形： 　 （2）拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样得到的？ 活动：以小组为单位讨论（5分钟） 要求:①说明你的计算方法，并列出算式。 ②尽量找出多种计算方法。 新知探究 22201 2025/9/11 5 　 （2）拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样得到的？ 第1个 4根 第2个 3根 第3个 第4个 第100个 3根 3根 3根 (1001)个 100个正方形需要的火柴棒根数： …… 新知探究 22201 2025/9/11 6 　 （2）拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样得到的？ 1根 3根 3根 3根 3根 100个 100个正方形需要的火柴棒根数： 1 3根 …… 新知探究 22201 2025/9/11 7 　 （2）拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样得到的？ 100根 100个正方形需要的火柴棒根数： 100根 (100＋1)根 新知探究 22201 2025/9/11 8 　 （2）拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样得到的？ 100个正方形需要的火柴棒根数： …… 4根 4根 4根 4根 4根 多了(1001)根 新知探究 22201 2025/9/11 9 用火柴棒搭正方形： 　 （3）拼摆个这样的正方形需要多少根小棒？与同伴进行交流。 ③ ②1 ① ① ②1 ③ 新知探究 22201 2025/9/11 10 用火柴棒搭正方形： 　 （4）拼摆个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样计算的？与同伴进行交流。 ① ②1 ③ ＝4×200-(200-1)＝601 新知探究 22201 2025/9/11 11 （1）在上面的活动中，我们借助字母表示正方形的个数与小棒的根数之间的关系，这样做有什么好处？ 用字母表示数，能把数量和数量关系一般而又简明地表达出来，从而为描述和研究问题带来方便。 思考·交流 新知探究 22201 （2）在以前的学习中还有哪些地方用到了字母？这些字母都表示什么？与同伴进行交流。 思考·交流 新知探究 22201 运算定律 字母表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 ①用字母表示数的运算律 新知探究 22201 名称 图形 用字母表示公式 周长（C） 面积（S) 长方形 三角形 梯形 圆 b a a b c h ②用字母表示图形的周长和面积 b h c d a r 新知探究 22201 ①同一个字母，在不同的问题中可以代表不同的量， 在同一问题中，不同的量要用不同的字母来表示； ②数与字母，字母与字母相乘时，可以用“·”来代替，或者省略不写； ③或与字母相乘时，通常省略不写； ④除法通常写成分数的形式，如通常写成 ； ⑤代数式后面有单位时，和、差形式的代数式要在单位 前把代数式括起来。 字母可以表示任何数： 归纳总结 22201 （1）今年李华岁，去年李华________岁，5年后李华________岁。 （2）个人天完成一项工作，那么平均每人每天的工作量为______。 尝试·思考 探究2：代数式的概念 新知探究 22201 （3）某商店上月的收入为元，本月收入比上月收入的2倍还多10元，本月收入是____________元。 （4）如果正方体的棱长是，那么正方体的体积是____________，表面积是____________。 新知探究 22201 观察下列各式： ， ， 它们有什么共同的特征？与同伴交流。 它们都是用运算符号把数与字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出带代数式的值。 22201 例1：下列各式中哪些是代数式？哪些不是？ 注意：(1)代数式中不含表示关系的符号。 ( ) (2)单独的一个数或字母也是代数式。 典型例题 22201 20 判断下列式子哪些是代数式，哪些不是. (3) (4) (5) (6) (1) (2) 练一练 新知探究 22201 21 2.为了庆祝六一儿童节，某幼儿园矩形用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示，按照图中的规律，摆n个“金鱼”需要用火柴棒的根数为（ ） A.2＋6n B.6n＋8 C.8n D.4n＋4 B A 1．如果甲数为x，且乙数为甲数的3倍，那么乙数是(　　) A.x B．3x C．x＋3 D．x＋ 随堂练习 22201 5.如图, 用字母表示图中 阴影部分的面积是_________。 m n p q 3.某市某日的温差为11 ℃，最高气温为t ℃，则最低气温可表示为 ℃。 4.假设k是一个奇数，则比k大且与k相邻的一个奇数是 。 mn－pq (t－11) k＋2 6.超市卖了x瓶啤酒和y瓶矿泉水，已知啤酒每瓶5元，矿泉水每瓶1.5元，则超市共卖了 元。 （5x＋1.5y） 随堂练习 22201 代数式 识别代数式 书写规范 根据简单实际问题列出代数式 代数式的概念 代数式的应用 课堂小结 22201 课时2 代数式求值 3.1 代数式 第三章 整式及其加减 22201 2.能在具体情境中，解释代数式的实际意义． 1.在具体情境中，能正确列出代数式，会把具体数代入代数式进行计算． 学习目标 22201 当输入x的值为3时，你能求出输出的结果吗？ 输出的结果-3。 导入新课 22201 例1：列代数式，并求值。 某景点的门票价格：成人票每张元，学生票每张元。 (1)一个旅游团有成人人，学生人，那么该旅游团应付多少门票费？ 解：(1)该旅游团应付的门票费是元。 探究点1：代数式求值（直接代入求值） 新知探究 22201 例1：列代数式，并求值。 某景点的门票价格：成人票每张元，学生票每张元。 (2) 如果该旅游团有37个成人，15个学生，那么他们应付多少门票费？ 解：（2）把代入代数式，得 因此，他们应付元门票费。 新知探究 22201 如果用表示1支铅笔的价格，用表示1本练习本的价格，那么可以表示____________________________的总钱数； 10支铅笔和5本练习本 如果用和分别表示1个篮球和1个足球的价格， 那么就表示________________________共多少钱。 10个篮球和5个足球 探究点2：解释代数式的实际意义 代数式10x+5y还可以表示哪些生活中的问题? 新知探究 22201 代数式可以表示什么？ 解：①如果表示正六边形的边长，那么代数式可以表示正六边形的周长； ②如果表示一本书的价格，那么可以表示买6本这种书的价格； ③如果1条长凳可以坐6个小朋友，那么可以表示条长凳可以坐个小朋友。 (答案不唯一，合理即可) 练一练 新知探究 22201 营养学家用身体质量指数(简称BMI)衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重与人体身高平方的商。对于成年人来说，BMI在18.5~24之间，体重适中；BMI低于18.5，体重过轻；BMI高于24，体重超重。 (1)设一个人的体重为，身高为，请用含 的代数式表示这个人的BMI。 解：(1)他的身体质量指数是： . 尝试·思考 22201 (2)将代入 ，得： 由于在到之间，因此，他的体重适中。 营养学家用身体质量指数(简称BMI)衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重与人体身高平方的商。对于成年人来说，BMI在18.5~24之间，体重适中；BMI低于18.5，体重过轻；BMI高于24，体重超重。 (2)张老师的身高是1.75m，体重是65kg，他的体重是否适中？ 22201 营养学家用身体质量指数(简称BMI)衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重与人体身高平方的商。对于成年人来说，BMI在18.5~24之间，体重适中；BMI低于18.5，体重过轻；BMI高于24，体重超重。 (3)BMI对未成年人的胖瘦程度也有一定的参考意义，请计算你的BMI。 22201 填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况。 字母取值与代数式值的对应关系： 字母的值变化，代数式的值随之变化； 字母的值确定，代数式的值随之确定。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 5n+6 n2 11 16 21 26 31 36 41 46 1 4 9 16 25 36 49 64 探究点3：理解字母取值与代数式值的联系，推断代数式值的规律 22201 填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况。 （1）随着的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ 随着的值逐渐变大，两个代数式的值逐渐增大。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 5n+6 n2 11 16 21 26 31 36 41 46 1 4 9 16 25 36 49 64 22201 填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况。 （2）估计一下，哪个代数式的值先超过100. 先超过100。 根据代数式值的变化趋势，可以预测代数式值的规律。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 5n+6 n2 11 16 21 26 31 36 41 46 1 4 9 16 25 36 49 64 22201 输入 2 机器1的输出结果 机器2的输出结果 输入x 输入x 输出 输出 ×6 －3 ×6 －3 右面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图1的输出结果，写出图2的运算过程。 练一练 22201 （1）5箱苹果重m kg，每箱重 kg ； （2）一个数比a的2倍小15，则这个数为 ； （3）全校学生总数是x，其中女生占总数52%，则女生人数是 ，男生人数是 ； （4）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每人分4本，还缺25本，则这批图书共 本； 1.用式子表示下列数量： 2a-15 0.52x 0.48x （4a-25） 随堂练习 22201 2.按如图所示的程序计算，若开始输入的数为x=3，则最后输出的结果是( ) A.6 B.21 C.156 D.231 D 随堂练习 22201 3.当a=2，b=-1时，求下列代数式的值： (1)2a+5b； (2)a2-2ab+b2. 解：(1)当a=2，b=-1时， 原式=22-2×2×(-1)+(-1)2=4+4+1=9. 原式=2×2＋5×(-1)=4-5=-1. (2)当a=2，b=-1时， 随堂练习 22201 4. 根据一项科学研究，一个10～50 岁的人每天所需的睡眠时间t (单位:h)可用公式 t=11- 计算出来，其中n代表这个人的年龄。 根据这个公式，解答下列问题: (1) 一个15岁的未成年人每天所需的睡眠时间是多少? 解：当 n=15 时， t=11- =11- =9.5 。 因此，一个15岁的未成年人每天所需的睡眠时间是 9.5 h 。 随堂练习 22201 4. 根据一项科学研究，一个10～50 岁的人每天所需的睡眠时间t (单位:h)可用公式t=11-计算出来，其中n代表这个人的年龄。根据这个公式，解答下列问题: (2) 一个35岁的成年女性每天睡眠时间是7h，她的睡眠时间够吗? 解：当 n=35 时， t=11- =11- =7.5 。 因为7＜7.5，所以她的睡眠时间不够。 随堂练习 22201 给代数式赋予实际意义。 代数式 字母取值与代数式的值相互对应。 根据具体情景列代数式及求值。 根据代数式值的变化趋势，预测代数式值的规律。 代数式 代数式值 课堂小结 22201 课时3 整式 3.1 代数式 第三章 整式及其加减 22201 1. 通过具体实例理解单项式、多项式、整式的概念. 2. 理解单项式的系数、次数，多项式的项、次数等概念. 学习目标 22201 1.代数式是指用 把数和字母连接起来而形成的式子。 2.列代数式： （1）原价为a元的书包，现按8折出售，则售价为 元. （2）甲、乙两人一起在体育场锻炼，体育场跑道每圈400米，甲跑了m圈，乙跑了n圈．甲乙两人共跑了 米. （3）某种苹果的单价是x元/kg（x＜10），用50元买5kg这种苹果，应找回 元. 0.8a （400m+400n） （50-5x） 运算符号 复习回顾 22201 一个组合柜如图所示，内部用隔板纵向分隔成5个独立的小柜子，柜门由5个完全相同的长方形组成。 导入新课 22201 (1)若要在5个柜门的周边都贴上装饰条，则所需装饰条的总长度是多少？ (2)若要给柜门外表面喷漆，则需要喷漆的面积是多少(边框缝隙忽略不计)？ (3)设柜门的进深为，则整个柜子的容积是多 少(柜门、隔板及背板的厚度忽略不计)？ (1) (2) (3) 这三个式子都是 代数式，那么不同的代数式之间又有哪些区别和联系呢？ 22201 都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式. 单独一个数或一个字母也是单项式． 例如:像-2,a,-b等是单项式. 0.8a，5ab，5abc，3v，6p等. 想一想：（1）下面这些式子有什么特点？和同伴交流. 注意:像等不是数字与字母乘积的形式，因此不是单项式. 探究一：单项式与多项式的概念 新知探究 22201 上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式. 几个单项式的和叫作多项式。 400m+400n ，50-5x，5a+5a+10b. 想一想： （2）观察下面这些式子又有什么特点呢？ 单项式和多项式统称整式。 新知探究 22201 x，－3m2，π，－4 x，－3m2，π，－4 练一练 22201 1.识别单项式的要点： (1)单项式中不能含有加减运算，不能含有表示大小关系的符号； (2)单项式的分母中不能含有字母． 2.单项式、多项式、整式的区别与联系： 区别：单项式不含加减运算，多项式必含加减运算． 联系：多项式是几个单项式的和，单项式和多项式都是整式． 方法归纳 22201 探究二：单项式和多项式的相关概念 思考：（1）单项式中的数字和字母各有何意义呢? 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数（包括数字前面的符号）. 例如：5ab的系数是5，3v的系数是3. 所有字母的指数和叫作这个单项式的次数. 例如：5ab是2次的，3v是1次的. 注意:作为单项式,单独一个非零数的次数是0. 新知探究 22201 2.判断下列说法是否正确: ①－7xy2的系数是7；（ ） ②－x2y3的次数是5；（ ） ③－ab3c2的次数是0＋3＋2；（ ） ④－a3的系数是－1； （ ） ⑤－32x2y3的次数是7；（ ） ⑥ πr2h的系数是1.（ ） × × × × √ π是系数的一部分 －32是系数 勿遗漏a的指数1 单项式的系数包括数字前面的符号 √ 练一练 22201 单项式 3a r2 系数 次数 3.写出下列各单项式的系数和次数 3 1 π2 1 3 1 4 -1 3 练一练 22201 确定单项式的系数和次数的注意事项： (1)单项式的系数：若一个单项式只含有字母因数，则它的系数是1或－1；若单项式是一个常数，则它的系数就是它本身． (2)单项式的次数是所有字母的指数的和，与系数的指数无关，如24x2y3的次数是5，而不是9.单独一个数的次数是0. 方法归纳 22201 思考：（2）多项式中的数字和字母各有何意义呢?多项式有没有系数和次数呢？ 在多项式中,每个单项式叫作多项式的项(不含字母的项叫作常数项). 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 例如：多项式10x+5y是10x与5y两项的和. 例如：10x+5y是1次的，是3次的. 新知探究 22201 (1)如图，一个十字形花坛铺上了草皮，这个花坛草地面积是多少？ a b c c (2)当水结冰时,其体积大约会比原来增加，x m3的水结成冰后体积是多少？ 请列出下列问题中的代数式，并指出其中：①哪些是单项式？单项式的系数和次数分别是多少？②哪些是多项式？多项式的次数是多少？ 解：(1)这个花坛草地面积是, 它是多项式，次数是2. (2)x m3的水结成冰后体积是 m3, 它是单项式，次数是1. 尝试·思考 22201 (4)某件商品的成本价为a元，按成本价提高15%后标价，后又以八折（即按标价的80%）销售，这件商品的售价为多少元？ (3)如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是 a，b，c.这个箱子露在外面的表面积是多少？ (4)这件商品的售价为80%(1+15%)a=0.92a元， 它是单项式，次数是1. (3)这个箱子露在外面的表面积是ab+ac+bc, 它是多项式，次数是2. 22201 解：单项式：2m，－ab2c，a，－x. 多项式：ab＋c，ax2＋c，y＋2. 单项式2m，－ab2c，a，－x的系数分别为2，－1，1，－.多项式ab＋c，ax2＋c，y＋2的次数分别为2，3，1. 例1：下列代数式中哪些是单项式?哪些是多项式?指出其中单项式的系数和多项式的次数. ab+c，2m，ax2+c，-ab2c，a，x，y+2. 典型例题 22201 例2：如果多项式3xm－2－（n－1）x＋1是关于x的二次二项式，试求m，n的值． 所以m－2＝2，n－1＝0． 解得：m＝4，n＝1． 答：m，n的值为m＝4，n＝1． 解：因为多项式3xm－2－（n－1）x＋1是关于x的二次二项式， 典型例题 22201 1.下列说法中，正确的是(　　) A．－的系数是 B.的系数是 C．3ab2的系数是3a D.－的系数是－ 2.下列式子中不是多项式的是(　　) A．2x＋3 B. C．5－ D．3x2－2x＋2 D C 随堂练习 22201 3.已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以 是(　　) A．－2xy2 B．3x2 C．2xy3 D．2x3 4.多项式－3x2＋2x的二次项系数、一次项系数和常数项分别 为(　　) A．3，2，1 B．－3，2，0 C．－3，2，1 D．3，2，0 D B 随堂练习 22201 5.若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值。 解:∵关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1 不含二次项和一次项，∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1。 ☀归纳 多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0。 随堂练习 22201 单项式 整式 系数：单项式中的数字因数。 次数:所有字母的指数的和。 多项式 项：式中的每个单项式叫多项式的项。（其中不含字母的项叫作常数项） 次数：多项式中次数最高的项的次数。 课堂小结 22201 ，x－y2＋3 1.有下列代数式：，x，－3m2，π，，－4，x－y2＋3，x＋. 单项式为 ， 多项式为 ， 整式为 ． ，x－y2＋3 $