精品解析：2023年湖北省黄冈市黄冈中学自主招生预录考试数学试题

黄冈市2023年初中毕业生学业水平能力抽测数学试题 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 某商品连续两次涨价，由每件100元涨为每件144元，平均每次上涨的百分比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用，掌握直接开方法解一元二次方程，增长率的计算方法是解题的关键．设平均每次上涨的百分比为x，根据增长率的计算方法列方程即可求解． 【详解】解：设平均每次上涨的百分比为x， 依题意得，， 解得（负值已舍去）， 即平均每次上涨的百分比为， 故选：D． 2. 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标的变化规律，图形的旋转问题，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，读题意得出坐标的变化规律是解本题的关键．根据题意得出，，，进而得出点坐标变化规律， 从而得出点的坐标即可． 【详解】解：由题意可得出：，，， 则， 将线段按逆时针方向旋转， 每个点循环一圈， ， 点的坐标与点的坐标在第三象限， ， 到轴的距离为：， 到轴的距离为， 点的坐标为． 故选：A． 3. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短，可知即为最短距离，然后根据勾股定理求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于的对称点，过点B作于点C， ∵形容器高为，点A处离杯上沿，点B处离杯底， ∴，， ∴， ∵底面周长为， ∴， 根据勾股定理可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查平面展开，最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质找出最短路径是解题的关键． 4. 方程的根可视为函数与图像交点的横坐标，若关于x的方程（）有一个根为，则的范围可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程整理为，故该方程的根可视为函数与图像交点的横坐标，画出相应的函数图像，并结合二次函数和反比例函数的图像与性质即可得到的取值范围． 【详解】解：对于方程，可整理为， 故该方程的根可视为函数与图像交点的横坐标， 函数图像大致如下图所示， 当时，二次函数， ∵， ∴， 此时反比例函数， 根据二次函数和反比例函数的增减性可知，交点在的右边； 当时，二次函数， ∵， ∴， 此时反比例函数， 根据二次函数和反比例函数的增减性可知，交点在的左边； ∵交点在第一象限， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数的交点问题，解题关键是得到所求方程为一个二次函数图像和反比例函数图像的交点的横坐标． 5. 如图，在正方形外取一点P，连接、、．若，．则的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，使、在两侧，，连接，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，易发现，以此即可通过证明，则，由三角形的三边关系可得，以此即可解答． 【详解】解：过点作，使、在两侧，，连接， ， ∵四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ∴当点P落在线段上时，有最大值为， 的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、三角形三边关系，解题关键是正确作出辅助线，利用三角形三边关系解答． 6. 抛物线（，，为常数）开口向下且过点，．以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则； ④抛物线与轴交于，两点，则，其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断①②，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断③；根据二次函数图象与系数的关系求得抛物线与x轴交于M、N两点的坐标，进而求得，结合，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，抛物线交y轴于正半轴，即 ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线开口向下，， ∴时，， 故②正确； ∵抛物线（，，为常数）开口向下且过点，， ∴抛物线解析式可化为， ∵有两个不相等的实数根， ∴，有两个不相等的实数根，即抛物线与直线有两个交点， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线顶点纵坐标大于1，即， ∴ 故③正确； ∵抛物线（，，为常数）开口向下且过点，， ∴，， ∴，， 令，则， 即， 解得或， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故④正确； 综上，正确的个数为4． 故选：D． 7. 已知二次函数与一次函数交于、两点，当时，至少存在一个x使得成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得二次函数对称轴为直线，联立两函数得，求得，，当时，要使得至少存在一个x使得成立，只需当时，即可，三种情况：①当时，②当时，③当时，进行讨论即可． 【详解】解：二次函数与一次函数交于、两点， 则：，整理得：， 即：， ∴，， 的对称轴为直线， 当时，要使得至少存在一个x使得成立，只需当时，即可， ①当时，即：，则当时，随增大而减小， ∴当时，取最大值，， 可得：，即， ②当时，即：，则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴当时，取最大值，， 可得：，即， ③当时，即：，与矛盾， 综上所述：． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，二次函数的性质，确定最大值应大于等于，再进行分类讨论是解决问题的关键． 8. 如图，是⊙的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点，若，，则⊙的半径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出，即可解答． 【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ，， 与是等圆， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 的半径为． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，翻折变换（折叠问题），圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．） 9. 一列火车匀速通过一座1600米长的桥，从火车上桥到火车完全离开桥经历100秒，整列火车在桥上的时间为60秒，则该火车的长度为______米． 【答案】400 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程；本题设火车的长度为米，利用速度 路程时间，结合火车的速度不变，可得出关于x的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设火车的长度为米， 根据题意得： ， 解得：． 故答案为：400. 10. 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是 ______ 【答案】#### 【解析】 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】如图所示： 由勾股定理知：， ， 即电梯内能放入这些木条的最大长度是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 11. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为______m．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】242 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴隧道AB的长度约为. 故答案为：242 ． 12. 已知，，当时，函数，当时，函数．在函数得图象上，当取一实数时，存在三个不同得实数，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合思想是解题的关键．先作出函数的图象，根据图象得出结论． 【详解】解：联立， 解得：，， 则两函数交点为和， ， 则的顶点坐标为， 函数的图象如下： 由图象得：当位于和之间时，取一实数时，存在三个不同的实数， ． 故答案为：． 13. 已知等边，点是直线BC上一点，且满足，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，分两种情况讨论，即点在线段上或者点在线段的延长线上两种情况，过点作的垂线段交于点，求出的值即可解答． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示，过点作的垂线段交于点， 设等边的边长为， ，为等边三角形， ，， ， ①当点在线段上，即图中的位置， ， ， ， ． ②当点在线段的延长线上，即图中的位置， ， ， ， ． 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，分类讨论，求角的正切值，能够按照题意画出图形并且画出辅助线是解题的关键． 14. 在中，，，点D在内部，且满足，若的面积为18，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，平行的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交的延长线于点，先证明，再通过，得到，推出，得到，从而证明，接着证明，即可得，根据三角形的面积公式，即可解答． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示： ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， 的面积为18， ， ． 故答案为：6． 15. 在一个不透明的布袋中装有四个球，球上分别标有数字，0，，这些除球了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字，则使得二次函数不经过第四象限的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数不经过第四象限，，，或，再列表或画树状图，列出、的所有可能的值，进而得到二次函数不经过第四象限的概率． 【详解】解：∵二次函数不经过第四象限， ∴，或顶点纵坐标，， 即：，或， 列表： 0 0 共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为5， ∴二次函数不经过第四象限的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果,再从中选出符合事件或的结果数目,然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 也考查了二次函数的图象与性质． 16. 在平面直角坐标系中，点是y轴上一点，已知点（不与点重合），将点绕点逆时针方向旋转得到点，则称点、互为和谐点，把其中一个点叫做另一个点的和谐点．已知点、，点在一次函数的图像上．若在线段上存在点的和谐，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图1，B、Q为和谐点，设，为等腰直角三角形，在图2中，、为和谐点，设，为等腰直角三角形，分别利用三角形全等求出两图中的的值即可得出最后结论． 【详解】解：如图1，B、Q为和谐点，设，为等腰直角三角形，过点作轴于， ， ，， ， ， ， ，， ， 在图2中，、和谐点，设，为等腰直角三角形，过点作轴于， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 综上所述：， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转后线段长度不变，解题的关键是学会构造等腰直角三角形解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题（本大题共6小题，共56分． 解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 对于平面直角坐标系中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”． （1）已知点的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线 经过点P，且与x轴交于点B．若的面积不小于6，求k的取值范围； （2）已知点，，且⊙的半径为1．当⊙与点C的特征线存在交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为，求出的面积为6时点B的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式，结合图形即可解决问题； （2）如图3中，由题意点C特征线的解析式为或，当与直线相切于点M时，当与直线相切于点N时，分别求出 ，，结合图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：设过点P平行于第、二四象限角平分线的特征线的解析式为， ， ∴， ∴过点P平行于第、二四象限角平分线的特征线的解析式为， ∴， 当的面积为6时，， ∴， ∴或， 当经过，时， ，解得 ， 当直线经过，时， ，解得， 观察图形可知满足条件的k的值为且； 【小问2详解】 如图3中，由题意点C的特征线的解析式为或， 当与直线相切于点M时，连接， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴，此时， 当与直线相切于点N时，同理可得，此时， 结合图象可知满足条件的t的值为：． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质、三角形的面积、点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用特殊位置解决问题． 18. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点，点B是线段的中点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）动点在y轴上运动，当的值最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，根据题意求得的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）联立方程求得的坐标，然后根据即可求得的面积； （3）作点关于轴的对称点，延长交轴于点，点即为所求． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数的图象上， ， ； ∵，点B是线段的中点， ∴， ∵，在的图象上， ， 解得 ； 【小问2详解】 解：由 解得， ， ， ； 【小问3详解】 解：关于轴的对称点，延长交轴于点 设直线函数关系式为：， 得：，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴点P的坐标， ∴当的值最大时，点P的坐标为 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得A点的坐标是解题的关键． 19. 已知抛物线与轴交于，（在左边）两点，与轴交于点，是抛物线上一点． （1）当时，求点的坐标； （2）若点在第一象限，过点的直线交轴于点，与直线交于点，求的最大值及此时的点坐标． 【答案】（1）或 （2）最大值2， 【解析】 【分析】（1）先根据题意得到点A、B、C的坐标，分情况讨论：当在直线上方时，可知轴，即可求得点P的坐标；当在直线下方时，设交轴于，根据等角对等边可知，进而求得，然后利用待定系数法求得直线的解析式，最后和抛物线解析式联立，即可求得点P的坐标； （2）先求得直线的解析式和点的坐标，得到，过作轴交轴于点，交于，可得，进而得到，然后设，则，得到，最后利用二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，（在左边）两点，与轴交于点， 当时，，解得，， 当时，， ∴，， 如图所示， 当在直线上方时， ∵ ∴轴， ∴点的纵坐标为2， ∴把，代入，得（舍去）， ∴； 当在直线下方时，设交轴于， ∵ ∴，即， 解得，即， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； 由， 解得（舍去）， ∴此时点得坐标为， 综上，点得坐标为或． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵过点的直线交轴于点，当时，， ∴， ∴ 过作轴交轴于点，交于，如图所示， 则∥， ∴， 设，则， ， ∵， ∴当时，有最大值，即有最大值，最大值为2， 此时当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的交点，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 20. （1）三角形中，，，是线段上的点，满足，求． （2）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用，不妨设，则，设，则，然后在直角三角形中利用勾股定理得到，进而得到，即可求得答案； （2）分两种情况讨论：当时，延长，相交于点E，利用30度直角三角形的性质得到，，再利用勾股定理求得，进而求得；当时，过点D作于点M，于点N，证四边形是矩形，然后利用30度直角三角形的性质得到，再由勾股定理得到，进而得到，，结合，得到，最后由勾股定理，即可求得答案． 详解】解：（1）如图， ∵，， ∴，即， 不妨设，则， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理，， ， 即，， ． （2）①如图，当时，延长，相交于点E， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图，当时，过点D作于点M，于点N， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ，，，， ， ， ， ，， ∵， ， ， ， 综上，长为或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，30度直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线采用分类讨论的思想方法是解题的关键． 21. 已知抛物线与x轴交于两点． （1）直接写出抛物线的函数解析式； （2）如图1，P是抛物线上一点，且在直线的上方．点E为中点，作轴交于点Q，若四边形为平行四边形，求点P的横坐标； （3）如图，点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接分别交、y轴于D、E两点，若，的面积分别为，求的最大值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质，一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得点，从而得出的长度，接着求的解析式，设，，然后利用求得答案； （3）过N作轴于K，设，则，接着求得直线的解析式，表示出点，，最后由二次函数的性质求得最值． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于两点， ， ， ； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点C的坐标是， ， ∵四边形为平行四边形，E为中点， ， 设直线的解析式为，代入，， 则， ∴直线的解析式为， 设， ， ， ， ∴点P的横坐标为； 【小问3详解】 解：如图2，过N作轴于K， 设，则， 设直线的解析式为，代入点，， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值． 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形 中，已知，，点是边上的一个动点． 【操作判断】 （1）如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．再将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则的度数为______°； 【迁移探究】 （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长； 【综合应用】 （3）如图3，点在边上运动，且始终满足，沿将翻折，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长． 【答案】（1）30；（2）或；（3）最大值是，此时 【解析】 【分析】（1）由折叠得：，再根据线段垂直平分线的性质定理即可证，接着证明是等边三角形即可求出角度． （2）当点落在对角线上点时，设，由折叠得：，，，，然后在中，用勾股定理即可求解；当点落在对角线上点时，先证明，利用，求得答案； （3）设，分别求出和时，面积所满足的函数关系式，并在的取值范围内求出各自的最大值，对最大值再进行比较取较大的最大值． 【详解】（1）解：如图， 将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：30； （2）解：①如图，当点落在对角线上点时， 在矩形中，，， ， 设，由折叠得： ，，，， ， ， ， 解得：， ； ②如图，当点落在对角线上点时，由题意可知BP垂直平分AE， ，， ， 故在直角三角形中，， ； 综上所述：的长为或． （3）解：， ， 设， ， 解得：， 如图，翻折后的三角形为， ，， ①当点在与之间或在对角线上时，如上图： ， ， 此时折叠后与重叠部分面积：， ， 在，当时， ； ②当点在对角线的右侧时，交于，交于，     如图： ， 由翻折得：， ， ，， ， ， ， ， 同理可证：， ，， ， ， ， 此时折叠后与重叠部分面积： ， 在，当时， ； 综合①②： ， 折叠后与重叠部分面积的最大值是，此时． 【点睛】本题考查了以矩形为背景的典型折叠问题，考查的主要知识有折叠的性质、等边三角形的判定及性质、解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例、二次函数等，熟练掌握典型折叠问题的解法及找出函数关系式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄冈市2023年初中毕业生学业水平能力抽测数学试题 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 某商品连续两次涨价，由每件100元涨为每件144元，平均每次上涨的百分比为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A. B. C. D. 4. 方程的根可视为函数与图像交点的横坐标，若关于x的方程（）有一个根为，则的范围可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形外取一点P，连接、、．若，．则的最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 6. 抛物线（，，为常数）开口向下且过点，．以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则； ④抛物线与轴交于，两点，则，其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知二次函数与一次函数交于、两点，当时，至少存在一个x使得成立，则m取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是⊙的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点，若，，则⊙的半径长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．） 9. 一列火车匀速通过一座1600米长的桥，从火车上桥到火车完全离开桥经历100秒，整列火车在桥上的时间为60秒，则该火车的长度为______米． 10. 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是 ______ 11. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为______m．（结果精确到；参考数据：，，） 12. 已知，，当时，函数，当时，函数．在函数得图象上，当取一实数时，存在三个不同得实数，则的取值范围是_____． 13. 已知等边，点是直线BC上一点，且满足，则___________． 14. 在中，，，点D在内部，且满足，若的面积为18，则_____． 15. 在一个不透明的布袋中装有四个球，球上分别标有数字，0，，这些除球了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字，则使得二次函数不经过第四象限的概率为________． 16. 在平面直角坐标系中，点是y轴上一点，已知点（不与点重合），将点绕点逆时针方向旋转得到点，则称点、互为和谐点，把其中一个点叫做另一个点的和谐点．已知点、，点在一次函数的图像上．若在线段上存在点的和谐，则实数a的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共56分． 解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 对于平面直角坐标系中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”． （1）已知点的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线 经过点P，且与x轴交于点B．若的面积不小于6，求k的取值范围； （2）已知点，，且⊙的半径为1．当⊙与点C的特征线存在交点时，直接写出t的取值范围． 18. 如图，已知一次函数图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点，点B是线段的中点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）动点在y轴上运动，当值最大时，求点P的坐标． 19. 已知抛物线与轴交于，（在左边）两点，与轴交于点，是抛物线上一点． （1）当时，求点的坐标； （2）若点在第一象限，过点的直线交轴于点，与直线交于点，求的最大值及此时的点坐标． 20. （1）三角形中，，，是线段上的点，满足，求． （2）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 21. 已知抛物线与x轴交于两点． （1）直接写出抛物线函数解析式； （2）如图1，P是抛物线上一点，且在直线的上方．点E为中点，作轴交于点Q，若四边形为平行四边形，求点P的横坐标； （3）如图，点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接分别交、y轴于D、E两点，若，的面积分别为，求的最大值； 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形 中，已知，，点是边上的一个动点． 【操作判断】 （1）如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．再将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则的度数为______°； 【迁移探究】 （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长； 【综合应用】 （3）如图3，点在边上运动，且始终满足，沿将翻折，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $