专题03 全等三角形（必备知识+15题型+分层检测）（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 全等三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 全等图形的识别 能准确描述三角形各部分名称，明确三角形的定义 基础必考点，常结合图形在小题中考查对概念的识别 全等三角形的性质 能根据角或边的特征，正确对三角形进行分类 高频考点，易因混淆分类标准而出错，多在选择题或填空题中出现 全等三角形的判定 掌握 “三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，并能运用此关系判断三条线段能否组成三角形、求线段的取值范围等 重要考点，常以选择题、填空题形式考查，是解决三角形边长相关问题的基础 全等三角形的相关热考模型 理解并能灵活运用三角形内角和为180°，以及直角三角形两锐角互余等推论进行角度计算与证明 核心考点，贯穿三角形角度相关题目，在计算、证明题中高频出现 角平分线的性质与判定 能运用三角形外角性质进行角度的计算与推导 常与内角和定理结合考查，在几何证明与计算中应用广泛 知识点01 全等三角形的概念 全等形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等形. 全等形的性质：全等形的形状相同、大小相等. 【解读】全等形只与它们的形状和大小有关，与它们的位置无关. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点；AB和 DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 【易错点】注意记两个三角形全等时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，△ABC≌△DEF与△ABC≌△EFD 是两种不同的对应关系. 知识点02 全等三角形的性质 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 知识点03 全等三角形的判定 1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 判定两个三角形全等的思路：证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行: 知识点04 三角形全等的应用 1）应用全等三角形“对应边相等，对应角相等”求线段的长度和角的大小. 2）应用三角形全等可以测出不能(或不易)直接测最长度的线段的长，例如测最河宽，隧道的长度、小口瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以测量长度的线段.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等. 知识点05 角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 3. 角平分线的性质定理与判定定理的联系与区别 两个定理是将题设(已知)和结论互换，因此在证明两个直角三角形全等时，应用的条件和所依据的定理是不同的.在具体运用这两个定理时，一定要分清楚各自的题设是什么、结论是什么，不要混淆. 题型一 全等三角形的概念 解｜题｜技｜巧 判断是否为全等图形，主要看这几个图形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A．B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（    ） A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同 C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同 3．（24-25八年级上·江西上饶·期中）2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 题型二 利用全等三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 利用全等三角形的性质求线段的长和角的度数关键是找出对应边和对应角，根据全等三角形的对应边、对应角相等来求解，同时常常结合三角形的内角和或外角的性质进行计算. 5．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级上·贵州黔南·期末）如图，已知，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作交于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 8．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 题型三 添加条件使两个三角形全等 解｜题｜技｜巧 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 9．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，，添加下列条件，还不能使成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·全国·期末）在和中，给出下列四组条件： ①；②；③；④；其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 11．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，，，在和中，还需再添加一个条件才能使，则不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是上一点，交于点， ，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是__________． 13．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 14．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型四 选用合适的方法证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 【易错点】 1）若△ABC≌ΔDEF，则前后对应关系确定；若△ABC与△DEF全等，则前后对应关系不确定. 2）在全等三角形判定中，有两种不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA. 15．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等腰中，，为外一点，连结、，在上取一点，连结、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 16．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 17．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，，求证：． 18．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型五 全等三角形性质与判定综合 重难点一 证一次全等 解｜题｜技｜巧 依据三角形全等的条件证明三角形全等从而得等边、等角，这类问题题目条件和结论一般都指向于同一对三角形，属于全等条件比较直接的类型，一次全等便可解决问题. 19．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 20．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 21．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．    (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ 重难点二 证两次全等 解｜题｜技｜巧 这类问题题目条件和待求问题一般不是指向于同一对三角形，即由条件较容易得出的全等三角 形，并不能直接得出要证明的边角相等，但是可以得出待求边角所在的三角形全等所缺少的条 件，于是证两次全等便可解决问题. 22．（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图， ，，，连接，，在上，作，交的延长线于． (1)试说明：； (2)求的度数； (3)试说明：． 23．（24-25八年级上·天津·期末）已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F，求证：． 24．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【猜想证明】（1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】（2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 25．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 重难点三 证明线段、角相等 解｜题｜技｜巧 由于全等三角形具有对应边、对应角相等的特性，因此在证明线段、角相等时，可以找出边，角所在的三角形，然后寻找条件证明这两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边、对应角相等. 26．（23-24八年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点E在上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 27．（21-22八年级上·全国·期中）如图所示，和都是等边三角形，且B、A、E在同一直线上，连接交于M，连接交于N，连接．求证： (1)； (2)． 28．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 29．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且 垂足为G． (1)求证：； (2)若求的长度． 重难点四 证线段的位置关系 解｜题｜技｜巧 全等三角形在几何题目中的应用,除了证明线段和角的相等关系外,还会涉及证明线段的位置关系一类的题目,这类题目常见的描述方式是;利用全等得到角或边的关系,通过等量代换找到平行或垂直的条件. 30．（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（不与点重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 31．（2014·山东泰安·一模）如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： (1)； (2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 32．（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，在四边形中，，为边的中点，连接，，分别延长，，交于点，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，试探究与的位置关系，并说明理由． 重难点五 【跨章节】多结论问题 解｜题｜技｜巧 对于全等三角形的多结论问题,应利用全等三角形的判定与性质对每一个结论逐一推导和证明 33．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（20-21八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 35．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 36．（24-25八年级上·全国·期末）如图，D为外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的是 ． 重难点六 动点问题 解｜题｜技｜巧 全等三角形的动态问题有单动点、双动点等类型问题,通过动点在运动过程中引起的角度变化、线段长度变化,探究其中不变的量(角度、长度、形状等),在解题过程中,要善于抓住图形中的变与不变,以不变解决变. 37．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 38．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 39．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 重难点七 证线段存在的数量关系 解｜题｜技｜巧 1)证明两条线段相等时，若两条线段在一个三角形中，一般考虑利用“等角对等边”证明;若两条线段不在同一个三角形中，则一般利用全等三角形的判定与性质证明. 2)证明两条线段之和等于较长线段时，通常可借助截长补短法，构造全等三角形，将两条较短线段转化到一条线段上证明. 40．（24-25八年级上·全国·期末）【问题引领】 （1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌．他得出的正确结论是___________． 【探究思考】 （2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由． 41．（24-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 42．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图1，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，如图2，若为边上一点，为边上的中点，连结，，，若，证明． (3)在（1）的条件下，若为边上的中点，为边上的一点，连结，，，若，请直接写出线段，，之间的数量关系． 重难点八 解决实际问题 解｜题｜技｜巧 根据实际问题的特点，建立全等三角形模型，将问题转化为全等三角形的边或角之间的关系，利用全等三角形的性质解决问题. 43．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一、设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长即可得线段的长． (1)为说明甲方案的合理性，需要说明，则这两个三角形全等的依据是________． A．   B．    C．    D． (2)请用所学知识说明乙方案的合理性； 44．（25-26八年级上·全国·课后作业）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量电线塔的距离． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量电线塔的距离？ 组内探究：由于河中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流的宽度． 成果展示：下面是某同学的测量方案： 测量示意图 测量说明 小刚站在河边的A点处，他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步 (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离． 45．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，即五边形，其中，，连结对角线 (1)与之间的数量关系为____________； (2)为保护田内农作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈栅栏，已知每米栅栏的建造成本是50元，则建造栅栏共需花费多少元？ (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为18克，则需要提前准备小麦种子____________千克． 题型六 通过添加辅助线求解 解｜题｜技｜巧 46．（2020·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．    （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 47．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 48．（24-25八年级上·重庆·期中）在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． (1)如图①，点E在运动过程中，求的度数； (2)如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； (3)在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 49．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求三角形的面积． 题型七 结合尺规作图的全等问题 50．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 51．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 52．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可： (1)在图（1）中画出与全等的三角形，且有条公共边： (2)在图（2）中画出与全等的三角形，且有一个公共顶点： (3)在图（3）中画出与全等的三角形，且有一个公共角． 题型八 角平分线性质与判定综合 解｜题｜技｜巧 53．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 54．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 55．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接． (1)求证：； (2)求，的度数； (3)探索，，之间的数量关系，并说明理由． 期中基础通关练（测试时间：25分钟） 1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 2．（20-21八年级下·山西太原·阶段练习）如图，，，点是上一点，于，于，，求证：． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是角平分线，与相交于点F，，垂足分别为M，N． (1)求的度数； (2)求证：． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 5．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图1，在中，平分，于E，于F，，， (1)求证：； (2)若的面积为9，求的面积； (3)爱动脑筋的小明同学，发现一个有趣的结论：三角形内角平分线分对边成两线段，两线段之比等于相应邻边的比（三角形角平分线定理），即．小明的证明如下： 请填空补全证明过程 证明：如图2，过点A作于点G， 由（1）得： ∴， ∵____________，又________________________． ∴． 6．（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 62．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，等腰三角形中，，，D是的中点，M是上的动点，N是上的动点．M点由B向C运动，同时，N点由C向A运动．    (1)M点的运动速度为 /秒，t秒后，=_________cm（用含t的代数式表示） (2)M点的运动速度为 /秒，且N点的速度与M的速度相等，若t秒后，，问与全等吗？请说明理由，并求出t的值． (3) M点的运动速度为 /秒，若N点的速度与M点的速度不相等，当N的运动速度为多少时，能使与全等？ 63．（2023八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 64．（21-22八年级上·福建龙岩·阶段练习）平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，．    (1)如图1，若，，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，，若平分，求点B的纵坐标； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含t的式子表示）   65．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等； (4)若，求． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 全等图形的识别 能准确描述三角形各部分名称，明确三角形的定义 基础必考点，常结合图形在小题中考查对概念的识别 全等三角形的性质 能根据角或边的特征，正确对三角形进行分类 高频考点，易因混淆分类标准而出错，多在选择题或填空题中出现 全等三角形的判定 掌握 “三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，并能运用此关系判断三条线段能否组成三角形、求线段的取值范围等 重要考点，常以选择题、填空题形式考查，是解决三角形边长相关问题的基础 全等三角形的相关热考模型 理解并能灵活运用三角形内角和为180°，以及直角三角形两锐角互余等推论进行角度计算与证明 核心考点，贯穿三角形角度相关题目，在计算、证明题中高频出现 角平分线的性质与判定 能运用三角形外角性质进行角度的计算与推导 常与内角和定理结合考查，在几何证明与计算中应用广泛 知识点01 全等三角形的概念 全等形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等形. 全等形的性质：全等形的形状相同、大小相等. 【解读】全等形只与它们的形状和大小有关，与它们的位置无关. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点；AB和 DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 【易错点】注意记两个三角形全等时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，△ABC≌△DEF与△ABC≌△EFD 是两种不同的对应关系. 知识点02 全等三角形的性质 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 知识点03 全等三角形的判定 1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 判定两个三角形全等的思路：证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行: 知识点04 三角形全等的应用 1）应用全等三角形“对应边相等，对应角相等”求线段的长度和角的大小. 2）应用三角形全等可以测出不能(或不易)直接测最长度的线段的长，例如测最河宽，隧道的长度、小口瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以测量长度的线段.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等. 知识点05 角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 3. 角平分线的性质定理与判定定理的联系与区别 两个定理是将题设(已知)和结论互换，因此在证明两个直角三角形全等时，应用的条件和所依据的定理是不同的.在具体运用这两个定理时，一定要分清楚各自的题设是什么、结论是什么，不要混淆. 题型一 全等三角形的概念 解｜题｜技｜巧 判断是否为全等图形，主要看这几个图形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解： ， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（    ） A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同 C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同 【答案】A 【分析】本题考查图形全等的性质，根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状和大小均相同． 【详解】解：如果两个图形全等，则这两个图形必定是形状和大小均相同． 故选：A． 3．（24-25八年级上·江西上饶·期中）2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等形“能够完全重合的两个图形叫做全等形”，熟练掌握全等形的定义是解题关键．根据全等形的定义即可得． 【详解】解：A、不是全等形，则此项不符合题意； B、不是全等形，则此项不符合题意； C、是全等形，则此项符合题意； D、不是全等形，则此项不符合题意； 故选：C． 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全是三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，对应边是， 对应角是； （2），对应边是， 对应角是； （3），对应边是， 对应角是； （4），对应边是， 对应角是． 题型二 利用全等三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 利用全等三角形的性质求线段的长和角的度数关键是找出对应边和对应角，根据全等三角形的对应边、对应角相等来求解，同时常常结合三角形的内角和或外角的性质进行计算. 5．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．（21-22八年级上·贵州黔南·期末）如图，已知，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作交于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，进而可知，由得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 8．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形 (3)125或140或110 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再结合即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，即可得解； （3）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，，再由三角形内角和定理可得，分三种情况：当时；当时； 当时；分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：当时，的形状为直角三角形， ∵是等边三角形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的形状为直角三角形； 故答案为：直角三角形； （3）解：∵是等边三角形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述，当为125或140或110度时，是等腰三角形． 故答案为：125或140或110． 题型三 添加条件使两个三角形全等 解｜题｜技｜巧 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 9．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，，添加下列条件，还不能使成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据，可得，再加上公共边，然后结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：， ， A．添加可得，可利用判定，故此选项不合题意； B．添加可利用判定，故此选项不合题意； C．添加不能判定，故此选项符合题意； D．添加可利用判定，故此选项不合题意； 故选：C． 10．（24-25八年级上·全国·期末）在和中，给出下列四组条件： ①； ②； ③； ④； 其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法：、、、、结合选项进行判定． 【详解】解：①，，，可根据判定； ②，，，可根据判定； ③，，，可根据判定； ④，，，不能判定； 故选：． 11．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，点B、F、C、E在同一直线上，，，在和中，还需再添加一个条件才能使，则不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，得到，由，得到，再结合全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， A、当时，则，而，， ∴，故不符合题意； B、，，，不能证明全等，符合题意； C、，，， ∴，故不符合题意； D、，， ∴，故不符合题意； 故选：B． 12．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是上一点，交于点， ，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是__________． 【答案】或或（写出一个即可） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 由平行得到，而，即可添加一组边对应相等即可． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴当时，； 当时，； 当时，， 故答案为：或或（写出一个即可）． 13．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 【答案】不能；选择条件①(还可选择条件②，但不能选择条件③)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定． 选择①，证明得到，即可推出； 选择②，证明得到，即可推出． 【详解】解：不能． 选择①， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 选择②， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 14．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． 【详解】（1） 在与中 （2） 题型四 选用合适的方法证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 【易错点】 1）若△ABC≌ΔDEF，则前后对应关系确定；若△ABC与△DEF全等，则前后对应关系不确定. 2）在全等三角形判定中，有两种不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA. 15．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等腰中，，为外一点，连结、，在上取一点，连结、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理． （1）根据等腰三角形的性质可证，根据等角对等边可证，利用可证结论成立； （2）根据等腰三角形的性质可知，利用三角形内角和定理可以求出，根据等腰三角形的性质可以求出，从而可知，根据三角形内角和为可以求出，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：，， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ． 16．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 17．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角的等量关系找到证明三角形全等的条件． 根据已知条件可得，结合，，可证明，从而得到． 【详解】证明： ， ， ． 在和中， ， ， ． 18．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为7 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，而，即可根据“”证明，得； （2）由，，根据“”证明，得，而，，由，得，求得． 【详解】（1）证明：平分，于点，交的延长线于点， ，， 在和中， ， ， ． （2）解：在和中 ， ， ， ，且，， ， ， ， 的长为7． 题型五 全等三角形性质与判定综合 重难点一 证一次全等 解｜题｜技｜巧 依据三角形全等的条件证明三角形全等从而得等边、等角，这类问题题目条件和结论一般都指向于同一对三角形，属于全等条件比较直接的类型，一次全等便可解决问题. 19．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先求得，再证明，即可得出结论； （2）根据，得到，求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义． （1）利用证得即可得出结论； （2）利用（1）中的结论证得，再根据证，即可得出，从而求出的长，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 21．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．    (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）由，四边形为正方形可证，从而证出； （2）由得，，又，可得，故可证得，即．又因为，可证出成立． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 是延长线上一点， ． 在和中， ， ， ． （2）解：成立，理由如下： ， ． 又， ． ， ． 在和中， ， ， ． 又， ． 重难点二 证两次全等 解｜题｜技｜巧 这类问题题目条件和待求问题一般不是指向于同一对三角形，即由条件较容易得出的全等三角 形，并不能直接得出要证明的边角相等，但是可以得出待求边角所在的三角形全等所缺少的条 件，于是证两次全等便可解决问题. 22．（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图， ，，，连接，，在上，作，交的延长线于． (1)试说明：； (2)求的度数； (3)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先证明，继而推导出，即可解答． （2）先证明，得到，再求出，，即可解答． （3）延长到，使得，连接，先证明，则．推导出，则，继而证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴． 在和中， ； （2）∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长到，使得，连接，如图所示． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·天津·期末）已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，由，再根据角的和差即可解答； （2）如图：过E作交于点G，由（1）可得，然后根据两直线平行内错角相等得到，再根据，利用三角形的内角和定理得到，由等边三角形的性质也得到，从而得到两角相等，再由，利用“”证得，根据全等三角形的对应边相等得到，再由为等边三角形得到，等量代换可得，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等，根据“”证得，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图：过E作交于点G， 由（1）可得，即， ∴， 又∵， ∴， 又∵为等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，需熟练掌握角角边的证明方法，由角角边的证明方法证明三角形全等是解决本题的关键． （1）①根据角角边的证明方法即可证明≌； ②根据角角边的证明方法证明与全等，由此得到，即可得证； （2）根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）①解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴在与中，， ∴≌； 故答案为：； ②解：，理由如下： 直线l，直线， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （2）解：分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为A、， 直线l，直线， ， ，， 在和中， 由， ， ， 直线， ，即， ， ，即， ， ，， 在和中， 由， ， ， ， ． 即的面积是4． 25．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质得， ， 由旋转的性质得， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， 是的中点． 重难点三 证明线段、角相等 解｜题｜技｜巧 由于全等三角形具有对应边、对应角相等的特性，因此在证明线段、角相等时，可以找出边，角所在的三角形，然后寻找条件证明这两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边、对应角相等. 26．（23-24八年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点E在上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）利用同角的余角相等得，再根据证明，即可证明结论； （2）由，知是等腰直角三角形，得，再根据，得，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．（21-22八年级上·全国·期中）如图所示，和都是等边三角形，且B、A、E在同一直线上，连接交于M，连接交于N，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得，，，进而得，再利用证明即可得出结论； （2）先由全等三角形的性质得，利用证明，得，则，利用内错角相等证明． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∵， 又∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键： （1）根据等边对等角，先得出，再证明，进而可得出答案； （2）先证明，再证明，得出，进而可得出答案； （3）先证明，，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中，， ， （2）解：， ， 在和中，， ， ， ． （3）证明：， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 29．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且 垂足为G． (1)求证：； (2)若求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，再证明，即可得出结论； （2）求出，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴． 重难点四 证线段的位置关系 解｜题｜技｜巧 全等三角形在几何题目中的应用,除了证明线段和角的相等关系外,还会涉及证明线段的位置关系一类的题目,这类题目常见的描述方式是;利用全等得到角或边的关系,通过等量代换找到平行或垂直的条件. 30．（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（不与点重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，理由如下见解析． 【分析】本题是考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解； （）由得，利用即可得出结论； （）由（）知，根据全等三角形的性质得，，则，可得为等边三角形，则，可得，得出，根据平行线的判定可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：，理由如下， 由（）知， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．（2014·山东泰安·一模）如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： (1)； (2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）求出，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由，， 三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： 如图，设与于G， ∵， ， ，， ， 32．（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，在四边形中，，为边的中点，连接，，分别延长，，交于点，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，试探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解答 (2)，理由见解答 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到． （1）证明可得，进而可得四边形的形状； （2）根据，证明，然后根据等腰三角形三线合一即可解决问题． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ， ， ∵为边的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 重难点五 【跨章节】多结论问题 解｜题｜技｜巧 对于全等三角形的多结论问题,应利用全等三角形的判定与性质对每一个结论逐一推导和证明 33．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；②可求得，，从而推出，结合得证；③在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤由，通过，可证，故⑤错误； 【详解】解：如图，连接OB.   ，， ，， ，. ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 如图，在上截取，   ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 如图，过点作于，   ，， ， ， ， . 故④正确. ，，， ， ， ，， ，故⑤错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 34．（20-21八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④不一定正确， 故选：B． 35．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】设，，由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，再由三角形内角和定理计算即可判断①；证明，得出即可判断②；由平分，但与不一定相等即可判断③；在边上截取，连接，证明，，即可判断④；作于，于，由④可得，，推出，证明，得出，再由三角形面积公式即可判断⑤，从而得出答案． 【详解】解：①设，， ∵在中，，平分交于点，平分交于点， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ②∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵平分，但与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ④如图，在边上截取，连接， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤如图，作于，于， ， 由④可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 36．（24-25八年级上·全国·期末）如图，D为外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键．由角平分线的性质得，证明，故①正确；再证，得，故②正确；由，得，可证③正确；由，而，与不平行，，可知④错误． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 如图与交于点，则， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 而， ∴与不平行， ∴， 故④错误． ∴正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 重难点六 动点问题 解｜题｜技｜巧 全等三角形的动态问题有单动点、双动点等类型问题,通过动点在运动过程中引起的角度变化、线段长度变化,探究其中不变的量(角度、长度、形状等),在解题过程中,要善于抓住图形中的变与不变,以不变解决变. 37．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】7或3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，而，且，所以，求得；二是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，此时，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点E运动的时间为， 如图1，点E从点B出发沿射线方向运动， ∵为边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得； 如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 综上所述，当点E运动或时，， 故答案为：7或3． 38．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是弄清题意，分情况进行讨论．由全等三角形的判定，分两种情况讨论，当，时，，当，时，，再进一步即可解决问题． 【详解】解：设运动的时间是秒， （厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是2厘米秒； 当，时，， 是中点， 厘米， ∵， ∴， ， ∴厘米/秒． 当点的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时与全等． 故答案为：2或． 39．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①同意，理由见解析；②3 (3)1 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 重难点七 证线段存在的数量关系 解｜题｜技｜巧 1)证明两条线段相等时，若两条线段在一个三角形中，一般考虑利用“等角对等边”证明;若两条线段不在同一个三角形中，则一般利用全等三角形的判定与性质证明. 2)证明两条线段之和等于较长线段时，通常可借助截长补短法，构造全等三角形，将两条较短线段转化到一条线段上证明. 40．（24-25八年级上·全国·期末）【问题引领】 （1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌．他得出的正确结论是___________． 【探究思考】 （2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形． 问题1，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到； 问题2，延长到点G．使．连接，先判断出，进而判断出，再证明，最后用线段的和差即可得出结论； 问题3，在上取一点G．使．连接，然后同问题2的方法即可得出结论． 【详解】解：问题1，如图1，延长到点G．使．连接， ∵， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ； 故他得到的正确结论是：； 问题2，问题1中结论仍然成立，如图2， 理由：延长到点G．使．连接， ∵ ，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ； 即； 问题3．不成立，结论：，理由如下： 如图3，在上取一点G．使．连接， ∵ ，， ∴，即 ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴． 即． 41．（24-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 【答案】（1），（2）①，② 【分析】本题考查了“一线三垂直”的全等模型，掌握模型的构成与结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）①证即可求解；②设，根据，即可求解； 【详解】解：（1）、与之间满足的数量关系为：； 理由如下： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①在等腰直角中，，， ，             于点，于点， ， ， ，             在和中， ， ，，         ；         ②设， 在中，     在中，     在中，     ，解得         42．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图1，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，如图2，若为边上一点，为边上的中点，连结，，，若，证明． (3)在（1）的条件下，若为边上的中点，为边上的一点，连结，，，若，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，等量代换，得到，进而得到，即可得证； （2）延长，，交于点，证明，得到，，进而得到垂直平分，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论； （3）延长，，交于点，证明，得到，，证明垂直平分，再根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）延长，，交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴． （3）延长，，交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴． 重难点八 解决实际问题 解｜题｜技｜巧 根据实际问题的特点，建立全等三角形模型，将问题转化为全等三角形的边或角之间的关系，利用全等三角形的性质解决问题. 43．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一、设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长即可得线段的长． (1)为说明甲方案的合理性，需要说明，则这两个三角形全等的依据是________． A．   B．    C．    D． (2)请用所学知识说明乙方案的合理性； 【答案】(1)B (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． （1）甲方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，结合全等三角形的判定方法可得答案； （2）乙方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； 【详解】（1）解：甲方案： 在与中， ， ∴， ∴， 故选：B （2）解：乙方案： ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 44．（25-26八年级上·全国·课后作业）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量电线塔的距离． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量电线塔的距离？ 组内探究：由于河中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流的宽度． 成果展示：下面是某同学的测量方案： 测量示意图 测量说明 小刚站在河边的A点处，他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步 (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查全等三角形的应用，像此类应用类题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型，难度一般不大，细心求解即可． （）根据题意所述画出示意图即可； （）根据可得出，即求出的长度也就得出了之间的距离； 【详解】（1）解：先画一条水平直线代表河边，在直线上 取点表示小刚最初的位置； 从点向正前方画一条线段，按比例取步的长度确定点，表示树的位置； 再从点继续向正前方画线段，按比例 取一定长度(这里未明确后续行走步数对应的长度，不影响整体思路)，然后向左转画一条线段，当小刚走到电线塔、树与自己现处的位置成一条直线 时，确定终点位置；如图所示： （2）∵小刚站在河边的点处，向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处， ∴ 在和中， ， ， ， ∵当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他共走了140步， ∴从点到点走的步数， 又∵小刚一步大约米， 米， 故小刚在点处时他与电线塔的距离为米． 45．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，即五边形，其中，，连结对角线 (1)与之间的数量关系为____________； (2)为保护田内农作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈栅栏，已知每米栅栏的建造成本是50元，则建造栅栏共需花费多少元？ (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为18克，则需要提前准备小麦种子____________千克． 【答案】(1) (2)12000元 (3)32.4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）由直接可以得到； （2）延长至点G，使，证得，得到，，进而可得的周长，再用周长可得结论； （3）利用（2）中结论可得，运用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至点G，使，连接． ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 在与中， ∴， ∴， ∴ ， 五边形的周长， （元）． 答：建造木栅栏共需花费12000元； （3）解：∵由（2）得， ∴， ∴， ∴需小麦种数量为：（千克）， 故答案为：32.4． 题型六 通过添加辅助线求解 解｜题｜技｜巧 46．（2020·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．    （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 【答案】（1）见详解；（2）图2：，图3： 【分析】（1）在线段上截取，连接，，证明，可得到，即可求解． （2）当点在线段延长线上时，在的延长线上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得；当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得． 【详解】解：（1）证明：在线段上截取，连接，    ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）当点在线段延长线上时， 如图2：在的延长线上截取，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 当点在线段延长线上时， 如图3：当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，    ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴，，且 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键． 47．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 48．（24-25八年级上·重庆·期中）在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． (1)如图①，点E在运动过程中，求的度数； (2)如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； (3)在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)存在，． 【分析】（1）作交于点F，用全等判定方法证明，得到，即可得出的度数； （2）作交于点G，作于点H，先用全等判定方法证明，得，再由，得，再判定等腰直角得，最后等量代换即可推导出； （3）过点C作交于G，先说明是钝角三角形，则当是等腰三角形时，只存在一种情况：，结合（1）中的结论，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，作交于点F，则， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （2），理由如下： 如图2，作交于点G，作于点H，则， ， 为中点， ， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）在点E运动过程中，存在是等腰三角形， ， ， 是钝角三角形， 当是等腰三角形时，只存在一种情况：， 如图3，过点C作交于G， 由（1）得，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，重点考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，学会运用类比的方法解决同一类型的问题是解题的关键，综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 49．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】延长、交于点，由是的角平分线，交的延长线于点，得，而，即可证明 ，得，推导出，而，可证明 ，则； 作于点，由，得，所以，由三角形中位线定理得，所以． 【详解】（1）证明：延长、交于点， 是的角平分线，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：作于点， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， 三角形的面积为． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 题型七 结合尺规作图的全等问题 50．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 51．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）根据网格线的特点及轴对称的性质作图； （）根据网格线的特点及旋转的性质作图； （）根据网格线的特点及平移的性质作图； 此题考查了作图的应用，掌握网格线的特点及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）如图： ∴即为所求； （2）如图： ∴即为所求； （3）如图： ∴即为所求． 52．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可： (1)在图（1）中画出与全等的三角形，且有条公共边： (2)在图（2）中画出与全等的三角形，且有一个公共顶点： (3)在图（3）中画出与全等的三角形，且有一个公共角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（ 1）可根据全等三角形判定中的边边边（）为依据作图； （2 ）（ 3）可根据全等三角形的判定中的边角边（）为依据作图． 【详解】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一）， ； （2）解：如图2，即为所求， ； （3）解：如图3，即为所求， ． 【点睛】本题考查的是作图－复杂作图，熟知全等三角形的作法是解答此题的关键． 题型八 角平分线性质与判定综合 解｜题｜技｜巧 53．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 54．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，以及全等三角形的判定与性质，需熟练掌握分类讨论思想，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据角平分线的性质可得，在由三角形面积公式计算即可； （2）根据三角形面积公式得到，再根据点E和点G的运动速度可表示，，由此可证明； （3）先证明，在分类讨论点M在线段上，点M在线段延长线上两种情况由此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）解：∵在与中， ， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时，与全等， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时，与全等， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． 55．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接． (1)求证：； (2)求，的度数； (3)探索，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，见解析． 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明是解本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理求出，进而得到，作，全等三角形的性质，推出，得到平分，求出； （3）由全等三角形的性质可得，由“”可证，由全等三角形的性质得出，证明△是等边三角形，可得，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：△与△都是等边三角形， ，，， ， 在△与△中， ， ， ； （2）解： ， ， ， ∴； ∴， 作， ∵，， ∴， ∴平分， ， （3）解：， 证明：如图，在线段上截取，连接， ， ， 在△与△中， ， ， ，， ， △是等边三角形， ， ， ． 期中基础通关练（测试时间：25分钟） 1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 2．（20-21八年级下·山西太原·阶段练习）如图，，，点是上一点，于，于，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，则，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：连接，如图， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是角平分线，与相交于点F，，垂足分别为M，N． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）求出，根据角平分线定义，得，，得，； （2）连接，判定也是角平分线，∴，证明 ，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，连接， ∵F是角平分线交点， ∴也是角平分线， ∴， ∵ 由（1）知，， ，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形角平分线．熟练掌握角平分线定义和性质，三角形内角和定理，直角三角形角性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解题关键． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解； （2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ． ∴； （2）证明：连接， 由（1）证明可得， ， 在和中， ． ， ， ． 5．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图1，在中，平分，于E，于F，，， (1)求证：； (2)若的面积为9，求的面积； (3)爱动脑筋的小明同学，发现一个有趣的结论：三角形内角平分线分对边成两线段，两线段之比等于相应邻边的比（三角形角平分线定理），即．小明的证明如下： 请填空补全证明过程 证明：如图2，过点A作于点G， 由（1）得： ∴， ∵____________，又________________________． ∴． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， ， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的面积； （1）证明，，再证明即可； （2） 由，可得，由（1）知：，可得，再利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）直接利用，结合同高的两个三角形的面积公式填空即可． 【详解】（1）证明：∵ 平分， ∴， ∵ ，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． （3）解：如图2，过点A作于点G， 由（1）得：， ∴， ∵ ，又 ， ∴． 6．（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 62．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，等腰三角形中，，，D是的中点，M是上的动点，N是上的动点．M点由B向C运动，同时，N点由C向A运动．    (1)M点的运动速度为 /秒，t秒后，=_________cm（用含t的代数式表示） (2)M点的运动速度为 /秒，且N点的速度与M的速度相等，若t秒后，，问与全等吗？请说明理由，并求出t的值． (3) M点的运动速度为 /秒，若N点的速度与M点的速度不相等，当N的运动速度为多少时，能使与全等？ 【答案】(1) (2)与全等，理由见解析， (3)秒 【分析】（1）由题意知，，根据，求解即可； （2）由题意知，，由，可知，由，可得，证明，则，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，设N的运动速度为秒，则，由题意知，分，两种情况求解；然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 故答案为： （2）解：与全等，理由如下： 由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即，解得，； （3）解：由题意知，，， 设N的运动速度为秒，则， 由题意知，分，两种情况求解： 当时，，， ∴，， 解得，，， ∴N的运动速度为秒； 当时，，，（舍去）； ∴当N的运动速度为秒时，能使与全等． 【点睛】本题考查了列代数式，等边对等角，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用．熟练掌握全等三角形的判定条件，并分类讨论是解题的关键． 63．（2023八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题． （1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：； （3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）若如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． 64．（21-22八年级上·福建龙岩·阶段练习）平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，．    (1)如图1，若，，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，，若平分，求点B的纵坐标； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含t的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作轴于点H，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，则可得出答案； （2）作轴于点E，并延长交的延长线于点F，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，则可得出答案； （3）连接，作于点M，于点N，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，由折叠的性质得出，证得，则可求出答案． 【详解】（1）解：如图1中，    作轴于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 则； （2）解：如图2中，作轴于点，并延长交的延长线于点，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中，   ， ， ， 又， ， 点的纵坐标为； （3）解：如图3中，连接，作于点，于点，    ∵点E在的平分线上，平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，   ， ， 由折叠可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 65．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等； (4)若，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当或时，与全等 (4) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的性质、一元一次方程的应用、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由于是角平分线，则，； （2）由于，所以与之比就等于与之比，而与之比为2； （3）根据全等三角形的性质得到，得到，．，再分两种情况，利用全等三角形的性质求解即可； （4）过点A作交于N，如图，由（1）得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时与全等时， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时与全等时， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． （4）解：过点A作交于N，如图， 由（1）得， 又∵，， ∴； ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $