专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学湘教版九年级上册

专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型 相似三角形是初中数学几何中的重要内容，也是考查频率最高的知识点之一，常常与其他知识点相结合，作为压轴题出现，是中考的常考题型；手拉手模型在全等三角形中是常考的模型之一，相似中的手拉手模型较全等三角形中的手拉手模型要难，同时也更容易被考生所忽略；所以我们在解决此类题型时，需要深入理解该模型，灵活运用相关的结论可以显著提高做题效率。本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；45°；（2）①见解析；② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、以及旋转变换的性质，． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解. 【详解】（1）；； 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 （2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，，．将绕点旋转，当A，D，E三点在同一条直线上时，    （1）的大小是 ； （2）的长是 ． 【答案】 或14 【分析】（1）分图1和图2两种情况，可证明得到，然后导角可证明； （2）分图1和图2两种情况，可证明，设，然后表示出，由勾股定理得，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1所示，当A，D，E三点在同一条直线上时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴；      如图2所示，当A，D，E三点在同一条直线上时，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，； 故答案为：； （2）如图1所示，∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去； ∴； 如图2所示，∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去； ∴； 综上所述，的长为10或14； 故答案为：10或14． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（24-25九年级上·天津滨海新·期末）如图，将绕点顺时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为点，，若点，，在同一条直线上，与交于点． （1） ； （2）若为的中点，，则 ． 【答案】 /90度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，由旋转性质可知：，，，，，则，从而可得，再利用角度和差求出，再证明，则，又为的中点，，则，由勾股定理求出，最后代入即可求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转性质可知：，，，，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：，． 例2（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 例3（2025·浙江宁波·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）画出图形见解析，线段的长度为． 【分析】（1）由题意易得，，从而可证，然后根据三角形全等的性质可求解； （2）连接，由题意易得，进而可证，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证； （3）如图，过A作，由题意可知，，然后根据相似三角形的性质及题意易证，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可． 【详解】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：如图2，连接， ∵在和中，，，， ， ， ∵，， ， ， ， ∴； （3）如图3，过A作AF⊥EC， 由题意可知，， ∴，即， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ，2×， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解． 例4（24-25九年级上·吉林长春·期末）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合． (1)求证：； (2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值； ②若，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①8②4﹣4 【分析】（1）利用三角形外角的性质可证等于，再由 等于 ，可证明结论． （2）①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由 相似于 ，即可得出结论．②先求 等于 ，再求 等于 ，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， 同理，∠DAE＝45°， ∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°， ∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°， ∴∠BAN＝∠AMC， ∴△BAN∽△CMA； （2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4， ∴AB＝AC＝， ∵△BAN∽△CMA， ∴ ， ∴， ∴BN•CM＝8， 故BN•CM的值为8； ②∵BM＝CN， ∴BN＝CM， ∵BN•CM＝8， ∴BN＝CM＝， ∴MN＝BN+CM﹣BC＝， 故MN的长为． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面的结论解决新的问题是解题的关键． 1．（2025·山东济南·一模）已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且． (1)点D与点B重合时， ①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ； ②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由； (2)BD＝2CD时， ①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度； ②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值． 【答案】(1)①AE＝FC；AE⊥FC；②AE＝2CF，AE⊥CF，见解析 (2)①6；② 【分析】（1）①如图1中，结论：AE＝FC；AE⊥FC；证明可得结论． ②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF，证明△ABE∽△CBF可得结论． （2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，首先证明DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，再证明△EDT≌△FDC（SAS），推出S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，构建方程求出m即可解决问题． ②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J，证明，推出点是在DC的垂直平分线MK上，当时，MN的值最小． 【详解】（1）解：（1）① 　AE＝FC　， 　AE⊥FC　； 理由：由题意知BA＝BC，BE=BE，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：AE＝FC，AE⊥FC． ②AE＝2CF，AE⊥CF， 理由如下： ∵，， ∴△ABE∽△CBF， ∴，∠A＝∠BCF， ∴AE＝2CF， ∵∠A+∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACB＝90°， ∴AE⊥CF； （2）①如图3，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T， 由题意知AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC， ∵DH⊥CT，∴HT＝HC， ∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m， ∴DT∥AB，∴， ∴AT＝4m， ∵AE＝2，∴ET＝4m﹣2， ∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°， ∴∠EDT＝∠FDC，∴△EDT≌△FDC（SAS）， ∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC， ∴， 解得m＝2或﹣（舍去）， ∴CF＝ET＝4m﹣2＝6； ②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J， 同法可证：， ∵， ∴， ∴点M是在DC的垂直平分线MK上，DC的长度不会变化， 当时，MN的值最小， 由题意：AB=10，BC=5，，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， MN的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握双子型基本模型是解题的关键． 2．（2024·北京·一模）如图，已知正方形，点是延长线上一点，连接，过点作于点，连接 ． (1)求证：； (2)作点关于直线的对称点，连接． ①依据题意补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）设BF与CD交于点G，根据三角形内角和定理，有，，再证明，通过等量代换，即可证得． （2）①按照题设要求作图即可；②过C作CN⊥CF交BF于点N，证明，得出是等腰直角三角形，运用同角的余角相等，证得是等腰直角三角形，，最后通过等量代换，证得． 【详解】（1）证明：如图，设BF与CD交于点G， 在中， ∵， ∴， ∴． ∵正方形， ∴， 在中， ， ∵，， ， ∴，即． （2）①解：作图如图所示， ②解：，证明如下， 如图，过C作CN⊥CF交BF于点N， ∵CN⊥CF， ∴，即． ∵正方形， ∴，即， ∴，， 又（1）中已证，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴． ∵点关于直线的对称点是点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点是点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴，故． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质运用，以及等腰直角三角形的性质，综合运用以上几何知识是解题的关键． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知点在内，，，，． （1）当时，求证：； （2）当时，求的值． 【答案】(1)见解析;(2) . 【分析】（1）连结，易证，然后得到，，然后利用直角三角形性质得到 （2）连结，易证，设在直角三角形EBD中由相似比可直接得到答案 【详解】如图所示图1，（1）连结， 易证，∴，证，， ∴ （2）如图所示图2， ∴∴， ∴∴ 又∵， 设，则， ∵∴，∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，能够知道相似三角形对应边成比例是求线段比的常用方法是本题关键 4．（2024·安徽安庆·二模）如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 【答案】(1)，90 (2)（1）中的结论还成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行得，则，由平行得到，则，由三角形中位线定理得到，故，，再根据平行导角即可； （2）由角正切得到，证明，则，由三角形中位线得到，，再根据平行和相似三角形的性质导角即可； （3）由题意可知，，则，由于是的中位线，则，继而可求取值范围． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵点F、G、H分别是的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴, 故答案为：，90； （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： 证明：如图2， 在中，， ∴， 在中，∴， ∴ 又， ∴ ∴ ∴ ∵是的中位线， ∴． 同理可得， ∴ ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵， 由于，有， 由得： ∴； （3）解：由题意可知，， ∴，即 ∴绕点C旋转时，当D点落在边上时，AD最小值为6；当点D落在延长线上时，最大值为14， ∵是的中位线，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点和基本图形是解题的关键． 5．（2025·山东济南·一模）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 6．（2024·河南新乡·三模）（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质和旋转相似模型；解题关键是构造旋转相似模型转换线段关系． （1）根据三角形中位线可直接得出结论； （2）延长至点，使，连接、，根据旋转相似模型证明，即可得出结论； （3）根据当时，可得点在直线，点在直线，再由不同位置分两种情况讨论，结合（2）的结论即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）结论：， 理由∶如图2-1，延长至点，使，连接、， ∵点为的中点， ∴ 由题意∶， ∴， 由旋转知 ∴ ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ，即：， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当时， ∵，即：， ∴， 又∵， ∴点在直线， 当点在线段上时，如图2-2， ∵， ∴点在直线， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，如图2-2， 同理可证：点在直线，点在直线， ，， ∴， ∴； 综上所述：的长为或． 7．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 8．（24-25九年级上·河南周口·期末）在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 【答案】(1)1，； (2)，，理由见解析 【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得，如图①中，设直线与直线交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果； (2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ，可证得，即可证得，如图②中，设直线交于G，交于点H，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果． 【详解】（1）解：，，，， 与都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ，， ； 设与的延长线交于点I，如图①， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为； （2）解：，直线与直线相交所成的较小角的度数为， 理由如下： ，， ，， 同理可得：，， ， . ， 即， ， ，， 设交于点G，交于点H，如图②， ， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为． 【点睛】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题． 9．（2025·广东佛山·一模）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，如果，且，求的值； (3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由题意：，证明即可解决问题． （2）延长交于点．证明，可得，，由，可得． （3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中， ， ，， 平分， ，同理， ，， ， ． （2）解：延长交于点． ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． （3）与相似，， 中必有一个内角为 是锐角， ． ①当时， ， ， ， ，此时． ②当时，， ， 与相似， ，此时． 综上所述，，．，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 10．（2025·河南郑州·二模）如图1所示，矩形中，点E，F分别为边,的中点，将绕点A逆时针旋转，直线、相交于点P． (1)若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置上，则线段与的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　． (2)若，将绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请写出正确结论 (3)若，，将旋转至时，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)结论不完全成立．线段与的位置关系是，数量关系是 (3)或 【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）证明，利用相似三角形的性质可得结论； （3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：线段与的位置关系是，数量关系是． 理由：四边形是矩形，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ． （2）解：结论不完全成立．线段与的位置关系是，数量关系是． ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． （3）解：如图，当点P在的延长线上时， 在中，，， ， ， ， ， ， ，，， 四边形AEPF是矩形， ， ； 如图，当点P在线段上时，， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形，学会用分类讨论的思想思考问题． 11．（24-25八年级下·山东济南·期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：    (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到BP和CQ的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系； （3）连接BD，如图（见详解），先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段BP的长，接着设正方形ABCD的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：判断，理由如下： ∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接BD，如图所示，    ∵四边形与四边形是正方形，DE与PF交于点Q， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为3． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 12．   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； （3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 13．（24-25九年级上·河南周口·期末）观察猜想 (1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______． (2)类比探究 如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立 (3) 【分析】（1）利用可证明，继而得出结论； （2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出，从而判定，得到，根据，，得到，从而判定，得出结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：结论仍成立； 理由如下：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （3）解：； 理由如下：，， ∴， 又∵， ， ∴， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）［问题发现］ (1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系； ［实验研究］ (2)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论； ［结论运用］ (3)在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)线段的长为或 【分析】(1)先判断出△ABD为等腰直角三角形，进而求出，即可得出结论； (2)先利用三角函数得出，证明夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而求出结论； (3)分两种情况计算，当点E在线段BF上时，先用勾股定理求出，，即可得出，借助(2)得出结论；当点E在线段BF延长线上同前一种情况一样即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是正方形， ，， ， ，， 点与点重合， ，，， ； ， ， ， ； （2）解：． 证明：由（1）得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图1，，，点为的中点， ，， ， 的面积为8， ， ， ， ， 点与点重合，四边形是正方形， ； 如图2，、、三点共线且点在线段上， ， ， ， ． ， ； 如图3，、、三点共线且点在线段上， 则， ． ， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，正方形性质和旋转性质，分类讨论和画出图形是解决本题的关键． 15．（2021·辽宁沈阳·二模）如图，和是有公共顶点直角三角形，，点P为射线，的交点． （1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：； （2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）在（1）的条件下，，，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）PB的长为或． 【分析】（1）由条件证明△ABD≌△ACE，即可得∠ABD=∠ACE，可得出∠BPC=90°，进而得出BD⊥CP； （2）先判断出△ADB∽△AEC，即可得出结论； (3) 分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可． 【详解】解：（1）证明：如图， ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAE+∠CAE=∠BAD+∠BAE， 即∠BAD=∠CAE． ∵和是等腰直角三角形， ∴， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE． ∵∠CAB=90°， ∴∠ACF+∠AFC=90°， ∴∠ABP+∠BFP=90°． ∴∠BPF=90°， ∴BD⊥CP； （2）（1）中结论成立，理由： 在Rt△ABC中，∠ABC=30°， ∴AB=AC， 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， ∴AD=AE， ∴ ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ADB∽△AEC． ∴∠ABD=∠ACE 同（1）得； （3）解：∵和是等腰直角三角形， ∴， ①当点E在AB上时，BE=AC-AE=1． ∵∠EAC=90°， ∴CE=． 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC． ∴ ∴． ∴PB=． ②当点E在BA延长线上时，BE=5． ∵∠EAC=90°， ∴CE=5． 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC． ∴． ∴． ∴PB=． 综上所述，PB的长为或． 【点睛】此题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键． 16（2021·湖南岳阳·一模）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．    【答案】（1）见解析；（2）当时，，理由见解析；（3）． 【分析】（1）由正方形的性质得出，，，，得出，则可证明，从而可得出结论； （2）由菱形的性质得出，，则可证明，由全等三角形的性质可得出结论； （3）设与交于Q，与交于点P，证明，得出，得出，连接，，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴，， 又∵四边形为正方形， ∴，， ∴ ∴， 在△AEB和△AGD中， ， ∴， ∴； （2）当时，， 理由如下： ∵， ∴ ∴， 又∵四边形和四边形均为菱形， ∴，， 在△AEB和△AGD中， ， ∴， ∴； （3）设与交于Q，与交于点P，    由题意知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，， ∴ ， ∵，，， ∴，， 在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理， ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．由(3)可得结论：当四边形的对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等． 17．（2025九年级·河南·专题练习）在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且． 【观察猜想】 （1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________． 【探究证明】 （2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）不成立，理由见解析；（3）2 【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题； （2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题； （3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题； 【详解】 （1）如图①中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°， ∴△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°， ∴∠DAB=∠EAC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=EC，∠ABD=∠ACE， ∵∠ACE+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=DE，BD=EC， ∴EA2=BE2+EC2． 故答案为：BD=EC，EA2=EB2+EC2． （2）结论：EA2=EC2+2BE2． 理由：如图②中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°， ∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE=∠BAC=45°， ∴∠DAB=∠EAC， ∵=， =， ∴， ∴△DAB∽△EAC， ∴=，∠ACE=∠ABD， ∵∠ACE+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=DE，BD=EC， ∴EA2=EC2+BE2， ∴EA2=EC2+2BE2． （3）如图③中， ∵∠AED=45°，D，E，C共线， ∴∠AEC=135°， ∵△ADB∽△AEC， ∴∠ADB=∠AEC=135°， ∵∠ADE=∠DBE=90°， ∴∠BDE=∠BED=45°， ∴BD=BE， ∴DE=BD， ∵EC=BD， ∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x， 在Rt△ABC中，∵AB=BC=2， ∴AC=2， 在Rt△ADC中， ∵AD2+DC2=AC2， ∴x2+4x2=40， ∴x=2（负根已经舍弃）， ∴AD=DE=2， ∴BD=BE=2， ∴S△BDE=×2×2=2． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 18．（2025·湖北襄阳·一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP． 观察猜想： （1）如图1，当α＝60°时，的值为　　，直线CD与 AP所成的较小角的度数为　　°； 类比探究： （2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数； 拓展应用： （3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长． 【答案】（1）1，60；（2），直线CD与AP所成的较小角的度数为45°；（3）BD＝． 【分析】（1）根据α＝60°时，△ABC是等边三角形，再证明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直线CD与 AP所成的度数； （2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBA∽△DBC，再得到=，再根据相似三角形的性质求出直线CD与 AP所成的度数； （3）延长CA，BD相交于点K， 根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得∠BCD＝∠KCD，由（2）的结论求出AP的长，再利用在Rt△PBD中，设PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的长． 【详解】（1）∵α＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=CB ∵将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD， ∴△BDP是等边三角形， ∴BP=BD ∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD， ∴∠PBA=∠DBC ∴△PBA≌△DBC， ∴AP=CD ∴=1 如图，延长CD交AB，AP分别于点G，H，则∠AHC为直线CD与AP所成的较小角， ∵△PBA≌△DBC ∴∠PAB=∠DCB ∵∠HGA=∠BGC ∴∠AHC＝∠ABC＝60° 故答案为：1，60； （2）解：如图，延长CD交AB，AP分别于点M，N，则∠ANC为直线CD与AP所成的较小角， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°. 在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝. ∵PB＝PD，∠BPD＝90°， ∴∠PBD＝∠PDB＝45°. 在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝. ∴＝，∠ABC＝∠PBD.   ∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD. 即∠PBA＝∠DBC. ∴△PBA∽△DBC. ∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.   ∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.   即＝，直线CD与AP所成的较小角的度数为45°. (3)延长CA，BD相交于点K，如图. ∵∠APB＝90°，E为AB的中点，∴EP＝EA＝EB. ∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB. ∵点E，F为AB，AC的中点， ∴PFBC. ∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.         ∵∠BGP＝∠FGK， ∴∠BPE＝∠K. ∴∠K＝∠EBP， ∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC， ∴∠K＝∠CBD. ∴CB＝CK. ∴∠BCD＝∠KCD. 由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC， ∴∠PAB＝∠DCB. ∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC. ∵∠BHD＝∠CHA， ∴∠DBA＝∠DCA. ∴∠DBA＝∠PAB. ∴AD＝BD. 由(2)知DC＝AP， ∴AP＝. 在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD. ∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋. ∴x＝1. ∴BD＝． 【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键熟知旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的方法． 19．（2025·四川·一模）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为． 【分析】（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论； （2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论； （3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论． 【详解】解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P， ∴∠PQB=90°． ∵∠MQN=90°， ∴∠NQP=∠MQB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO， ∴∠DPQ=45°，DQ=PQ， ∴∠DPQ=∠DBC=45°， ∴△QPN∽△QBM， ∴， ∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD， ∴DO=2DQ，DP=DC， ∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC， ∴BQ=3PQ， ∴， ∴NP=BM， ∴DN+BM=BC； （2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H， ∴∠BQH=∠DQH=90°， ∴∠BHQ=45°， ∵∠COB=90°， ∴QH∥OC， ∵Q是OB的中点， ∴BH=CH=BC， ∵∠NQM=90°， ∴∠NQD=∠MQH， ∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°， ∴∠QND=∠QMH， ∴△QHM∽△QDN， ∴， ∴HM=ND， ∵BM-HM=HB， ∴BM−DN=BC． 故答案为：BM−DN=BC； （3）∵MB：MC=3：1，设CM=x， ∴MB=3x， ∴CB=CD=4x， ∴HB=2x， ∴HM=x． ∵HM=ND， ∴ND=3x， ∴CN=7x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ED∥BC， ∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF， ∴， ∴， ∴DE=x， ∴， ∵NQ=9， ∴QM=3， 在Rt△MNQ中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 设EF=a，则FM=7a， ∴， ∴． ∴EF的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键． 20．（24-25九年级·浙江金华·期末）如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得． （1）①求证：； ②若，求的长； （2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值； （3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2． 【分析】（1）①先利用平行线分线段成比例定理得，进而得出结论； ②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可； （3）同（2）的方法得出，即可得出结论； 【详解】解：（1）①∵DE∥BC， ∴， 由旋转知，∠EAC=∠DAB， ∴△ABD∽△ACE， ②在Rt△ABC中，AC=BC， ∴， 由①知，△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， ∵△ABD∽△ACE， ， ∴， ∵ ∴ 在Rt△CDE中， 根据勾股定理得，DE=2， 在Rt△ADE中，AE=DE， ∴ （2）由旋转知，∠EAC=∠DAB， ， ∴△ABD∽△ACE， ∵AD=4，BD=3， ∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k， ∵△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2， 在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2， ∴1+9k2=16-16k2， ∴或（舍）， （3）由旋转知，∠EAC=∠DAB， ∴△ABD∽△ACE， ∵AD=p，BD=n， ∴， ∵△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△CDE中，， ∵， ， ∴4p2=9m2+4n2． 【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用． 21．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）（1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 【答案】（1），45°；（2），30°；（3）2 【分析】（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°； （2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD= DM=2． 【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE， ∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=45°， 故答案是：，45°； （2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°， ∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∆ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠DAM=45°，， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM， ∴∆BAD~∆CAM， ∴∠ABD=∠ACM，， 又∵BD=6， ∴CM==3， ∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90° ∴∠ABD+∠BCD=180°， ∴∠ACM+∠BCD=180°， ∴∠DCM=90°， ∴DM=， ∴AD=DM=2， 即A，D两点之间的距离是2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 22．（24-25九年级上·四川·阶段练习）在矩形中，，点为的中点，点为对角线的中点，点、分别在边、上，且． （1）求的值． （2）求证：． （3）作射线与射线交于点，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3） 【分析】（1）取AB的中点N，连接PN，PM．只要证明△PMF∽△PNE，可得； （2）利用相似三角形的性质即可解决问题； （3）延长CD交EG与H．由BE：AF=3：4，EN=2MF，设BE=3x，AF=4x，FM=a，EN=2a，由AM=2BN，可得4x-a=2（3x-2a），推出a=x，可得AM=AM=x，AD=x，DF=x，AE=x，，在Rt△AEF中，根据勾股定理可得（x）2+（4x）2=29，解得x=，推出，根据DH//AE，，可得，设DG=y，根据DH∥BE，可得，由此构建方程即可． 【详解】解：（1）解：取AB的中点N，连接PN，PM． ∵AM=MD，PB=PD，AN=NB， ∴PM=AB，PN=AD，PM∥AB，PN∥AD， ∴四边形ANPM是平行四边形， ∵∠A=90°， ∴四边形ANPM是矩形， ∴∠MPN=∠EPF=90°， ∴∠EPN=∠EPM，∵∠PMF=∠PNE=90°， ∴△PMF∽△PNE， ∴ 故答案为：； （2）∵为的中位线，∴为中点， ∴， 又∵∽（已证）， ∴，∴， ∴． （3）延长交于点， ∵BE：AF=3：4，EN=2MF， 设BE=3x，AF=4x，FM=a，EN=2a， ∵AM=2BN， ∴4x-a=2（3x-2a）， ∴a=x， ∴AM=x，AD=x，DF=x，AE=x， 在Rt△AEF中，∵（x）2+（4x）2=29， 解得x=， ∴， ∵DH//AE， ∴，可得，设DQ=y， ∵DH//BE， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03.相似三角形中的基本模型之手拉手模型 相似三角形是初中数学几何中的重要内容，也是考查频率最高的知识点之一，常常与其他知识点相结合，作为压轴题出现，是中考的常考题型；手拉手模型在全等三角形中是常考的模型之一，相似中的手拉手模型较全等三角形中的手拉手模型要难，同时也更容易被考生所忽略；所以我们在解决此类题型时，需要深入理解该模型，灵活运用相关的结论可以显著提高做题效率。本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． （2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，，．将绕点旋转，当A，D，E三点在同一条直线上时，    （1）的大小是 ； （2）的长是 ． 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（24-25九年级上·天津滨海新·期末）如图，将绕点顺时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为点，，若点，，在同一条直线上，与交于点． （1） ； （2）若为的中点，，则 ． 例2（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 例3（2025·浙江宁波·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 例4（24-25九年级上·吉林长春·期末）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合． (1)求证：； (2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值； ②若，请求出的长． 1．（2025·山东济南·一模）已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且． (1)点D与点B重合时， ①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ； ②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由； (2)BD＝2CD时， ①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度； ②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值． 2．（2024·北京·一模）如图，已知正方形，点是延长线上一点，连接，过点作于点，连接 ． (1)求证：； (2)作点关于直线的对称点，连接． ①依据题意补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知点在内，，，，． （1）当时，求证：； （2）当时，求的值． 4．（2024·安徽安庆·二模）如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 5．（2025·山东济南·一模）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 6．（2024·河南新乡·三模）（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 7．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 8．（24-25九年级上·河南周口·期末）在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 9．（2025·广东佛山·一模）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，如果，且，求的值； (3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 10．（2025·河南郑州·二模）如图1所示，矩形中，点E，F分别为边,的中点，将绕点A逆时针旋转，直线、相交于点P． (1)若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置上，则线段与的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　． (2)若，将绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请写出正确结论 (3)若，，将旋转至时，请直接写出的长． 11．（24-25八年级下·山东济南·期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：    (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 12．   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 13．（24-25九年级上·河南周口·期末）观察猜想 (1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______． (2)类比探究 如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）［问题发现］ (1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系； ［实验研究］ (2)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论； ［结论运用］ (3)在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长． 15．（2021·辽宁沈阳·二模）如图，和是有公共顶点直角三角形，，点P为射线，的交点． （1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：； （2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）在（1）的条件下，，，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度 16（2021·湖南岳阳·一模）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．    17．（2025九年级·河南·专题练习）在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且． 【观察猜想】 （1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________． 【探究证明】 （2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积． 18．（2025·湖北襄阳·一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP． 观察猜想： （1）如图1，当α＝60°时，的值为　　，直线CD与 AP所成的较小角的度数为　　°； 类比探究： （2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数； 拓展应用： （3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长． 19．（2025·四川·一模）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 20．（24-25九年级·浙江金华·期末）如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得． （1）①求证：； ②若，求的长； （2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值； （3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 21．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）（1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 22．（24-25九年级上·四川·阶段练习）在矩形中，，点为的中点，点为对角线的中点，点、分别在边、上，且． （1）求的值． （2）求证：． （3）作射线与射线交于点，若，，求的长． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $