专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学华东师大版九年级上册

专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴； （2）解：∵点为中点，∴设，由（1）知， ∴，∴， ∴与的相似比为，∴，∵∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点，∴设， ∵，∴，， 在中，，则由勾股定理可得，过点作于点，如图2所示： ∴，∴，∴，∴，，∴，∴， ∵，点为中点，∴，，， 又∵，∴，， ∴，又∵，∴，， ∴，即，∴，∴． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 例1（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】A 【详解】∵平行四边形，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，解得， 故，故选A． 例2（24-25·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．    (1)应用：如图1，若点是线段的黄金分割点，若，则的长为 ______． (2)运用：如图2，已知等腰三角形为“黄金三角形”，，，为的平分线．求证：点是的黄金分割点．(3)如图3中，，，平分交于F，取的中点E，连接并延长交的延长线于M．，请你直接写出的长为__________． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点，， 设，则，∴，即， ∴，∴，解得：（负根舍去），∴； （2）证明：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴，， 即， 又∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴D点是的黄金分割点． （3）如图，连接，同理可得：，， ∴，∵为的中点，，∴，∴，    ∴，，∴， 同理可得是的黄金分割点，且， ∴，设，∴，整理得：， 解得：（负根舍去），∴. 例3（2024·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ． 【答案】 【详解】解：△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， ∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB，∴△BCD∽△CAD， ∴，∴CD2＝AD•BD＝6×2＝12，∴CD＝．故答案为：． 例4（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　；(2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【答案】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似(2)见解析(3)顶点A的坐标为或 【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似， 故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：②，理由如下：∵，，∴， ∵，∴，∴∴； ③，理由如下：∵，，∴， ∵，∴，∴∴； （3）解：如图，根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，∵，，∴，， ∵，，∴，∴，∴顶点A的坐标为或． 例5（24-25·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2) 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下， ∵，∴， ∴，∴是等边三角形， （2）解：∵是等边三角形，设等边三角形的边长为， ∵， ∴，又∵，，∴，解得：（负值舍去）， 如图所示，过点，作于点，    ∴，∴， ∴的面积为 例6（2024·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即，解得：，∴； （3）过点作交的延长线于点， ∵，， ∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴．    例7（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是________；线段、、的数量关系是________； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 【答案】(1)，(2)①相似，见解析；；②， 【详解】（1）解：如图： 是等边三角形，，， ，， ，，同法可证，， ，故答案为：，； （2）①如图：是等腰直角三角形，，，， ，，即， ，，∴，； ②过作交的延长线于，如图： 设．， 而，是等腰直角三角形，，由①知：， ，即，， ，，，， ，， ， 的面积为，，解得或（舍去），． 例8（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵，， ∴，∴，∴； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示：则，∴， ∵，∴，， ∵为的中点，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即，解得：； （3）连接，如图所示： ∵四边形为菱形，∴，，， ∵，∴，∴，即， ∵，∴，∴，∵，∴， ∴，∵，∴，∴，解得：，负值舍去， ∴，∴， ∵，∴为直角三角形，， ∴，∴在中根据勾股定理得： ，∴， ∵，∴，∴，即，解得：． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴．故A正确； ∵，，∴．故B正确； ∵，，∴．故D正确； 没有条件可证，故C错误．故选：C 2．（2024·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意； B、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意； C、由，但夹角不相等，不能判断，故此选项符合题意； D、由，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故此选项不符合题意，故选：C． 3．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，∴ 由作图可得是的角平分线，∴ ∵∴ ∵∴ ∴ ∴， ∵的面积为，∴的面积为，故答案为：． 4．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析． 【详解】解：若选①， 证明：∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，又，∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵，∴，∴， 又∵，∴． 5．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    【答案】 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且为底边， ∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 6．（2025·江苏·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴． ∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案为2 7．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    【答案】 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且为底边， ∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 8．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线．（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【详解】解：∵，，∴三角形为等腰直角三角形，， 又∵是的角平分线，∴， ∴，∴，故①正确； 根据题意作图可得：，， 过作于点，则，如图所示： ∵是的角平分线，由三线合一可得：，即， ∵，∴， ∴四边形为矩形，∴，∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误；设，则，∵，∴， ∴，即，，即，∴，故④错误； ∵，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤；故答案为：①②⑤． 9．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：①平分；    ②；    ③四边形是菱形；    ④ 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】①③④ 【详解】解：①∵正五边形， ∴，， ∴， ∴，∴平分；正确； ②∵，，∴，∴， ∵，∴，即，故②错误； ③∵，， ∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；正确； ④∵，，∴，∴， ∴，即，正确；故答案为：①③④． 10.（2024.广东九年级校级月考）在中，，垂足为，求的长 【答案】4 【解析】∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴． 11．（2024·福建福州·八年级校考期末）已知：如图，在中，为边的中点，连接，，，求的长．    【答案】 【详解】解：∵，，， 为AB边的中点，，∴，，∴，，（负根舍去）． 12．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，点为内的一个动点，已知，．(1)求证：；(2)求的值．    【答案】(1)见解析(2)2 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，， ∵，∴，∴；    （2）解：∵在中，， ∴，，即是等腰直角三角形，∴， ∵，∴， 设，则，∴，∴． 13．（2024·四川·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C． 又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC． （2）∵△AED∽△ADC∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）． 又∵AD＝AB，∴AB＝2 14．（24-25·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵平分，∴， 又∵，∴，∴，即． （2）解：在中，，，则， 又∵，∴． 15．（2024·安徽·校联考三模）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【详解】解：（1）∵在中，，平分， ∴，又∠A=∠A，∴，∴， ∵，，∴； （2）①∵交于，于， ∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，∴，∴， ∵，，∴； ②过作，与的延长线交于， ∵，∴， ∴、和均为等腰三角形，∴， ∵在等腰中，于，∴，即，∴的值为． 16．（2024·辽宁大连·三模）【课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展了一节“综合与实践”的数学课．课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维． 【设置情景】王老师给出了如下几何图形： “如图1，已知中，点D为边上一点，点E为外一点，连接．此时我们假设这个几何图形满足的数量关系．” 【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答． （1）“若，，再给出和的长度，可以求出的长度．”为了简化计算，王老师提出令，，，求的长（结果无需化简）； （2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论．后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息，令点E在上运动，将条件“”改为了“”，其他条件不变，想要探究边的关系．王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答． 【拓展探索】“如图2，已知中，点D为边上一点，点E为上一点，，若，探究、、的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）[拓展探索] 【详解】解：（1）如图，作，，过P作交延长线于H， ∵，∴， 在和中，，∴，∴； 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴，， ∴， 在中，，∴，则， 在中，，∴，∴； （2）[拓展探索]． 证明：如图，延长到P，使，连接，在取一点H，连接，使， ∴，，∵，又， ∴，∴，则， 设，则， ∵，又， ∴，又，∴，∴，又， ∴，∴，， ∵，即，∴，∴． 17．（2024·山西临汾·统考二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系． 如图，在中，所对的边分别为，若，则． 下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程： 证法1：如图1，作的平分线，∴．       ； ；设，则． ； 证法2：如图2，延长到点，使得，连接，…… 任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）． (2)请补全证法2剩余的部分． 【答案】(1)相似(2)见解析 【详解】（1）解：由题意知，构造相似三角形，故答案为：相似； （2）证明：如图2，延长到点，使得，连接，    ，．，． ，，，，． 18．（2025·广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析(2)或 【解析】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，，，， ，，，， ，，，点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”，或， 当时，，， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，，， ，， ②，，有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图：是的“理想点”，， 又，，，即，， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 例1（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（    ） A． B．3 C．9 D． 例2（24-25·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．    (1)应用：如图1，若点是线段的黄金分割点，若，则的长为 ______． (2)运用：如图2，已知等腰三角形为“黄金三角形”，，，为的平分线．求证：点是的黄金分割点．(3)如图3中，，，平分交于F，取的中点E，连接并延长交的延长线于M．，请你直接写出的长为__________． 例3（2024·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ． 例4（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　；(2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 例5（24-25·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    例6（2024·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          例7（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是________；线段、、的数量关系是________； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 例8（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 4．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 5．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    6．（2025·江苏·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 7．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    8．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线．（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 9．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：①平分；    ②；    ③四边形是菱形；    ④ 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）    10.（2024.广东九年级校级月考）在中，，垂足为，求的长 11．（2024·福建福州·八年级校考期末）已知：如图，在中，为边的中点，连接，，，求的长．    12．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，点为内的一个动点，已知，．(1)求证：；(2)求的值．    13．（2024·四川·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 14．（24-25·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 15．（2024·安徽·校联考三模）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值． 16．（2024·辽宁大连·三模）【课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展了一节“综合与实践”的数学课．课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维． 【设置情景】王老师给出了如下几何图形： “如图1，已知中，点D为边上一点，点E为外一点，连接．此时我们假设这个几何图形满足的数量关系．” 【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答． （1）“若，，再给出和的长度，可以求出的长度．”为了简化计算，王老师提出令，，，求的长（结果无需化简）； （2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论．后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息，令点E在上运动，将条件“”改为了“”，其他条件不变，想要探究边的关系．王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答． 【拓展探索】“如图2，已知中，点D为边上一点，点E为上一点，，若，探究、、的数量关系，并证明． 17．（2024·山西临汾·统考二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系． 如图，在中，所对的边分别为，若，则． 下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程： 证法1：如图1，作的平分线，∴．       ； ；设，则． ； 证法2：如图2，延长到点，使得，连接，…… 任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）． (2)请补全证法2剩余的部分． 18．（2025·广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$