专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级上册

专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． （2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（2024·陕西西安·一模）如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（     ） A． B．9 C． D．8 例2（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，，点是上的一点，，，垂足为，求的长． 例3（23-24九年级上·河南·期末）如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为    例4（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 例5（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 例6（2024·山西太原·模拟预测）如图，在中，，，，．过点B作的垂线，交于点G，交于点F，则 ． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 例2（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点为上一点，过点作的垂线交的延长线于点，若，则线段的长为 ．    例3（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 例4（2024九年级下·重庆·专题练习）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求． （1）解：过作，交于．请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为；再以为杠杆的支点时，； 应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求 解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ． 例5（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积； (2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． 若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积    模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 例2（2024·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 例3（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 例4（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，、分别为、上的中点．则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，若，则 ． 7．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为 ． 8.（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，四边形是内接正方形，，高，则内接正方形边长 ．    9．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，，点在上，与交于点，若，则 ． 10．（2024·山西阳泉·三模）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，若，则 ． 11．（23-24九年级下·重庆大足·期末）如图，在等腰中，，，为的中线，垂直平分交于点，则 ． 12．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，与相交于点，且，．(1)求证：；(2)已知，求．    13．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，，、交于点， (1)若，，求的长．(2)连接、求证平分．    14．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证： （2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值． 15．（23-24江西九年级期中）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明： (1)请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展：(2)如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长． 16．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．(1)若，求线段的长．(2)若的面积为3，求平行四边形的面积．    17．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于两点，已知，连接，分别为线段上动点（不含端点），连接． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)如图1，作轴于点，作轴于点，当四边形是正方形时，求长度； (3)如图2，为轴上动点，连接，当四边形是平行四边形时，若设点的横坐标为，点的纵坐标为，请求关于的函数解析式及相应的取值范围． 18.（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G，求证： 证明：连接，∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1）∴ ∴（依据2）∴ (1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ (2)应用①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【详解】解：当时，∵，∴，∴， 当时，∵，∴，∴， 综上，或，故答案为：3或． （2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵，∴∴，， ∴，则，∴， ∵，∴，∴∴， 在中，，故选：B． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（2024·陕西西安·一模）如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（     ） A． B．9 C． D．8 【答案】B 【详解】解：平分，， ，，，，， ，∴ ，，即，，故选：B 例2（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，，点是上的一点，，，垂足为，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，，，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，即，解得：． 例3（23-24九年级上·河南·期末）如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为    【答案】/ 【详解】解：在中，，， ，四边形是正方形， ，，， 设，则，，， ，，， 在和中，，， ，即，解得，，， ，，， 又，，，即，解得，故答案为：． 例4（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形是正方形，，， ，，， ，，， 解得：，正方形的面积为故答案为： 例5（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，∴， ∴，即，∴，∴， 同理可证， ∴，即，∴，同理可求得， ∴可以推出第n个正方形的边长为，∴第2024个正方形的边长为，故答案为：． 例6（2024·山西太原·模拟预测）如图，在中，，，，．过点B作的垂线，交于点G，交于点F，则 ． 【答案】/ 【详解】解：过作平行于的直线交于于点，如下图： ，，， ，，，， ，， ，， ，，， ，，故答案为：． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O，∴，， ∵点E是的中点，∴，∵，∴，∴， ∴，即，故答案为：． 例2（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点为上一点，过点作的垂线交的延长线于点，若，则线段的长为 ．    【答案】 【详解】解：，，又，， ，，，， 如图，过点D作于点F，，，，    在和中，，，． ，，．，，， ，，设，， ，，，，， ，，，，， ，，， ，，， ，，，故答案为：． 例3（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：菱形的边长为6，， ，，，， ，，在中，， ，，， ，，在中，， ，，，， ，，，， ．故答案为：． 例4（2024九年级下·重庆·专题练习）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求． （1）解：过作，交于．请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为；再以为杠杆的支点时，； 应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求 解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）如图，过作，交于，则， ，，是的中点，则，，， ，，， 是的中点，，，； （2）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为， ，端所挂物体质量端所挂物体质量， 端所挂物体质量，点承受质量端所挂物体质量端所挂物体质量； 当点为杠杆的支点，，端所挂物体质量：点承受质量，端所挂物体质量； 以为杠杆的支点时，端所挂物体质量端所挂物体质量．故答案为：． 例5（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积； (2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． 若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积    【答案】(1)(2)是定值；是定值；详见解析(3)①；② 【详解】（1）解：如图，连接    由题意可知：为的中位线∴∴ ∴ 由题意得：∴∴ ，； （2）解：由（1）同理可得，是定值； ∵∴故点到的距离和点到的距离之比也为 的底相等 故，是定值； （3）解：四边形ABCD是正方形，，，，， 为CD的中点，，，，，即； ，且，，，， ，，正方形ABCD的面积为：． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意； ∴，，故B不符合题意，C符合题意； ∴，故D不符合题意；故选C． 例2（2024·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、，，∴，，， ∴，，∴，，∴， ，∴，点是的中点，，，， ∴，，∴，∴，故选：． 例3（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 例4（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【详解】解：（1）是的中点，是的中点，，， ，，，，， ，，，，，． （2）当，时，由（1）可得，，，，，，， 又，，，，， ，，． 1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：，，，，， ，， ，是的中点，，， ，，故选：B． 2．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：由题意知，，， ∵，，∴， ∴，∴，∴，， 又∵，∴，∴， ∴是的中位线，∴，故选：D． 3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】∵中，，，∴， 由作图知，平分，垂直平分，∴，， ∴，∴，∴，∴，①正确； ，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，②正确； 设，，则，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，即，③错误； 当时，，∵，∴, ∴，④正确∴正确的有①②④，共3个．故选：C． 4．（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：，，，，，， ∴，，， ，，，，，， ，，，，故①符合题意； 由得，与不一定相等，不一定等于， 与不一定相等，故②不符合题意； ，且，，故③符合题意，故选：B． 5．（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，、分别为、上的中点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵、分别为、上的中点∴ 又∵∴∴∴．故选：B． 6．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，若，则 ． 【答案】 【详解】解：过点B作于M，过点D作，交的延长线于N，连接，如下图所示： ∵，∴为等边三角形，∴， 由勾股定理得：，∵，∴， ∴，即，，即， ∴，∴， ∵，∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：．故答案为：． 7．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形，∴，，，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，即，解得，，故答案为：． 8.（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，四边形是内接正方形，，高，则内接正方形边长 ．    【答案】 【详解】解：解：如图所示，设交于点，设正方形的边长等于，    ∵四边形是正方形，∴，∴，， ∴，，∴，∵，高，则， ∴，∴．即．故答案为：． 9．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，，点在上，与交于点，若，则 ． 【答案】/0.25 【详解】解：，，，， ，，，，，故答案为：． 10．（2024·山西阳泉·三模）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，若，则 ． 【答案】 【详解】解：设，∵四边形是平行四边形，， ∴，，，∴， ∵的平分线交于点，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，，∴， ∴，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴．故答案为：． 11．（23-24九年级下·重庆大足·期末）如图，在等腰中，，，为的中线，垂直平分交于点，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，为的中线， ∴，，∴，∴， ∵垂直平分，∴，， ∵，，∴，∴， 即，∴，，∴， ∵，，∴，∴， 即，∴，故答案为：． 12．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，与相交于点，且，．(1)求证：；(2)已知，求．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：，． ，，，，； （2）解：，，， ，，． 13．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，，、交于点，    (1)若，，求的长．(2)连接、求证平分． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：，，，， ，， 和的高的比为，， ，，，，； （2）如图，连接，，      ，，，，， ，，和的高的比为， ，，， ，，，，平分． 14．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证： （2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值． 【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3） 【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴，∴， ，∵∠DOE=∠BOF，∴； ∴； （2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴，∴， ，∵∠DOE=∠BOF，∴； ∴； （3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN， ∵，∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF， 又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF， ∵，∴△OEF∽△OAM，∴， 设，则， ∵H是AB的中点，N是BM的中点，∴HN是△ABM的中位线， ∴，∴△OGF∽△OHN，∴， ∵OG=2GH，∴，∴， ∴，，∴， 由（2）可知． 15．（23-24江西九年级期中）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明： (1)请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展：(2)如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）证明：∵，∴，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． （2）解：∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ∴，，由（1）可知，， 又∵，∴ ∴， ∵，∴ ∴，∴，∴；∴． 16．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．(1)若，求线段的长．(2)若的面积为3，求平行四边形的面积．    【答案】(1)(2)24 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，， ∴，∴，， ∴，∴，∵的面积为3，∴， ∵，∴，∴， ∴平行四边形的面积． 17．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于两点，已知，连接，分别为线段上动点（不含端点），连接． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)如图1，作轴于点，作轴于点，当四边形是正方形时，求长度； (3)如图2，为轴上动点，连接，当四边形是平行四边形时，若设点的横坐标为，点的纵坐标为，请求关于的函数解析式及相应的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：当时，，当时，，∴，， 设直线所对应的函数解析式为， 把代入得，解得，∴直线所对应的函数解析式为； （2）解：∵，，，∴，，，∴， 设正方形的边长为，则，， ∵四边形是正方形，∴， ∴，则，即，解得，则， ∵四边形是正方形，∴，∴，∴，即，∴； （3）解：∵点的横坐标为，点的纵坐标为，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，则，即，整理得． 18.（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G，求证： 证明：连接，∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1）∴ ∴（依据2）∴ (1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ (2)应用①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 【答案】(1)三角形的中位线定理，相似三角形的性质(2)①；② 【详解】（1）依据1：三角形的中位线定理；依据2：相似三角形的性质； （2）①∵G是的重心，∴， ∵，∴∴； ②∵中线、相交于点O，∴点O是的重心， ∴，∴故． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$