精品解析：广东省广州市越秀区真光学校2025-2026学年上学期9月检测数学试题

2025学年第一学期9月检测题 九年级数学（问卷） 一、选择题（本大题共10小题，每个小题3分，共18分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，，1 C. ，，8 D. ，， 3. 如图，在平行四边形中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49 7. 若关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 时，两架无人机都上升了 B. 时，两架无人机的高度差为 C. 乙无人机上升的速度为 D. 时，甲无人机距离地面的高度是 9. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），则下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 关于的方程的解为 C. 当时， D. ， 10. 如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 一次函数的图象经过点，，则m_________n（填“”或“”或“”）． 13. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）． 14. 方程的解是：_________． 15. 如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么正方形的面积是_________． 16. 如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 _____． 三、解答题（本大题共6小题，共52分，解答题应写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤） 17. 如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 18. 已知直线和直线相交于点P，直线,分别与x轴相交于点A，B． （1）求点P的坐标； （2）求的面积． 19. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）__________． （2）连接，判断是什么三角形？请说明理由． （3）求四边形的面积． 20. 漏刻是我国古代的一种计时工具，该装置通过水位变化计量时间，体现了古代对函数关系的创造性运用．某数学兴趣小组依据漏刻的原理设计了一个简易模型如图，每分钟记录水位数据并整理如下表： 记录时间 0 1 2 3 … 水位高度 2 … （1）兴趣小组研究发现水位高度是时间的一次函数，求该一次函数关系式； （2）当水位高度y为时，求此时的时间． 21. 近期为了助力推广冰雪运动在花都区的发展，广州融创决定启动2025年花都区青少年滑雪竞技队队员招募活动，本次活动有40名选手参与选拔，每位选手需参加体能、技能、心理素质三项测试（每项满分100分），下表是对甲、乙两名选手的成绩记录． 成绩/分 体能 技能 心理素质 甲 85 80 93 乙 78 94 82 （1）若根据三项成绩的平均分确定总评成绩，则______的成绩更好（填甲或乙）； （2）根据需要，现将体能、技能、心理素质三项成绩分别按，，的占比计入总评成绩，则谁的成绩更好？请通过计算说明． （3）根据中的计算方式得出40名选手的总评成绩，并对成绩进行整理，绘制出了如图所示的频数分布直方图．若主办方决定根据总评成绩择优选拔20名滑雪竞技队员，请分析甲、乙选手能否入选，并说明理由． 22. 实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）垂直，且，设． 实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期9月检测题 九年级数学（问卷） 一、选择题（本大题共10小题，每个小题3分，共18分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足两个条件“①被开方数的因数不含完全平方数；②被开方数不含分母”成为解题的关键． 根据最简二次根式必须满足的条件逐项判断即可． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，则此项符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 2. 以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，，1 C. ，，8 D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理定理的逆定理，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．逐项判断是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项不合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，在平行四边形中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，邻角互补可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：与不是同类二次根式，无法合并，则A不符合题意， 与不是同类二次根式，则B不符合题意， ，则C符合题意， ，则D不符合题意， 故选：C． 5. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一组数据的众数和中位数，熟记众数和中位数的定义是解题的关键．根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的数是48，因此众数是48； 将这组数据从小到大排序为：47，47，48，48，48，49，49，50， 第4，5位是48，48，因此中位数是， 故答案为：C． 7. 若关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， ． 故答案为：B． 8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 时，两架无人机都上升了 B. 时，两架无人机的高度差为 C. 乙无人机上升的速度为 D. 时，甲无人机距离地面的高度是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得， A．时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故错误； C．甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故错误； B．时，两架无人机的高度差为：，故正确； D．时，甲无人机距离地面的高度是，故错误； 故选：B． 9. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），则下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 关于的方程的解为 C. 当时， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0，y随x的增大而增大，故A、D错误； 又∵图象与x轴交于（-2，0）， ∴kx+b=0的解为x=-2，故B正确； 当x＞-2时，图象在x轴上方，y＞0，故C错误； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 10. 如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，，， ∴， ∵，，°， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 一次函数的图象经过点，，则m_________n（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的增减性，根据，可得一次函数随的增大而减小，进一步求解可得答案． 【详解】解：一次函数的， 一次函数随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 13. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】根据气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小，即可求解． 【详解】解：观察平均气温统计图得：乙地的平均气温比较稳定，波动较小； ∴乙地的日平均气温的方差小， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题的关键． 14. 方程的解是：_________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ，． 故答案为：， 15. 如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么正方形的面积是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理是解决问题的关键．根据勾股定理求出另一条直角边，进而求出小正方形的边长，即可答案． 【详解】解：由题意知，在正方形中，，，和是四个全等的直角三角形， ∴， ，， ∴， ∴正方形的边长为：， 正方形的面积． 故答案为：1． 16. 如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交AC于点O，连接PD，DE．由四边形ABCD是菱形，可得：，．可知AC垂直平分BD，所以．可得，即．由四边形ABCD是菱形，,可得．由四边形ABCD是菱形且周长是16，可得．结合，可得是等边三角形．由于点E是AB的中点，可得．所以．由，可得．在中，由直角三角形性质，可求出．由勾股定理可得，可求出．所以的最小值为． 【详解】解：连接BD交AC于点O，连接PD，DE 四边形ABCD是菱形 ，，， ， AC垂直平分BD 即 ， 菱形ABCD的周长为16 是等边三角形 点E是AB的中点 在中， 在中，由勾股定理得 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题主要考查知识点为：菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理．若要最小，应让PE、PB，在同一直线上，所以需将其中一条线段进行转移．掌握上述知识点和求最值的思路，是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共52分，解答题应写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤） 17. 如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质，证，即可求证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， 又， ， ． 18. 已知直线和直线相交于点P，直线,分别与x轴相交于点A，B． （1）求点P的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）依据题意，可得方程组，，计算即可得解； （2）依据题意，分别求出A、B的坐标，再结合，进而可以计算得解． 【小问1详解】 解：由题意，，解得， ； 【小问2详解】 解：在，令，则， ， 在，令，则， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了两条直线相交问题、一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． 19. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）__________． （2）连接，判断是什么三角形？请说明理由． （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 解：是等腰直角三角形， 理由如下： 如图，由勾股定理得：， ∵， ，， ， 是等腰直角三角形； （3）7 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理可求出的长，则可证明，，据此可得结论； （3）根据勾股定理可求出的长，则可证明，得是直角三角形，结合（2）结果，可得结论． 【小问1详解】 解：由勾股定理得：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，由勾股定理得：，， ∵， ， ， ， ， ． 20. 漏刻是我国古代的一种计时工具，该装置通过水位变化计量时间，体现了古代对函数关系的创造性运用．某数学兴趣小组依据漏刻的原理设计了一个简易模型如图，每分钟记录水位数据并整理如下表： 记录时间 0 1 2 3 … 水位高度 2 … （1）兴趣小组研究发现水位高度是时间的一次函数，求该一次函数关系式； （2）当水位高度y为时，求此时的时间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设一次函数的解析式为，把分别代入解析式解答即可； （2）根据解析式，令，求x的值即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， 把分别代入解析式，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：根据题意，得时，， 解得， 此时时间为． 21. 近期为了助力推广冰雪运动在花都区的发展，广州融创决定启动2025年花都区青少年滑雪竞技队队员招募活动，本次活动有40名选手参与选拔，每位选手需参加体能、技能、心理素质三项测试（每项满分100分），下表是对甲、乙两名选手的成绩记录． 成绩/分 体能 技能 心理素质 甲 85 80 93 乙 78 94 82 （1）若根据三项成绩的平均分确定总评成绩，则______的成绩更好（填甲或乙）； （2）根据需要，现将体能、技能、心理素质三项成绩分别按，，的占比计入总评成绩，则谁的成绩更好？请通过计算说明． （3）根据中的计算方式得出40名选手的总评成绩，并对成绩进行整理，绘制出了如图所示的频数分布直方图．若主办方决定根据总评成绩择优选拔20名滑雪竞技队员，请分析甲、乙选手能否入选，并说明理由． 【答案】（1）甲 （2） 乙的成绩更好， 由题意得，甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， 乙的成绩更好． （3） 甲、乙选手能入选， 理由：由统计图可知，80到100分的人数有（人）， 甲的成绩为分，乙的成绩为分， 甲和乙都排在前19名， 优选拔20名滑雪竞技队员， 甲、乙选手能入选． 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、加权平均数，能够读懂统计图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 分别求出甲和乙的成绩，即可得出答案． 结合加权平均分的定义分别求出甲和乙的成绩，即可得出结论． 由统计图可知，80到100分的人数有（人），可知甲和乙都排在前19名，进而可知甲、乙选手能入选． 【小问1详解】 解：由题意得，甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， 甲的成绩更好． 故答案为：甲． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）垂直，且，设． 实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2）滑块向左滑动的距离为 【解析】 【分析】（1）设，则，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）求出此时的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：在图1中， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 绳子长度； 【小问2详解】 解：在图2中， 若物体升高，则此时， 在中，由勾股定理得， 答：滑块向左滑动的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $