第二章 有理数的运算 章节（19知识点回顾+37题型巩固） 2025-2026学年人教版七年级数学上册同步讲义与测试

第二章 有理数的运算 章节（19知识点回顾+37题型巩固） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数加法的运算律 3.有理数的减法 4.有理数的加减混合运算 5.数轴上两点之间的距离(拓展点) 6.有理数的乘法法则 7.倒数 8.有理数乘法的运算律 9.有理数乘法法则的推广 10.有理数的除法法则 11.分数的化简 12.有理数的乘除混合运算 13.有理数的加减乘除混合运算 14.有理数乘方的意义 15.乘方的运算法则 16.有理数的混合运算 17.用科学记数法表示数 18.还原科学记数法表示的数 19.近似数 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法中的符号问题 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数加法运算律 五、有理数的减法运算 六、有理数减法的实际应用 七、有理数的加减混合运算 八、有理数加减中的简便运算 九、有理数加减混合运算的应用 十、省略加法和括号的形式 十一、两个有理数的乘法运算 十二、多个有理数的乘法运算 十三、有理数乘法的实际应用 十四、倒数 十五、有理数乘法运算律 十六、有理数的除法运算 十七、有理数除法的应用 十八、有理数乘除混合运算 十九、有理数乘除中的简便运算 二十、有理数四则混合运算 二十一、有理数四则混合运算的实际应用 二十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 二十三、数轴上的翻折 二十四、有理数幂的概念理解 二十五、有理数的乘方运算 二十六、有理数乘方逆运算 二十七、乘方运算的符号规律 二十八、乘方的应用 二十九、程序流程图与有理数计算 三十、算“24”点 三十一、含乘方的有理数混合运算 三十二、计算器——有理数 三十三、用科学记数法表示绝对值大于1的数 三十四、将用科学记数法表示的数变回原数 三十五、求一个数的近似数 三十六、求近似数的精确度 三十七、近似数推断取值范围 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若﹥ 0，b ﹥ 0，则＋b=＋(||＋|b|) 若﹤ 0，b ﹤ 0，则＋b=－(||＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若﹥ 0，b ﹤ 0，且|| ﹥ |b|，则＋b=＋(||－|b|) 若 ﹤ 0，b ﹥ 0，且|| ﹥ |b|，则＋b=－(||－|b|) 互为相反数 0 若 ﹥ 0，b ﹤ 0，且||=|b|，则＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 ＋0= 3. 有理数加法运算的步骤 知识点2.有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 ＋b=b＋ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (＋b)＋c=＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点3.有理数的减法 1. 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：－b=＋(－b)，其中，b 表示任意有理数.减号变加号 如：(－22)－(＋5)=(－22)＋(－5)=－27 . 被减数不变 减数变相反数 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若>b，则－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若<b，则－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若=b，则－b=0 . 知识点4.有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法运算律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋10)＋(－3)－(－8)有理数减法法则 =(＋7)＋(－10)＋(－3)＋8加法交换律、结合律 =(7 ＋8)＋[(－10)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负20 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 知识点5.数轴上两点之间的距离(拓展点) 数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|－b|. 示图(如图2.1 －5) 知识点6.有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. (2)任何数与0 相乘，都得0 . 2. 有理数乘法的符号法则 与乘积的符号 与 的符号 正 同号，即>0，>0 或<0，<0 负 异号，即>0，>0 或<0，<0 0 至少一个为0，即=0 或=0 知识点7.倒数 1. 定义 乘积是1 的两个数互为倒数. 特别解读 1.“ 乘积是1 ”是判断两个数互为倒数的关键. 2.“互为”表示倒数是两个数之间的一种关系，单独一个数不能称其为倒数. 3.取倒数不改变原数的正负性. 4. 0无倒数，倒数等于它本身的数是±1. 2. 倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若， 互为倒数， 则·=1 若·=1，则， 互为倒数 都成对 出现 相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数 的相反数是－ 若，互为相反数， 则＋=0 若＋=0， 则， 互为相反数 知识点8.有理数乘法的运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 可逆向使用，即 知识点9.有理数乘法法则的推广 1. 几个不为0 的数相乘的法则 几个不为0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数. 确定积的符号后，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值. 2. 有乘数为0 的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果其中有乘数为0 ，那么积为0 . 同样，若积为0，则至少有一个乘数为0 . 知识点10.有理数的除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：÷=·( ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 ：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 知识点11.分数的化简 1. 实质 分数的化简，即利用有理数除法法则，用分数的分子除以分母的运算过程. 2. 分数的符号法则 分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变. 3. 分数化简的结果为最简分数或整数. 特别提醒 1.分数线既代表除号，又有括号的功能. 2.最简分数的条件： (1)分子、分母同为正号； (2)分子、分母不能再约分，即分子、分母互质. 3.两个有理数相除(除数不为0)，商是有理数，所以有理数就是形如(p，q 是整数，q ≠ 0) 的数. 知识点12.有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算法则 有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.由负因数的个数决定 知识点13.有理数的加减乘除混合运算 1. 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 2. 计算器的使用 计算器具有运算快、操作简便等优势，当有理数的混合运算的计算量大时，可借助计算器计算，各种类型的计算器在使用时，操作方法不尽相同(具体参见计算器的使用说明)，但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的. 知识点14.有理数乘方的意义 概念 示例 乘方 求n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方 读作“ 的n 次方” 幂 乘方的结果叫作幂 底数和指数 n 中， 叫作底数，n叫作指数 指数n 是正整数，底数a可以是任意有理数. 知识拓展：(1)一个数可以看作这个数本身的1 次方. 例如，5 就是51， 就是，指数1 通常省略不写. 指数是2 时读作平方，指数是3 时读作立方. 例如，² 读作“ 的平方”，读作“ 的立方”. (2)乘方与幂不同，乘方是一种运算，幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系. 知识点15.乘方的运算法则 1. 有理数乘方的运算法则 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数； (3)0 的任何正整数次幂都是0 . 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3., 和 的联系与区别： 区别 底数为，表示n个相乘的积 表示n 个 相乘的积的相反数 底数为-， 表示n个- 相乘的积 联系 当n 为奇数时，=，它们分别与 互为相反数； 当n 为偶数时，=，它们分别与- 互为相反数 4. 用计算器计算乘方 不同类型计算器的操作方法可能有所不同，使用教材中所示类型的计算器时，平方按 键，立方按 键，其他次方按键和指数的数字键. 知识点16.有理数的混合运算 1. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把六种基本的代数运算分为三级： 加与减是第一级运算； 乘与除是第二级运算； 乘方与开方是第三级运算. 2. 有理数混合运算的顺序 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 知识点17.用科学记数法表示数 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成× 的形式(其中 大于或等于1，且小于10，n 是正整数)，使用的是科学记数法，对于小于－10的数也可以类似表示. 2. 科学记数法表示数的步骤 知识点18.还原科学记数法表示的数 特别警示：还原后原数的位数易出错，误认为10的n 次方，后面就有n 个0. 知识点19.近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：在许多情况下，较难取得准确数，或者不必使用准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. 3. 近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数的精确度的表述方法： (1)用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等； (2)用小数表示，如精确到0 .1，精确到0 .0 1 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到1 kg，精确到1 m等. 4. 取近似数的方法：通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法. 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（23-24七年级上·广东潮州·阶段练习）直接写出结果 (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． (5)__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数加法运算的法则． （1）根据有理数加法法则计算即可； （2）根据有理数加法法则计算即可； （3）根据有理数加法法则计算即可； （4）根据有理数加法法则计算即可； （5）先求绝对值，再算加法计算即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 故答案为：；；；；. 题型二、有理数加法中的符号问题 2．（22-23七年级上·福建福州·期中）已知有理数a，b满足条件：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据可得a，b异号，且负数的绝对值较大，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴a，b异号，且负数的绝对值较大， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加法，绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型三、有理数加法在生活中的应用 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某只股票昨天上午跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则这只股票昨天每股 ． 【答案】跌了1.2元 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，跌了为负，涨了为正，两数相加，进行计算即可． 【详解】解：（元）； ∴这只股票昨天每股跌了1.2元； 故答案为：跌了1.2元． 题型四、有理数加法运算律 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了有理数加法运算中的简便运算，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律，是解题的关键．根据加法的交换律和结合律，进行求解即可． 【详解】解：计算的过程中最简便的是， 故选：D． 5．（25-26七年级上·全国·周测）（1）计算： ． （2）计算： ． 【答案】 1012 1013 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查有理数的加法，掌握加法结合律是解题的关键． （1）利用加法结合律计算即可； （2）利用加法结合律计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1012； （2） ， 故答案为：1013． 题型五、有理数的减法运算 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）式子中的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，根据“加数和另一个加数”，转化为有理数减法运算即可求解，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】此题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是关键．根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】 ． 题型六、有理数减法的实际应用 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图是某地某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高 ． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算的应用，根据天气预报得出最高气温与最低气温，相减即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 所以该天最高气温比最低气温高． 故答案为：． 题型七、有理数的加减混合运算 9．（25-26七年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可得解； （3）根据有理数的加减运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型八、有理数加减中的简便运算 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算应遵循的基本原则是解题的关键． 寻找能与前两个分数中的一个凑成整数的数，简化运算即可． 【详解】解：原式为 选项A：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项B：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项C：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项D：若■表示的数为，则原式为，能用简便方法进行计算，符合题意； 故选：． 题型九、有理数加减混合运算的应用 11．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小甲虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米） ，，，，，，． (1)小甲虫最后是否回到出发点呢？计算说明 (2)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？ (3)小甲虫离出发点最远多少厘米？ 【答案】(1)小甲虫最后回到了出发点O，见解析 (2)162粒芝麻 (3)10厘米 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查正数和负数． （1）把爬过的路程记录相加，即可得解； （2）求出爬行过的各段路程的绝对值的和，再求得到的芝麻粒数； （3）分别计算出每次爬行后距离原点的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得：向右爬行的路程记为“”，向左爬行的路程记为“”．则小甲虫最后离开出发点的距离是： ， 答：小甲虫最后在点O的，即小甲虫最后回到了出发点O； （2）解：小甲虫从离开出发点开始走的路程是： （厘米） 在爬行过程中，小甲虫得到的奖励是： （粒）， 答：在爬行过程中，小甲虫得到的奖励是162粒芝麻； （3）解：， ， ， ， ， ， ∴小甲虫在爬行过程中离出发点O最远相距为10厘米． 题型十、省略加法和括号的形式 12．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）将式子省略括号和加号后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题主要考查了去括号，解题的关键是熟练掌握去括号的法则． 利用去括号的法则进行求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 题型十一、两个有理数的乘法运算 13．（2025七年级上·全国·专题练习） ． 【答案】6 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：6． 14．已知a，b为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是根据题意把新定义题目转化为常规有理数的计算． （1）根据题目中的新运算，可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的新运算，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型十二、多个有理数的乘法运算 15．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ( )( ) ( )( ) ． 【答案】 8 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，将和结合在一起，根据有理数的乘法法则计算即可得解，熟练掌握有理数的乘法法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：，，，8，． 题型十三、有理数乘法的实际应用 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）某肉联厂的冷藏库能使冷藏品每小时降温，若刚进库的鱼为，进库9小时后，温度是 ． 【答案】 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查有理数混合运算的应用题，关键是找出题中的数量关系． 已知每小时降温，先求出进库9小时后降低的温度；用刚进库的温度加上降低的温度，即可求解． 【详解】解：，即温度是零下． 故答案为：． 题型十四、倒数 18．（25-26七年级上·天津·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两个数互为倒数是解题的关键． 根据倒数的定义即可求解． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 题型十五、有理数乘法运算律 19．（22-23七年级上·全国·期中）在中，运用了（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查的是乘法运算律，乘法交换律，两数相乘，交换因数的位置，积不变．据此解答即可． 【详解】解：， 运用了乘法交换律． 故选：A． 题型十六、有理数的除法运算 20．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）两个数相除，商50余30，如果被除数和除数同时缩小到原来的，所得的商和余数是（   ） A．商5余3 B．商50余30 C．商5余30 D．商50余3 【答案】D 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了商的变化规律的应用，根据商的变化规律，如果被除数和除数同时缩小到原来的，商不变，余数也缩小到原来的，据此作答． 【详解】解：两个数相除，商50余30，如果被除数和除数同时缩小到原来的，商不变，余数也缩小到原来的． 即商是50，余数是3． 故选：D． 21．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】3 【知识点】有理数的除法运算 【分析】先化除法为乘法，后计算即可． 本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 题型十七、有理数除法的应用 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）某编织组原来30人10天生产150顶花竹帽，现在增加到120人，按照原来的速度，生产900顶花竹帽需要多少天？ 【答案】15天 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数除法的应用，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键；根据工程问题“工作效率工作总量（工作人员数量工作时间）”求得每个人每天生产花竹帽的数量再根据“工作时间工作总量（工作人员数量工作效率）”即可求解. 【详解】解：（天）． 故答案为：生产顶花竹帽需要15天． 题型十八、有理数乘除混合运算 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除混合运算顺序计算即可，解题的关键是根据有理数的乘除混合运算顺序计算． 【详解】解： ． 题型十九、有理数乘除中的简便运算 24．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 【答案】432 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 题型二十、有理数四则混合运算 25．（2023七年级上·安徽合肥·竞赛）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘除法可以解答本题； （3）根据有理数的加减法可以解答本题； （4）根据有理数的除法和减法可以解答本题． 本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二十一、有理数四则混合运算的实际应用 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）【项目主题】数字游戏设计 在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： 【列式计算】 列式，并计算： (1)经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)3经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ 【答案】(1)4.5 (2)14 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，理解题意，正确列出各运算式是解题关键． （1）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的四则运算法则求解即可； （2）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）根据题意，列式为； （2）根据题意，列式为． 题型二十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 27．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，，如果，那么该数轴的原点的位置应该在（   ） A．点A的左边 B．点A与点B之间，靠近点A C．点B与点C之间，靠近点B D．点C的右边 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】根据可知是中点，再结合，通过分析、、的正负性和到原点距离来确定原点位置．本题主要考查了数轴上的点与绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上点的位置与绝对值的关系是解题的关键． 【详解】解： 点是的中点 点到原点的距离最大，点其次，点最小 原点的位置在点与点之间，且靠近点 故选：． 题型二十三、数轴上的翻折 28．（25-26七年级上·全国·周测）已知在纸面上有一数轴（如下图所示）． (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示________的点重合． (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示________的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为11（点A在点B的左侧），且两点经折叠后重合，求两点表示的数． 【答案】(1)3 (2)①；②两点表示的数分别是 【知识点】数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴的折叠问题，通过折叠使数轴上的点重合，考查“对称点”和“中点”概念的理解和应用. （1）根据表示1的点和表示的点重合，由此可以得到折痕点为0，由此可以得到表示的点重合的点. （2）①根据已知条件可知对称点为表示1的点，由此即可找到与表示5的点的重合点. ②根据题意可知A和B与对称点的距离，由此即可得到A和B两点表示的数. 【详解】（1）解：折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，所以折痕点为原点，借助数轴可得，则表示的点与表示3的点重合． 故答案为：3. （2）解：折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，所以折痕点为1； ①借助数轴可得，表示5的点与表示的点重合； 故答案为： ②由题意可得，A、B两点与折痕点的距离都为： 因为点A在点B的左侧，所以A、B两点表示的数分别为. 题型二十四、有理数幂的概念理解 29．（2025·吉林长春·二模）下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和乘方，根据有理数的乘法和乘方的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A、可表示两个5相加，正确，故不符合题意； B、可表示五个2相加，正确，故不符合题意； C、可表示五个2相乘，原说法不正确，故符合题意； D、可表示五个2相乘，正确，故不符合题意； 故选：C． 题型二十五、有理数的乘方运算 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料，求值：． 解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值； （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 本题考查了乘方计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即； （2）解：设， 将等式两边同时乘以3得： 将下式减去上式得 即． 题型二十六、有理数乘方逆运算 31．（23-24七年级上·广东汕尾·期中）满足等式的x的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴满足等式的x的值为， 故答案为：． 题型二十七、乘方运算的符号规律 32．观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 题型二十八、乘方的应用 33．（25-26七年级上·全国·课后作业）在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】D 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，利用有理数的乘方法则列式计算即可． 【详解】解：∵某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个， ∴经过1个小时，这种细菌分裂3次， ∴经过1个小时，这种细菌由1个分裂成个． 故选：D． 题型二十九、程序流程图与有理数计算 34．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，这是一个“数值转换机”，若输入数字1，则输出结果为（   ） A． B．3 C． D．11 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的运算，理解“数值转换机”的程序步骤是解题的关键． 将输入数字乘以再加上，得到计算结果，判断结果是否为正数，是则输出结果，否则再重复上一步骤，直到输出结果为止，据此即可求解． 【详解】解：，此时结果为负数， ，此时结果为正数，输出结果为3． 故选：B． 题型三十、算“24”点 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）现有张写着不同数的卡片（如图），从中抽取张卡片，用学过的运算方法，使结果为．运算式子为 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则并利用点游戏规则进行解答. 【详解】解：抽取四张卡分别是 列式为： 故答案为：（答案不唯一）. 题型三十一、含乘方的有理数混合运算 36．计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】解： ． 题型三十二、计算器——有理数 37．（24-25七年级上·全国·课后作业）用计算器求的值． 【答案】 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题主要考查了运用计算器求加法，掌握运用计算器的方法成为解题的关键． 根据计算器的使用方法求解即可． 【详解】解：输入，屏幕显示运算式子，再按，显示运算结果． 故答案为：． 题型三十三、用科学记数法表示绝对值大于1的数 38．（22-23七年级上·全国·期末）在预防艾滋病活动中，我市共印制了2000000张宣传资料．2000000用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了利用科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式． 科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：， 故选：C． 题型三十四、将用科学记数法表示的数变回原数 39．（2025七年级上·全国·专题练习）下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？，，，，． 【答案】10000000，4500000，704000，39600， 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型三十五、求一个数的近似数 40．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）用四舍五入法把1.7375精确到0.01，所得的近似数是（     ） A．1.73 B．1.738 C．1.74 D．1.737 【答案】C 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数，利用四舍五入法进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 题型三十六、求近似数的精确度 41．（24-25七年级上·河南信阳·期中）近似数5.24精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．个位 D．百位 【答案】B 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．根据一个数最后一位所在的位置就是这个数的精确度求解即可． 【详解】解：近似数5.24精确到百分位， 故选：B． 题型三十七、近似数推断取值范围 42．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期中）数a四舍五入得到近似数83.50，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查了近似数和有效数字．熟练掌握：经过四舍五入得到的数是近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字；是解题的关键． 根据近似数的精确度得到在的范围内的数经过四舍五入可得到83.50作答即可． 【详解】解：∵数a四舍五入得到近似数83.50， ∴， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 章节（19知识点回顾+37题型巩固） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数加法的运算律 3.有理数的减法 4.有理数的加减混合运算 5.数轴上两点之间的距离(拓展点) 6.有理数的乘法法则 7.倒数 8.有理数乘法的运算律 9.有理数乘法法则的推广 10.有理数的除法法则 11.分数的化简 12.有理数的乘除混合运算 13.有理数的加减乘除混合运算 14.有理数乘方的意义 15.乘方的运算法则 16.有理数的混合运算 17.用科学记数法表示数 18.还原科学记数法表示的数 19.近似数 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法中的符号问题 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数加法运算律 五、有理数的减法运算 六、有理数减法的实际应用 七、有理数的加减混合运算 八、有理数加减中的简便运算 九、有理数加减混合运算的应用 十、省略加法和括号的形式 十一、两个有理数的乘法运算 十二、多个有理数的乘法运算 十三、有理数乘法的实际应用 十四、倒数 十五、有理数乘法运算律 十六、有理数的除法运算 十七、有理数除法的应用 十八、有理数乘除混合运算 十九、有理数乘除中的简便运算 二十、有理数四则混合运算 二十一、有理数四则混合运算的实际应用 二十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 二十三、数轴上的翻折 二十四、有理数幂的概念理解 二十五、有理数的乘方运算 二十六、有理数乘方逆运算 二十七、乘方运算的符号规律 二十八、乘方的应用 二十九、程序流程图与有理数计算 三十、算“24”点 三十一、含乘方的有理数混合运算 三十二、计算器——有理数 三十三、用科学记数法表示绝对值大于1的数 三十四、将用科学记数法表示的数变回原数 三十五、求一个数的近似数 三十六、求近似数的精确度 三十七、近似数推断取值范围 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若﹥ 0，b ﹥ 0，则＋b=＋(||＋|b|) 若﹤ 0，b ﹤ 0，则＋b=－(||＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若﹥ 0，b ﹤ 0，且|| ﹥ |b|，则＋b=＋(||－|b|) 若 ﹤ 0，b ﹥ 0，且|| ﹥ |b|，则＋b=－(||－|b|) 互为相反数 0 若 ﹥ 0，b ﹤ 0，且||=|b|，则＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 ＋0= 3. 有理数加法运算的步骤 知识点2.有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 ＋b=b＋ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (＋b)＋c=＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点3.有理数的减法 1. 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：－b=＋(－b)，其中，b 表示任意有理数.减号变加号 如：(－22)－(＋5)=(－22)＋(－5)=－27 . 被减数不变 减数变相反数 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若>b，则－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若<b，则－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若=b，则－b=0 . 知识点4.有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法运算律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋10)＋(－3)－(－8)有理数减法法则 =(＋7)＋(－10)＋(－3)＋8加法交换律、结合律 =(7 ＋8)＋[(－10)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负20 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 知识点5.数轴上两点之间的距离(拓展点) 数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|－b|. 示图(如图2.1 －5) 知识点6.有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. (2)任何数与0 相乘，都得0 . 2. 有理数乘法的符号法则 与乘积的符号 与 的符号 正 同号，即>0，>0 或<0，<0 负 异号，即>0，>0 或<0，<0 0 至少一个为0，即=0 或=0 知识点7.倒数 1. 定义 乘积是1 的两个数互为倒数. 特别解读 1.“ 乘积是1 ”是判断两个数互为倒数的关键. 2.“互为”表示倒数是两个数之间的一种关系，单独一个数不能称其为倒数. 3.取倒数不改变原数的正负性. 4. 0无倒数，倒数等于它本身的数是±1. 2. 倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若， 互为倒数， 则·=1 若·=1，则， 互为倒数 都成对 出现 相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数 的相反数是－ 若，互为相反数， 则＋=0 若＋=0， 则， 互为相反数 知识点8.有理数乘法的运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 可逆向使用，即 知识点9.有理数乘法法则的推广 1. 几个不为0 的数相乘的法则 几个不为0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数. 确定积的符号后，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值. 2. 有乘数为0 的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果其中有乘数为0 ，那么积为0 . 同样，若积为0，则至少有一个乘数为0 . 知识点10.有理数的除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：÷=·( ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 ：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 知识点11.分数的化简 1. 实质 分数的化简，即利用有理数除法法则，用分数的分子除以分母的运算过程. 2. 分数的符号法则 分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变. 3. 分数化简的结果为最简分数或整数. 特别提醒 1.分数线既代表除号，又有括号的功能. 2.最简分数的条件： (1)分子、分母同为正号； (2)分子、分母不能再约分，即分子、分母互质. 3.两个有理数相除(除数不为0)，商是有理数，所以有理数就是形如(p，q 是整数，q ≠ 0) 的数. 知识点12.有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算法则 有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.由负因数的个数决定 知识点13.有理数的加减乘除混合运算 1. 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 2. 计算器的使用 计算器具有运算快、操作简便等优势，当有理数的混合运算的计算量大时，可借助计算器计算，各种类型的计算器在使用时，操作方法不尽相同(具体参见计算器的使用说明)，但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的. 知识点14.有理数乘方的意义 概念 示例 乘方 求n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方 读作“ 的n 次方” 幂 乘方的结果叫作幂 底数和指数 n 中， 叫作底数，n叫作指数 指数n 是正整数，底数a可以是任意有理数. 知识拓展：(1)一个数可以看作这个数本身的1 次方. 例如，5 就是51， 就是，指数1 通常省略不写. 指数是2 时读作平方，指数是3 时读作立方. 例如，² 读作“ 的平方”，读作“ 的立方”. (2)乘方与幂不同，乘方是一种运算，幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系. 知识点15.乘方的运算法则 1. 有理数乘方的运算法则 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数； (3)0 的任何正整数次幂都是0 . 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3., 和 的联系与区别： 区别 底数为，表示n个相乘的积 表示n 个 相乘的积的相反数 底数为-， 表示n个- 相乘的积 联系 当n 为奇数时，=，它们分别与 互为相反数； 当n 为偶数时，=，它们分别与- 互为相反数 4. 用计算器计算乘方 不同类型计算器的操作方法可能有所不同，使用教材中所示类型的计算器时，平方按 键，立方按 键，其他次方按键和指数的数字键. 知识点16.有理数的混合运算 1. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把六种基本的代数运算分为三级： 加与减是第一级运算； 乘与除是第二级运算； 乘方与开方是第三级运算. 2. 有理数混合运算的顺序 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 知识点17.用科学记数法表示数 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成× 的形式(其中 大于或等于1，且小于10，n 是正整数)，使用的是科学记数法，对于小于－10的数也可以类似表示. 2. 科学记数法表示数的步骤 知识点18.还原科学记数法表示的数 特别警示：还原后原数的位数易出错，误认为10的n 次方，后面就有n 个0. 知识点19.近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：在许多情况下，较难取得准确数，或者不必使用准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. 3. 近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数的精确度的表述方法： (1)用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等； (2)用小数表示，如精确到0 .1，精确到0 .0 1 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到1 kg，精确到1 m等. 4. 取近似数的方法：通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法. 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（23-24七年级上·广东潮州·阶段练习）直接写出结果 (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． (5)__________． 题型二、有理数加法中的符号问题 2．（22-23七年级上·福建福州·期中）已知有理数a，b满足条件：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三、有理数加法在生活中的应用 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某只股票昨天上午跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则这只股票昨天每股 ． 题型四、有理数加法运算律 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·全国·周测）（1）计算： ． （2）计算： ． 题型五、有理数的减法运算 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）式子中的值是（   ） A． B． C． D． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 题型六、有理数减法的实际应用 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图是某地某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高 ． 题型七、有理数的加减混合运算 9．（25-26七年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 题型八、有理数加减中的简便运算 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 题型九、有理数加减混合运算的应用 11．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小甲虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米） ，，，，，，． (1)小甲虫最后是否回到出发点呢？计算说明 (2)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？ (3)小甲虫离出发点最远多少厘米？ 题型十、省略加法和括号的形式 12．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）将式子省略括号和加号后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十一、两个有理数的乘法运算 13．（2025七年级上·全国·专题练习） ． 14．已知a，b为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求值； (2)求的值． 题型十二、多个有理数的乘法运算 15．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）计算： ． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ( )( ) ( )( ) ． 题型十三、有理数乘法的实际应用 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）某肉联厂的冷藏库能使冷藏品每小时降温，若刚进库的鱼为，进库9小时后，温度是 ． 题型十四、倒数 18．（25-26七年级上·天津·阶段练习）的倒数是 ． 题型十五、有理数乘法运算律 19．（22-23七年级上·全国·期中）在中，运用了（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和结合律 题型十六、有理数的除法运算 20．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）两个数相除，商50余30，如果被除数和除数同时缩小到原来的，所得的商和余数是（   ） A．商5余3 B．商50余30 C．商5余30 D．商50余3 21．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 题型十七、有理数除法的应用 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）某编织组原来30人10天生产150顶花竹帽，现在增加到120人，按照原来的速度，生产900顶花竹帽需要多少天？ 题型十八、有理数乘除混合运算 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： 题型十九、有理数乘除中的简便运算 24．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 题型二十、有理数四则混合运算 25．（2023七年级上·安徽合肥·竞赛）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二十一、有理数四则混合运算的实际应用 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）【项目主题】数字游戏设计 在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： 【列式计算】 列式，并计算： (1)经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)3经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ 题型二十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 27．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，，如果，那么该数轴的原点的位置应该在（   ） A．点A的左边 B．点A与点B之间，靠近点A C．点B与点C之间，靠近点B D．点C的右边 题型二十三、数轴上的翻折 28．（25-26七年级上·全国·周测）已知在纸面上有一数轴（如下图所示）． (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示________的点重合． (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示________的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为11（点A在点B的左侧），且两点经折叠后重合，求两点表示的数． 题型二十四、有理数幂的概念理解 29．（2025·吉林长春·二模）下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 题型二十五、有理数的乘方运算 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料，求值：． 解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 题型二十六、有理数乘方逆运算 31．（23-24七年级上·广东汕尾·期中）满足等式的x的值为 ． 题型二十七、乘方运算的符号规律 32．观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 题型二十八、乘方的应用 33．（25-26七年级上·全国·课后作业）在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 题型二十九、程序流程图与有理数计算 34．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，这是一个“数值转换机”，若输入数字1，则输出结果为（   ） A． B．3 C． D．11 题型三十、算“24”点 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）现有张写着不同数的卡片（如图），从中抽取张卡片，用学过的运算方法，使结果为．运算式子为 ． 题型三十一、含乘方的有理数混合运算 36．计算： 题型三十二、计算器——有理数 37．（24-25七年级上·全国·课后作业）用计算器求的值． 题型三十三、用科学记数法表示绝对值大于1的数 38．（22-23七年级上·全国·期末）在预防艾滋病活动中，我市共印制了2000000张宣传资料．2000000用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 题型三十四、将用科学记数法表示的数变回原数 39．（2025七年级上·全国·专题练习）下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？，，，，． 题型三十五、求一个数的近似数 40．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）用四舍五入法把1.7375精确到0.01，所得的近似数是（     ） A．1.73 B．1.738 C．1.74 D．1.737 题型三十六、求近似数的精确度 41．（24-25七年级上·河南信阳·期中）近似数5.24精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．个位 D．百位 题型三十七、近似数推断取值范围 42．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期中）数a四舍五入得到近似数83.50，则a的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $