第2章 有理数 章节讲义（29知识点回顾+51题型巩固） 2025-2026学年苏科版七年级数学上册同步讲义与测试

第2章 有理数 章节（29知识点回顾+51题型巩固） 目录 知识梳理 1.正数与负数 2.具有相反意义的量 3.整数与分数 4.有理数的定义与分类 5.数轴 6.数轴上的点与有理数的关系 7.利用数轴比较两数大小 8.绝对值 9.相反数 10.绝对值的代数意义 11.利用绝对值比较大小 12.有理数加法法则 13.有理数加法运算律 14.有理数的减法 15.有理数的加减混合运算 16.用计算器计算有理数的加减混合运算 17.数轴上两点之间的距离 18.有理数乘法法则 19.有理数的乘法运算律 20.倒数 21.有理数除法法则 22.有理数的乘除混合运算 23.用计算器进行有理数的乘除运算 24.有理数乘方的意义 25.有理数乘方的性质 26.科学记数法 27.用计算器计算乘方 28.有理数的混合运算 29.用计算器计算 题型巩固 一、正负数的定义 二、相反意义的量 三、正负数的实际应用 四、有理数的定义 五、有理数的分类 六、带“非”字的有理数 七、数轴的三要素及其画法 八、用数轴上的点表示有理数 九、利用数轴比较有理数的大小 十、数轴上两点之间的距离 十一、数轴上点的平移（动点问题） 十二、数轴上整点覆盖问题 十三、绝对值的几何意义 十四、求一个数的绝对值 十五、绝对值非负性 十六、绝对值的其他应用 十七、有理数大小比较 十八、有理数大小比较的实际应用 十九、相反数的定义 二十、相反数的应用 二十一、化简多重符号 二十二、有理数加法运算 二十三、有理数加法中的符号问题 二十四、有理数加法在生活中的应用 二十五、有理数加法运算律 二十六、有理数的减法运算 二十七、有理数减法的实际应用 二十八、有理数的加减混合运算 二十九、有理数加减中的简便运算 三十、有理数加减混合运算的应用 三十一、省略加法和括号的形式 三十二、两个有理数的乘法运算 三十三、多个有理数的乘法运算 三十四、有理数乘法的实际应用 三十五、倒数 三十六、有理数乘法运算律 三十七、有理数的除法运算 三十八、有理数除法的应用 三十九、有理数乘除混合运算 四十、有理数四则混合运算 四十一、有理数四则混合运算的实际应用 四十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 四十三、数轴上的翻折 四十四、有理数幂的概念理解 四十五、有理数的乘方运算 四十六、有理数乘方逆运算 四十七、乘方运算的符号规律 四十八、乘方的应用 四十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 五十、程序流程图与有理数计算 五十一、含乘方的有理数混合运算 知识梳理 知识点1.正数与负数 1. 定义 像8 848.86，4，＋40 000，1.7这样的数是正数；像－80.97，－6 ，－10 000，－0.6这样的数是负数. 2. 符号“＋、－”的“双重”含义 (1)作为运算符号是加减号； (2)作为数的性质符号是正负号. 3. 易错警示 (1)表示正负数时，正号可以省略不写，而负号不能省略. (2)0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点，它小于所有正数，大于所有负数. 知识点2.具有相反意义的量 1.定义 在生活中存在各种各样的量，如“0℃以上的温度与0℃以下的温度”“收入若干元与支出若干元”，像这样的量，它们是同类量，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作具有相反意义的量. 2. 具有相反意义的量的“两要素” (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量. (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等，所以与一个量具有相反意义的量不止一个. 3. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示. 知识点3.整数与分数 1. 整数 正整数、零、负整数统称为整数，如：－3 ，－2 ，0，1，2，3，其中正整数和零就是我们熟悉的自然数. 2. 分数 正分数、负分数统称为分数，如3，0.3，－1.25，－. 特别说明：有限小数与循环小数可以写成分数的形式，如4.5＝，0.1 ̇＝，所以，有限小数与循环小数都可以看作分数. 特别提醒：几种常见数： (1)正整数：既是正数，又是整数的数； (2)负整数：既是负数，又是整数的数； (3)正分数：既是正数，又是分数的数； (4)负分数：既是负数，又是分数的数； (5)非负整数：正整数和0； (6)非正整数：0 和负整数. 知识点4.有理数的定义与分类 1. 有理数的定义 整数和分数统称为有理数. 对于分数的识别有两个误区： (1)不是所有的小数都能化成分数，如无限不循环小数就不能化成分数； (2)有些数形似分数，但不是分数，如就不是分数. 2. 有理数的分类 (1)按有理数的定义分类 (2)按性质分类 3. 有理数分类的三原则 (1)分类不重复：所分的各类应当互不包含. 例如，有理数分为非负有理数、0和非正有理数，就违反了这一原则. (2)分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部. 例如，将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0 . (3)标准要统一：必须按同一分类标准进行分类. 例如，将有理数分为正有理数、0 和负分数，分类标准就不统一. 知识点5.数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 2. 画数轴的步骤 (1)画直线，取原点：画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，这个点称为原点. (2)标正方向： 规定直线上从原点向右为正方向(画箭头表示)，向左为负方向. (3)选取单位长度，标数：取适当长度(如1 cm)为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3， … 从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1 ，－2 ，－3，… 知识点6.数轴上的点与有理数的关系 1.对应关系 2.数在数轴上的表示 示例 (＞0)和－在数轴上的表示 －是负数，对应的点在原点的左边； 是正数，对应的点在原点的右边 数轴是数与图形结合的桥梁，是初步感受“数形结合”的载体. 知识点7.利用数轴比较两数大小 1. 法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 2. 有理数，b的大小关系 不完整的数轴上的A，B两点分别表示有理数，b，如图2.2-4所示，点A，B的位置关系有三种 结论：对于有理数，b，下列三种关系有且只有一种成立：＞b，＝b，＜b. 3. 有理数大小关系的传递性 有理数，b，c的对应点在不完整的数轴上的位置如图2.2-5 所示： 结论：对于有理数，b，c， 如图2.2-5 ①，如果＞b，且b＞c，那么＞c； 如图2.2-5 ②，如果＜b，且b＜c，那么＜c. 特别提醒：利用数轴比较两个有理数的大小，关键有两步：一是在数轴上标点表示数；二是观察表示数的点在数轴上的位置. 知识点8.绝对值 1.概念 一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值. 2.表示方法 数的绝对值记为||，读作“ 的绝对值”. 3. 特别提醒 一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小，离原点越远，它的绝对值越大，所以没有绝对值最大的数，只有绝对值最小的数. 知识点9.相反数 1. 定义 像5与－5 ，2.5与－2.5，与－，…这样只有符号不同的两个数称为互为相反数，其中一个数叫作另一个数的相反数. 特别解读 1.“ 互为”的意义是指相反数是成对出现的，不能单独存在. 2. 任何一个数都有相反数，而且只有一个；正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0. 几何意义：因为互为相反数的两个数只相差一个负号，所以这两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等. 由此，我们得到： 互为相反数的两个数绝对值相等. 也可以表示为：|－|＝||. 2. 相反数的性质 (1)若与b互为相反数，则＝－b； (2)若＝－b，则与b互为相反数. 3. 相反数的求法 求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即的相反数是－，其实质是改变这个数的符号. 知识点10.绝对值的代数意义 1. 性质 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0 . 也可以表示为：当＞0 时，||＝；当＜0 时，||＝－；当＝0 时，||＝0 . 2. 绝对值最小的数是0 . 3. 绝对值相等的两个数相等或互为相反数. 知识点11.利用绝对值比较大小 1. 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小. 即：当＞0，b＞0时，若||＞|b|，则＞b； 当＜0，b＜0时，若||＞|b|，则＜b. 2. 比较数的大小的法则 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 知识点12.有理数加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. “同号”指两数同时是正数或负数. (2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 相加 若＞0，b＞ 0， 则＋b＝＋(||＋|b|) 若＜0，b＜0， 则＋b=－(||＋|b|) 3. 有理数加法运算的步骤 (1)判断加法的类型，即判断两个加数是同号，还是异号，加数中是否有0 . 根据加法的类型确定用加法法则中的哪一条；(2)确定和的符号；(3)确定和的绝对值. 知识点13.有理数加法运算律 1. 有理数加法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 ＋b＝b＋ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (＋b)＋c＝ ＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)相反数结合法；(2)同号结合法；(3)同形结合法；(4)凑整法；(5)拆项结合法. 3. 有理数加法的推论 如果＋b＝0 ，那么，b互为相反数. 知识点14.有理数的减法 1. 法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：－b＝＋(－b) ，其中，b表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－较小的数＝正数，即若> b，则－b> 0 . (2)较小的数－较大的数＝负数，即若<b，则－b< 0 . (3)相等的两个数的差为0，即若＝b，则－b＝0 . 知识点15.有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个数的和的形式. (2)运用加法交换律、加法结合律进行计算，使运算简便. 2. 省略和式中的加号和括号 进行有理数的加减混合运算时，利用减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算，在和式里可以把加号及括号省略不写，以简化书写形式. 3. 加法运算律在有理数加减混合运算中的应用原则 正数和负数分别相结合；同分母分数或比较容易通分的分数相结合；互为相反数的两数相结合；其和为整数的两数相结合；带分数一般化为假分数或整数和真分数两部分后，再计算. 知识点16.用计算器计算有理数的加减混合运算 进行有理数的加减混合运算，可依次输入算式中各有理数及各级括号，输入完毕，按等号键 ＝ ，即得运算结果. 知识点17.数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离　数轴上，点A，B分别表示数，b，则A，B两点之间的距离为线段AB的长度，即AB＝|－b|. 示图：(如图2.4–1) 知识点18.有理数乘法法则 1. 有理数乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； (2)0与任何数相乘都得0 . 2. 有理数的乘法符号法则 两个数的积的符号 这两个数的符号 符号语言 正 同正或同负 >0↔>0，b>0或<0，b<0 负 一正一负 <0↔>0，b<0 或<0，b>0 0 至少有一个是0 =0↔=0或b=0或=0且b=0 3. 特别提醒： ×(－b)与×b的值互为相反数. 知识点19.有理数的乘法运算律 名称 文字内容 字母表示 交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等 ×b＝b× 结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 (×b)×c＝×(b×c) 分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 (＋b)×c＝×c＋b×c 知识点20.倒数 1. 定义 乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫作另一个数的倒数. 2. 倒数与相反数间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若，b互为倒数， 则·b＝1 若·b＝1，则，b互为倒数 都成对 出现 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 的相反数是－ 若，b互为相反数， 则＋b＝0 若＋b＝0，则，b互为相反数 3. 求一个数的倒数的方法 (1)一个不为0 的整数的倒数就是用这个整数作分母，1作分子的分数； (2)一个真分数或假分数的倒数就是把这个分数的分子和分母交换位置； (3)求一个小数的倒数要先把小数化成分数，再求其倒数； (4)求一个带分数的倒数要先把带分数化成假分数，然后交换分子、分母的位置. 知识点21.有理数除法法则 1. 有理数除法法则一 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.　用字母表示为：÷b＝·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 用字母表示为：÷b＝. 知识点22.有理数的乘除混合运算 1. 有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的. 2. 有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算. 知识点23.用计算器进行有理数的乘除运算 进行有理数乘法和除法运算，只要依次输入算式中的有理数及乘号键 × 或除号键 ÷ ，最后按等号键 ＝，即得运算结果. 知识点24.有理数乘方的意义 乘方的意义 求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂， 个记作，读作“的次方”，其中是底数，是指数. 当看成的次方的运算结果时，也可读作“的次幂”. 乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式. 知识点25.有理数乘方的性质 1. 有理数乘方的运算法则 (1)正数的任何次幂都是正数； (2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； (3)0的任何正整数次幂都是0 . 特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方，任意一个数的平方都是非负数；一个数的三次方，也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数. 2. 有理数乘方的运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 特别地，当底数较大时，可借助计算器计算. 知识点26.科学记数法 1. 科学记数法 一般地，一个绝对值大于10的数可以写成×的形式，其中1 ≤||＜10，是正整数. 这种记数法称为科学记数法. 当＝1时，可简写成. 2. 科学记数法中的和(1)将原数的小数点移到从右到左最高数位的数字的后边即可得到的取值. (2)确定的两种方法：①根据原数的整数位数来确定，等于原数的整数位数减1. 例如2 023是一个四位数，用科学记数法表示为2.023×，其中＝4－1＝3 .②按小数点移动的位数来确定，小数点向左移动了几位，就等于几. 知识点27.用计算器计算乘方 对于平方运算，在输入底数后，按平方键 ，再按等号键 = ，即得运算结果. 对于高于2 次的乘方运算，输入底数后，按乘幂键 ，然后输入指数，再按等号键 = ，即得运算结果. 知识点28.有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算的顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左至右的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，一般按小括号、中括号、大括号依次进行. 2. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把这六种基本的代数运算分为三级：加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算；乘方与开方是第三级运算. 3. 有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活运用运算律，从而简化计算. 知识点29.用计算器计算 各种类型的计算器在使用时，按键的方法不尽相同，但在进行加、减、乘、除、乘方几种运算时按键方法通常是一样的. 下面以课本中所示的计算器为例： 使用步骤：(1)按开启键 ON ；(2)按照算式的书写顺序输入，看显示器上的显示是否正确；(3)按 = 键执行运算，此时显示出计算结果. 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利60元，记作“元”，那么亏损10元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 题型二、相反意义的量 2．（24-25七年级上·江苏徐州）如果从点向东走米到点记作米，那么从点向西走米应记作（   ）米 A． B． C． D． 题型三、正负数的实际应用 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 题型四、有理数的定义 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列7个数：，，，，，（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（  ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 题型五、有理数的分类 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）下列各数：，其中负有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六、带“非”字的有理数 6．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号内，，0，，0.1010010001，，，， (1)非负整数集合： ； (2)分数集合： ； 题型八、用数轴上的点表示有理数 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，嘉嘉借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为 ． 题型九、利用数轴比较有理数的大小 9．（23-24七年级上·江苏常州·期中）将下列各数：在数轴上表示出来； 并比较它们的大小（用“”连接）：______． 题型十、数轴上两点之间的距离 10．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在一条可以折叠的数轴上，点表示的数分别是．如图，以点为折点，将此数轴向右对折．若点与点重合，则的数量关系为 ． 题型十一、数轴上点的平移（动点问题） 11．（2025七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 题型十二、数轴上整点覆盖问题 12．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为 厘米． 题型十三、绝对值的几何意义 13．已知，则的值是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 题型十四、求一个数的绝对值 14．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2023 题型十五、绝对值非负性 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）当 时，有最小值是 ． 题型十六、绝对值的其他应用 16．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 题型十七、有理数大小比较 17．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）比较大小： ， （填“”、“”或“”）． 题型十八、有理数大小比较的实际应用 18．暑假期间，学校组织学生去某景点游玩，甲旅行社说：“如果带队的一名老师购买全票，则学生享受半价优惠”；乙旅行社说：“所有人按全票价的六折优惠”．已知全票价为a元，学生有x人，带队老师有1人． （1）用含a和x的式子表示甲、乙旅行社的收费； （2）若有40名学生参加本次活动，请你为他们选择一家更优惠的旅行社． 题型十九、相反数的定义 19．（2025·江苏徐州·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C． D．2 题型二十、相反数的应用 20．（2022七年级上·江苏·专题练习）数轴上表示﹣5和3﹣2m的不同两点到原点的距离相等，则m的值为 ． 题型二十一、化简多重符号 21．（24-25七年级上·江苏南京·期中）把下列各数填入相应的表格内：，，，，，． 正有理数 负有理数 整数 分数 题型二十二、有理数加法运算 22．（2023七年级上·江苏泰州·竞赛）文字“附、中、欢、迎 、你”表示各不相同的一个数字（数字是的整数）． (1)请写出符合下列要求的两个算式； 附 中 欢 迎 + 你 迎 你 (2)在（1）的情况下求“迎+你”的最大值． 题型二十三、有理数加法中的符号问题 23．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 题型二十四、有理数加法在生活中的应用 24．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动．它从A处出发去看望、、处的其他甲虫．规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．如从A到记为：，从到A记为：，括号内第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中， (1) ， ； ， ． (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)若这只甲虫从A处去甲虫处的行走路线一次为，，，，请在图中标出的位置，并计算该甲虫走过的路程． 题型二十五、有理数加法运算律 25．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： 题型二十六、有理数的减法运算 26．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1），，，，…．（2），利用以上规律计算： ． 题型二十七、有理数减法的实际应用 27．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）我国新疆境内，有海拔约为的乔戈里峰，还有海拔约为的吐鲁番艾丁湖，乔戈里峰比吐鲁番艾丁湖高 ． 题型二十八、有理数的加减混合运算 28．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型二十九、有理数加减中的简便运算 29．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：； 题型三十、有理数加减混合运算的应用 30．（24-25七年级·江苏淮安·期中）综合与实践：魔术中的数学密码 温馨提示：一副扑克牌通常有54张牌，其中包括：52张正牌：分为4种花色（黑桃♠，红心♥，梅花♣，方块◆），每种花色有13张牌，分别是A、、J、Q、K．2张副牌：大王和小王．本题通过扑克牌魔术的规则，考察数学中的排列组合和简单计算．所有扑克牌点数对应规则为： ，其他数字牌按实际数值计算． 花色优先级：黑桃♠梅花♣方块◆红桃♥（点数相同时使用）． 【魔术规则】 观众从一副标准的扑克牌（共52张，不含大小王）中随机抽取5张牌交给魔术师的助手，助手从中选择一张让观众藏起来，并把剩余的4张牌（明牌）正面朝上放在桌上，然后，魔术师查看桌子上的4张明牌，便能准确地说出隐藏之牌（暗牌）的花色和点数． 【魔术原理】 一、花色定位： 步骤1：从5张牌中必能找到2张同花色牌． 步骤2：若这2张同花色牌点数之差的绝对值小于等于6，则助手将点数较小的牌放在最左边；若点数之差的绝对值大于6，则助手将点数较大的牌放在最左边，这张牌称为花色指示牌，用它指示暗牌的花色，随后，助手将另外一张牌交给观众藏起来． 如果助手将黑桃5放在最左边，那么暗牌的花色一定是________； 二、点数计算： 1．将剩下3张牌比较大小，若点数相同，再比花色．例如：①红桃♥9②梅花♣3③方块◆9，若按照从小到大排序，顺序为________（填写序号） 2．根据这3张牌的摆放顺序，对应一个密码数字（1～6）（如图1）． 密码数字 3张牌的摆放顺序（从左到右） 示例（3张牌为 1 小中大 2 小大中 3 中小大 4 中大小 5 大小中 6 大中小 （图1） 若这3张牌摆成“”，则对应的密码数字是________； 3．暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字．（如图2，扑克牌顺时针从（1）K（13）再回到A（1），点数像钟表一样循环，若结果超过13，则减去13）． 若指示牌是梅花J，密码数字为5，则暗牌的点数是________； 【魔术应用】 如图3，观众随机抽取的5张牌为： 利用上面的原理，助手需选择一张牌作为暗牌，将其余4张牌作为明牌，则明牌摆放顺序从左到右依次应为________． A．梅花♣3、方块◆7、红桃♥K、黑桃♠K B．梅花♣3、红桃♥K、黑桃♠K、方块◆7 C．梅花♣K、黑桃♠K、红桃♥K、方块◆7 D．梅花♣K、黑桃♠K、方块◆7、红桃♥K 题型三十一、省略加法和括号的形式 31．将6﹣（﹣3）﹣（﹣7）+（﹣2）中的减法改成加法，并写成省略加号的形式是（　　） A．﹣6﹣3+7﹣2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3+7﹣2 题型三十二、两个有理数的乘法运算 32．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“※”：． (1)求的值； (2)探索与的关系．（说明：对于运算“※”，如果有括号，先做括号内的运算．） 题型三十三、多个有理数的乘法运算 33．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有时三个非零数之和等于该三个数的积，如，满足．请再写出一组这样的三个非零有理数： ． 题型三十四、有理数乘法的实际应用 34．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）厦门某大型儿童乐园的门票零售每张20元．六（1）班有46人，请你根据乐园管理处规定：购买25张（含25张）以上的可以购买集体票，每张票价为原价的，设计两种购票方式，并指出哪种购票方式最便宜． 方式一：__________________ 方式二：__________________ 最便宜的购票方式是：______（写出计算过程） 题型三十五、倒数 35．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）有理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 题型三十六、有理数乘法运算律 36．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算 (1)； (2)； 题型三十七、有理数的除法运算 37．把转化为乘法是（　　） A． B． C． D． 题型三十八、有理数除法的应用 38．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图（1），有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，在每个“○”中填入一个数，使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都相等． (1)将，，，，，，1，3，5，7，9，11这12个数填入图（1）恰当的位置（每个数只能用一次），则每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都是______； (2)如果将这12个数改为，，，，，，2，4，6，8，10，12，使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和与（1）中相同，能满足要求吗？如果不满足，请说明理由． (3)若将满足条件的12个数填入图（2）中（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都相等．则______． 题型三十九、有理数乘除混合运算 39．（2025-七年级上·江苏苏州·开学考试）2只鸭子和3只鸡一样重，已知一只鸭子重3千克，一只鸡重 千克． 题型四十、有理数四则混合运算 40．（2023七年级上·江苏镇江·竞赛）我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如．在上述运算法则下， ． 题型四十一、有理数四则混合运算的实际应用 41．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）一辆火车以25米每秒的速度通过一个隧道，已知隧道长450米（隧道比火车长），火车从进隧道到完全出来用时32秒． (1)火车长多少米？ (2)火车完全在隧道内的时间是多少秒？ (3)若火车开始进隧道时鸣笛发出了声音，1秒后被在车尾的人听见了，求声音在空气中传播的速度． 题型四十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 42．（2025七年级上·江苏·阶段练习）a，b两数在数轴上位置如图所示，a，b，，用“”连接，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四十三、数轴上的翻折 43．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 题型四十四、有理数幂的概念理解 44．（23-24七年级上·江苏扬州·期中） 表示（    ） A． 个 相乘的相反数 B． 个 相乘 C． 个 相乘 D． 个 相乘 题型四十五、有理数的乘方运算 45．（2025-七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四十六、有理数乘方逆运算 46．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 题型四十七、乘方运算的符号规律 47．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）下面给出关于任意有理数a的三个结论：①；②；③．其中一定正确的结论个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型四十八、乘方的应用 48．【探索发现】 如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； ②请根据①的结论计算． 【问题解决】 如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…根据以上信息解决问题： （2）计算； 题型四十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 49．（2025·江苏南通·中考真题）《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元．将“5758亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型五十、程序流程图与有理数计算 50．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 题型五十一、含乘方的有理数混合运算 51．用“”规定一种新运算：对于任意有理数和，规定，如： ，求： (1)求的值． (2)求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数 章节（29知识点回顾+51题型巩固） 目录 知识梳理 1.正数与负数 2.具有相反意义的量 3.整数与分数 4.有理数的定义与分类 5.数轴 6.数轴上的点与有理数的关系 7.利用数轴比较两数大小 8.绝对值 9.相反数 10.绝对值的代数意义 11.利用绝对值比较大小 12.有理数加法法则 13.有理数加法运算律 14.有理数的减法 15.有理数的加减混合运算 16.用计算器计算有理数的加减混合运算 17.数轴上两点之间的距离 18.有理数乘法法则 19.有理数的乘法运算律 20.倒数 21.有理数除法法则 22.有理数的乘除混合运算 23.用计算器进行有理数的乘除运算 24.有理数乘方的意义 25.有理数乘方的性质 26.科学记数法 27.用计算器计算乘方 28.有理数的混合运算 29.用计算器计算 题型巩固 一、正负数的定义 二、相反意义的量 三、正负数的实际应用 四、有理数的定义 五、有理数的分类 六、带“非”字的有理数 七、数轴的三要素及其画法 八、用数轴上的点表示有理数 九、利用数轴比较有理数的大小 十、数轴上两点之间的距离 十一、数轴上点的平移（动点问题） 十二、数轴上整点覆盖问题 十三、绝对值的几何意义 十四、求一个数的绝对值 十五、绝对值非负性 十六、绝对值的其他应用 十七、有理数大小比较 十八、有理数大小比较的实际应用 十九、相反数的定义 二十、相反数的应用 二十一、化简多重符号 二十二、有理数加法运算 二十三、有理数加法中的符号问题 二十四、有理数加法在生活中的应用 二十五、有理数加法运算律 二十六、有理数的减法运算 二十七、有理数减法的实际应用 二十八、有理数的加减混合运算 二十九、有理数加减中的简便运算 三十、有理数加减混合运算的应用 三十一、省略加法和括号的形式 三十二、两个有理数的乘法运算 三十三、多个有理数的乘法运算 三十四、有理数乘法的实际应用 三十五、倒数 三十六、有理数乘法运算律 三十七、有理数的除法运算 三十八、有理数除法的应用 三十九、有理数乘除混合运算 四十、有理数四则混合运算 四十一、有理数四则混合运算的实际应用 四十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 四十三、数轴上的翻折 四十四、有理数幂的概念理解 四十五、有理数的乘方运算 四十六、有理数乘方逆运算 四十七、乘方运算的符号规律 四十八、乘方的应用 四十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 五十、程序流程图与有理数计算 五十一、含乘方的有理数混合运算 知识梳理 知识点1.正数与负数 1. 定义 像8 848.86，4，＋40 000，1.7这样的数是正数；像－80.97，－6 ，－10 000，－0.6这样的数是负数. 2. 符号“＋、－”的“双重”含义 (1)作为运算符号是加减号； (2)作为数的性质符号是正负号. 3. 易错警示 (1)表示正负数时，正号可以省略不写，而负号不能省略. (2)0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点，它小于所有正数，大于所有负数. 知识点2.具有相反意义的量 1.定义 在生活中存在各种各样的量，如“0℃以上的温度与0℃以下的温度”“收入若干元与支出若干元”，像这样的量，它们是同类量，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作具有相反意义的量. 2. 具有相反意义的量的“两要素” (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量. (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等，所以与一个量具有相反意义的量不止一个. 3. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示. 知识点3.整数与分数 1. 整数 正整数、零、负整数统称为整数，如：－3 ，－2 ，0，1，2，3，其中正整数和零就是我们熟悉的自然数. 2. 分数 正分数、负分数统称为分数，如3，0.3，－1.25，－. 特别说明：有限小数与循环小数可以写成分数的形式，如4.5＝，0.1 ̇＝，所以，有限小数与循环小数都可以看作分数. 特别提醒：几种常见数： (1)正整数：既是正数，又是整数的数； (2)负整数：既是负数，又是整数的数； (3)正分数：既是正数，又是分数的数； (4)负分数：既是负数，又是分数的数； (5)非负整数：正整数和0； (6)非正整数：0 和负整数. 知识点4.有理数的定义与分类 1. 有理数的定义 整数和分数统称为有理数. 对于分数的识别有两个误区： (1)不是所有的小数都能化成分数，如无限不循环小数就不能化成分数； (2)有些数形似分数，但不是分数，如就不是分数. 2. 有理数的分类 (1)按有理数的定义分类 (2)按性质分类 3. 有理数分类的三原则 (1)分类不重复：所分的各类应当互不包含. 例如，有理数分为非负有理数、0和非正有理数，就违反了这一原则. (2)分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部. 例如，将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0 . (3)标准要统一：必须按同一分类标准进行分类. 例如，将有理数分为正有理数、0 和负分数，分类标准就不统一. 知识点5.数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 2. 画数轴的步骤 (1)画直线，取原点：画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，这个点称为原点. (2)标正方向： 规定直线上从原点向右为正方向(画箭头表示)，向左为负方向. (3)选取单位长度，标数：取适当长度(如1 cm)为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3， … 从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1 ，－2 ，－3，… 知识点6.数轴上的点与有理数的关系 1.对应关系 2.数在数轴上的表示 示例 (＞0)和－在数轴上的表示 －是负数，对应的点在原点的左边； 是正数，对应的点在原点的右边 数轴是数与图形结合的桥梁，是初步感受“数形结合”的载体. 知识点7.利用数轴比较两数大小 1. 法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 2. 有理数，b的大小关系 不完整的数轴上的A，B两点分别表示有理数，b，如图2.2-4所示，点A，B的位置关系有三种 结论：对于有理数，b，下列三种关系有且只有一种成立：＞b，＝b，＜b. 3. 有理数大小关系的传递性 有理数，b，c的对应点在不完整的数轴上的位置如图2.2-5 所示： 结论：对于有理数，b，c， 如图2.2-5 ①，如果＞b，且b＞c，那么＞c； 如图2.2-5 ②，如果＜b，且b＜c，那么＜c. 特别提醒：利用数轴比较两个有理数的大小，关键有两步：一是在数轴上标点表示数；二是观察表示数的点在数轴上的位置. 知识点8.绝对值 1.概念 一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值. 2.表示方法 数的绝对值记为||，读作“ 的绝对值”. 3. 特别提醒 一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小，离原点越远，它的绝对值越大，所以没有绝对值最大的数，只有绝对值最小的数. 知识点9.相反数 1. 定义 像5与－5 ，2.5与－2.5，与－，…这样只有符号不同的两个数称为互为相反数，其中一个数叫作另一个数的相反数. 特别解读 1.“ 互为”的意义是指相反数是成对出现的，不能单独存在. 2. 任何一个数都有相反数，而且只有一个；正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0. 几何意义：因为互为相反数的两个数只相差一个负号，所以这两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等. 由此，我们得到： 互为相反数的两个数绝对值相等. 也可以表示为：|－|＝||. 2. 相反数的性质 (1)若与b互为相反数，则＝－b； (2)若＝－b，则与b互为相反数. 3. 相反数的求法 求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即的相反数是－，其实质是改变这个数的符号. 知识点10.绝对值的代数意义 1. 性质 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0 . 也可以表示为：当＞0 时，||＝；当＜0 时，||＝－；当＝0 时，||＝0 . 2. 绝对值最小的数是0 . 3. 绝对值相等的两个数相等或互为相反数. 知识点11.利用绝对值比较大小 1. 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小. 即：当＞0，b＞0时，若||＞|b|，则＞b； 当＜0，b＜0时，若||＞|b|，则＜b. 2. 比较数的大小的法则 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 知识点12.有理数加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. “同号”指两数同时是正数或负数. (2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 相加 若＞0，b＞ 0， 则＋b＝＋(||＋|b|) 若＜0，b＜0， 则＋b=－(||＋|b|) 3. 有理数加法运算的步骤 (1)判断加法的类型，即判断两个加数是同号，还是异号，加数中是否有0 . 根据加法的类型确定用加法法则中的哪一条；(2)确定和的符号；(3)确定和的绝对值. 知识点13.有理数加法运算律 1. 有理数加法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 ＋b＝b＋ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (＋b)＋c＝ ＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)相反数结合法；(2)同号结合法；(3)同形结合法；(4)凑整法；(5)拆项结合法. 3. 有理数加法的推论 如果＋b＝0 ，那么，b互为相反数. 知识点14.有理数的减法 1. 法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：－b＝＋(－b) ，其中，b表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－较小的数＝正数，即若> b，则－b> 0 . (2)较小的数－较大的数＝负数，即若<b，则－b< 0 . (3)相等的两个数的差为0，即若＝b，则－b＝0 . 知识点15.有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个数的和的形式. (2)运用加法交换律、加法结合律进行计算，使运算简便. 2. 省略和式中的加号和括号 进行有理数的加减混合运算时，利用减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算，在和式里可以把加号及括号省略不写，以简化书写形式. 3. 加法运算律在有理数加减混合运算中的应用原则 正数和负数分别相结合；同分母分数或比较容易通分的分数相结合；互为相反数的两数相结合；其和为整数的两数相结合；带分数一般化为假分数或整数和真分数两部分后，再计算. 知识点16.用计算器计算有理数的加减混合运算 进行有理数的加减混合运算，可依次输入算式中各有理数及各级括号，输入完毕，按等号键 ＝ ，即得运算结果. 知识点17.数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离　数轴上，点A，B分别表示数，b，则A，B两点之间的距离为线段AB的长度，即AB＝|－b|. 示图：(如图2.4–1) 知识点18.有理数乘法法则 1. 有理数乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； (2)0与任何数相乘都得0 . 2. 有理数的乘法符号法则 两个数的积的符号 这两个数的符号 符号语言 正 同正或同负 >0↔>0，b>0或<0，b<0 负 一正一负 <0↔>0，b<0 或<0，b>0 0 至少有一个是0 =0↔=0或b=0或=0且b=0 3. 特别提醒： ×(－b)与×b的值互为相反数. 知识点19.有理数的乘法运算律 名称 文字内容 字母表示 交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等 ×b＝b× 结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 (×b)×c＝×(b×c) 分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 (＋b)×c＝×c＋b×c 知识点20.倒数 1. 定义 乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫作另一个数的倒数. 2. 倒数与相反数间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若，b互为倒数， 则·b＝1 若·b＝1，则，b互为倒数 都成对 出现 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 的相反数是－ 若，b互为相反数， 则＋b＝0 若＋b＝0，则，b互为相反数 3. 求一个数的倒数的方法 (1)一个不为0 的整数的倒数就是用这个整数作分母，1作分子的分数； (2)一个真分数或假分数的倒数就是把这个分数的分子和分母交换位置； (3)求一个小数的倒数要先把小数化成分数，再求其倒数； (4)求一个带分数的倒数要先把带分数化成假分数，然后交换分子、分母的位置. 知识点21.有理数除法法则 1. 有理数除法法则一 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.　用字母表示为：÷b＝·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 用字母表示为：÷b＝. 知识点22.有理数的乘除混合运算 1. 有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的. 2. 有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算. 知识点23.用计算器进行有理数的乘除运算 进行有理数乘法和除法运算，只要依次输入算式中的有理数及乘号键 × 或除号键 ÷ ，最后按等号键 ＝，即得运算结果. 知识点24.有理数乘方的意义 乘方的意义 求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂， 个记作，读作“的次方”，其中是底数，是指数. 当看成的次方的运算结果时，也可读作“的次幂”. 乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式. 知识点25.有理数乘方的性质 1. 有理数乘方的运算法则 (1)正数的任何次幂都是正数； (2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； (3)0的任何正整数次幂都是0 . 特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方，任意一个数的平方都是非负数；一个数的三次方，也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数. 2. 有理数乘方的运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 特别地，当底数较大时，可借助计算器计算. 知识点26.科学记数法 1. 科学记数法 一般地，一个绝对值大于10的数可以写成×的形式，其中1 ≤||＜10，是正整数. 这种记数法称为科学记数法. 当＝1时，可简写成. 2. 科学记数法中的和(1)将原数的小数点移到从右到左最高数位的数字的后边即可得到的取值. (2)确定的两种方法：①根据原数的整数位数来确定，等于原数的整数位数减1. 例如2 023是一个四位数，用科学记数法表示为2.023×，其中＝4－1＝3 .②按小数点移动的位数来确定，小数点向左移动了几位，就等于几. 知识点27.用计算器计算乘方 对于平方运算，在输入底数后，按平方键 ，再按等号键 = ，即得运算结果. 对于高于2 次的乘方运算，输入底数后，按乘幂键 ，然后输入指数，再按等号键 = ，即得运算结果. 知识点28.有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算的顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左至右的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，一般按小括号、中括号、大括号依次进行. 2. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把这六种基本的代数运算分为三级：加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算；乘方与开方是第三级运算. 3. 有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活运用运算律，从而简化计算. 知识点29.用计算器计算 各种类型的计算器在使用时，按键的方法不尽相同，但在进行加、减、乘、除、乘方几种运算时按键方法通常是一样的. 下面以课本中所示的计算器为例： 使用步骤：(1)按开启键 ON ；(2)按照算式的书写顺序输入，看显示器上的显示是否正确；(3)按 = 键执行运算，此时显示出计算结果. 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利60元，记作“元”，那么亏损10元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 理解盈利60元，记作“元”，从而可得亏损的表示方法． 【详解】解：盈利60元，记作“元”，那么亏损10元，记作“元”， 故选：A． 题型二、相反意义的量 2．（24-25七年级上·江苏徐州）如果从点向东走米到点记作米，那么从点向西走米应记作（   ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：向东走米到点记作米，则点向西走米应记作米， 故选：C． 题型三、正负数的实际应用 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】(1)他此时在出发地A处东边，距A处8千米； (2)小王师傅接送8次乘客共收车费元； 【知识点】正负数的实际应用 【分析】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）解：由题意可得， 只有，，，四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， ∴费用为：（元）， ∴小王师傅接送8次乘客共收车费元． 题型四、有理数的定义 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列7个数：，，，，，（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（  ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查的是有理数，解题的关键是掌握有理数和无理数的概念．根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，对各个数逐一判断即可． 【详解】有理数有：，，，，共5个， 故选：C． 题型五、有理数的分类 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）下列各数：，其中负有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负理数的定义逐项分析判断，即可． 【详解】解：在中，其中负有理数有，共2个， 故选：B． 题型六、带“非”字的有理数 6．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号内，，0，，0.1010010001，，，， (1)非负整数集合： ； (2)分数集合： ； 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数的分类， 根据有理数的分类以及非负整数和分数的定义解答即可．掌握非负整数、分数的定义是解答本题的关键． 【详解】（1）非负整数集合： 故答案为：； （2）分数集合：． 故答案为：． 题型七、数轴的三要素及其画法 7．数轴是一条规定了 、 和单位长度的 ． 【答案】 原点 正方向 直线 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴定义回答即可． 本题考查数轴，解题关键是熟知数轴的定义． 【详解】解：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 故答案为：原点、正方向、直线． 题型八、用数轴上的点表示有理数 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，嘉嘉借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，由图可得刻度尺上的cm对应数轴1个单位长度，点A在原点O的左侧5个单位长度处，即可得点A对应的实数． 【详解】解：观察数轴图可得，O为原点，刻度尺上的cm对应数轴1个单位长度，点A在原点O的左侧5个单位长度处， ∴数轴上点A对应的实数为． 故答案为：． 题型九、利用数轴比较有理数的大小 9．（23-24七年级上·江苏常州·期中）将下列各数：在数轴上表示出来； 并比较它们的大小（用“”连接）：______． 【答案】见详解， 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了数轴，有理数比较大小，首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再用“＜”连接即可． 【详解】解：， 在数轴上表示如下： 故它们的大小为： 故答案为：． 题型十、数轴上两点之间的距离 10．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在一条可以折叠的数轴上，点表示的数分别是．如图，以点为折点，将此数轴向右对折．若点与点重合，则的数量关系为 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，以及数轴上两点之间的距离，根据题意可得，列出方程，整理方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴，， ∵点与点重合， ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型十一、数轴上点的平移（动点问题） 11．（2025七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【答案】1或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了数轴上的动点，掌握“右移加，左移减”是解题的关键． 根据平移时坐标的变化规律列式计算即可． 【详解】解：当点A在数轴上向右平移6个单位长度得到点B，则； 当点A在数轴上向左平移6个单位长度得到点B，则． 综上，点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 题型十二、数轴上整点覆盖问题 12．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为 厘米． 【答案】3或2 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解． 【详解】解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，． ∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米， 故答案为：3或2． 题型十三、绝对值的几何意义 13．已知，则的值是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：， ，为非正数． 故选：D． 题型十四、求一个数的绝对值 14．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D．2023 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的定义，解题关键是掌握负数的绝对值是它的相反数，正数和0的绝对值是它本身．根据绝对值的定义即可作答． 【详解】解：的绝对值是2023， 故选：D． 题型十五、绝对值非负性 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）当 时，有最小值是 ． 【答案】 2 1 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值性质，根据绝对值的非负性求解，即可解题． 【详解】解：， ， 当时，有最小值，最小值为1， 故答案分别为：2，1． 题型十六、绝对值的其他应用 16．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)在出发点的北边，距离出发点4千米 (2)不需要加油，理由见解析 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了正数和负数，注意返回出发地，还需加上距出发地距离．（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据行车就耗油，可得耗油量，可得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：在出发点的北边，距离出发点4千米； （2）不需要加油，理由： （千米）， （升）， ∵， ∴不需要加油． 题型十七、有理数大小比较 17．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）比较大小： ， （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】根据两个负数比较，绝对值大的反而小比较和，先根据有理数的乘方法则计算，再根据正数大于负数比较即可．本题考查了有理数大小比较，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， 又， ； ， ； 故答案为：，． 题型十八、有理数大小比较的实际应用 18．暑假期间，学校组织学生去某景点游玩，甲旅行社说：“如果带队的一名老师购买全票，则学生享受半价优惠”；乙旅行社说：“所有人按全票价的六折优惠”．已知全票价为a元，学生有x人，带队老师有1人． （1）用含a和x的式子表示甲、乙旅行社的收费； （2）若有40名学生参加本次活动，请你为他们选择一家更优惠的旅行社． 【答案】（1）甲旅行社的收费为（a+0.5ax）元；乙旅行社的收费为0.6a（x+1）元；（2）若有40名学生参加本次活动，应该选择甲旅行社更优惠． 【知识点】有理数大小比较的实际应用、列代数式 【分析】（1）甲旅行社收费为1名老师收费a元加上x名学生收费0.5ax元，乙旅行社的收费为（x+1）人，每人收费0.6a，据此即可得出答案； （2）当x=30时分别求出甲乙两旅行社的收费，然后比较即可． 【详解】解：（1）甲旅行社的费用为a＋0.5ax＝(a＋0.5ax)元， 乙旅行社的费用为(x＋1)×0.6a＝0.6a(x＋1)元． （2）当x＝40时，甲旅行社的费用为＝a＋20a＝21a(元)， 乙旅行社的费用为0.6a×41＝24.6a(元)． ∵a＞0，所以21a＜24.6a， ∴选择甲旅行社更优惠． 【点睛】本题考查列代数式和代数式大小比较，解题的关键是明确题意，列出正确的代数式． 题型十九、相反数的定义 19．（2025·江苏徐州·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数为 故选：A． 题型二十、相反数的应用 20．（2022七年级上·江苏·专题练习）数轴上表示﹣5和3﹣2m的不同两点到原点的距离相等，则m的值为 ． 【答案】﹣1 【知识点】相反数的应用 【分析】根据题意得，这两个数互为相反数，和为0列出方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：﹣5+3﹣2m＝0， 解得：m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了数轴，掌握在数轴上互为相反数的两个数（0除外）表示的点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等是解题的关键． 题型二十一、化简多重符号 21．（24-25七年级上·江苏南京·期中）把下列各数填入相应的表格内：，，，，，． 正有理数 负有理数 整数 分数 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类、化简多重符号 【分析】本题主要考查了有理数的分类，化简多重符号，先化简多重符号，再根据正有理数是大于0的数，负有理数是小于0的数进行求解即可． 【详解】解：， 填表如下： 正有理数 负有理数 整数 分数 ， ， 题型二十二、有理数加法运算 22．（2023七年级上·江苏泰州·竞赛）文字“附、中、欢、迎 、你”表示各不相同的一个数字（数字是的整数）． (1)请写出符合下列要求的两个算式； 附 中 欢 迎 + 你 迎 你 (2)在（1）的情况下求“迎+你”的最大值． 【答案】(1)， (2)11 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的应用． （1）由竖式可知“附、中、欢、迎”对应的数相加为10的倍数，进而列式即可； （2）根据“迎”为1，2中的一个，取“你”为9，求出最大值即可 【详解】（1）由竖式可知“附、中、欢、迎”对应的数相加为10的倍数， 当“附、中、欢、迎”为6、7、8、9时，， 可知“迎”为1，2，3中的一个，但“迎”为3时与“附、中、欢、迎”为6、7、8、9冲突 ∴“迎”为1，2中的一个， 则符合要求的两个算式可为； （2）由（1）可知“迎”为1，2中的一个，则“你”最大值可取9， 当“迎”为2时，则“附、中、欢”之和为，可取5，6，7 则“迎”为2，“你”为9成立， 此时“迎+你”的值为11． 题型二十三、有理数加法中的符号问题 23．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】此题主要考查了有理数的新定义运算，正确运用公式是解题关键． 根据新定义的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 题型二十四、有理数加法在生活中的应用 24．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动．它从A处出发去看望、、处的其他甲虫．规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．如从A到记为：，从到A记为：，括号内第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中， (1) ， ； ， ． (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)若这只甲虫从A处去甲虫处的行走路线一次为，，，，请在图中标出的位置，并计算该甲虫走过的路程． 【答案】(1)， (2)10 (3)图见解析，路程为15 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数加法的应用及正负数的意义，读懂题目信息，理解行走路线的记录方法是解题的关键． （1）根据第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向结合图形写出即可； （2）根据行走路线列出算式计算即可得解； （3）根据方格和标记方法作出线路图即可得解． 【详解】（1），； 故答案为，； （2）； （3）点如图所示． 路程为： 题型二十五、有理数加法运算律 25．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查有理数的加法以及其运算律，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则及其运算律． 根据有理数加法结合律和加法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的加法以及其运算律，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则及其运算律． 题型二十六、有理数的减法运算 26．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1），，，，…．（2），利用以上规律计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算、数字类规律探索 【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可知：，，然后即可计算出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ，， ， 故答案为：1． 题型二十七、有理数减法的实际应用 27．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）我国新疆境内，有海拔约为的乔戈里峰，还有海拔约为的吐鲁番艾丁湖，乔戈里峰比吐鲁番艾丁湖高 ． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，用即可求解，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：依题意可得： ， 故答案为：． 题型二十八、有理数的加减混合运算 28．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)4 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十九、有理数加减中的简便运算 29．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：； 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握加法交换律和结合律是解题关键．利用加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型三十、有理数加减混合运算的应用 30．（24-25七年级·江苏淮安·期中）综合与实践：魔术中的数学密码 温馨提示：一副扑克牌通常有54张牌，其中包括：52张正牌：分为4种花色（黑桃♠，红心♥，梅花♣，方块◆），每种花色有13张牌，分别是A、、J、Q、K．2张副牌：大王和小王．本题通过扑克牌魔术的规则，考察数学中的排列组合和简单计算．所有扑克牌点数对应规则为： ，其他数字牌按实际数值计算． 花色优先级：黑桃♠梅花♣方块◆红桃♥（点数相同时使用）． 【魔术规则】 观众从一副标准的扑克牌（共52张，不含大小王）中随机抽取5张牌交给魔术师的助手，助手从中选择一张让观众藏起来，并把剩余的4张牌（明牌）正面朝上放在桌上，然后，魔术师查看桌子上的4张明牌，便能准确地说出隐藏之牌（暗牌）的花色和点数． 【魔术原理】 一、花色定位： 步骤1：从5张牌中必能找到2张同花色牌． 步骤2：若这2张同花色牌点数之差的绝对值小于等于6，则助手将点数较小的牌放在最左边；若点数之差的绝对值大于6，则助手将点数较大的牌放在最左边，这张牌称为花色指示牌，用它指示暗牌的花色，随后，助手将另外一张牌交给观众藏起来． 如果助手将黑桃5放在最左边，那么暗牌的花色一定是________； 二、点数计算： 1．将剩下3张牌比较大小，若点数相同，再比花色．例如：①红桃♥9②梅花♣3③方块◆9，若按照从小到大排序，顺序为________（填写序号） 2．根据这3张牌的摆放顺序，对应一个密码数字（1～6）（如图1）． 密码数字 3张牌的摆放顺序（从左到右） 示例（3张牌为 1 小中大 2 小大中 3 中小大 4 中大小 5 大小中 6 大中小 （图1） 若这3张牌摆成“”，则对应的密码数字是________； 3．暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字．（如图2，扑克牌顺时针从（1）K（13）再回到A（1），点数像钟表一样循环，若结果超过13，则减去13）． 若指示牌是梅花J，密码数字为5，则暗牌的点数是________； 【魔术应用】 如图3，观众随机抽取的5张牌为： 利用上面的原理，助手需选择一张牌作为暗牌，将其余4张牌作为明牌，则明牌摆放顺序从左到右依次应为________． A．梅花♣3、方块◆7、红桃♥K、黑桃♠K B．梅花♣3、红桃♥K、黑桃♠K、方块◆7 C．梅花♣K、黑桃♠K、红桃♥K、方块◆7 D．梅花♣K、黑桃♠K、方块◆7、红桃♥K 【答案】一、花色定位：黑桃；二、1．②③①；2.   4；3.   3；魔术应用：D． 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算的应用， 一、花色定位：根据题意得出最左边牌色即暗牌颜色； 二、点数计算：1.根据规则确定大小即可； 2.先确定大小，再根据表格确定密码数字； 3.根据暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字确定暗牌点数； 魔术应用：按照花色定位、点数计算及暗牌点数计算方法确定选项即可． 【详解】解：一、花色定位： 由题意得：如果助手将黑桃5放在最左边， 那么暗牌的花色一定是黑桃， 故答案为：黑桃； 二、 1．①红桃♥9②梅花♣3③方块◆9，若按照从小到大排序，顺序为②③①， 故答案为：②③①； 2．若这3张牌摆成“”， 则3张牌的摆放大小顺序（从左到右）为：中大小， 则对应的密码数字是：4， 故答案为：4； 3．根据暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字，若指示牌是梅花J，密码数字为5， 则暗牌的点数是， 故答案为：3； 魔术应用： 花色定位：五张牌中，花色相同的是梅花3和梅花K，点数差大于6， 则助手将点数较大的牌放在最左边，即梅花K为花色指示牌，故选项A、B错误， 所以暗牌一定是梅花3， 点数计算：选项C中，大小顺序为中大小，故对应的密码数字是：4， 则暗牌的点数是，与暗牌一定是梅花3相矛盾，故选项C错误， 选项D中，大小顺序为中小大，故对应的密码数字是：3， 则暗牌的点数是，与暗牌一定是梅花3相一致，故选项D正确， 故选：D． 题型三十一、省略加法和括号的形式 31．将6﹣（﹣3）﹣（﹣7）+（﹣2）中的减法改成加法，并写成省略加号的形式是（　　） A．﹣6﹣3+7﹣2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3+7﹣2 【答案】D 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】先将代数式中的减号利用去括号与添括号法则改为加号，再将减法转化成省略加号的和的形式． 【详解】6﹣（﹣3）﹣（﹣7）+（﹣2）＝6+（+3）+（+7）+（﹣2）＝6+3+7﹣2． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的减法法则．正确的理解和运用减法法则是解题的关键． 题型三十二、两个有理数的乘法运算 32．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“※”：． (1)求的值； (2)探索与的关系．（说明：对于运算“※”，如果有括号，先做括号内的运算．） 【答案】(1) (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算、整式的加减运算 【分析】本题主要考查新定义下的有理数的乘法运算，解题的关键是理解新定义运算法则． （1）直接根据新定义计算即可； （2） 根据新定义先计算，再计算，通过计算结果即可判断关系． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ． 题型三十三、多个有理数的乘法运算 33．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有时三个非零数之和等于该三个数的积，如，满足．请再写出一组这样的三个非零有理数： ． 【答案】2，4，（答案不唯一） 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，是一道开放型题目，难度不大． 根据题意，三个非零数之和等于该三个数的积，写出一组即可． 【详解】解：2，4，满足，，即， 故答案为：2，4，（答案不唯一）． 题型三十四、有理数乘法的实际应用 34．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）厦门某大型儿童乐园的门票零售每张20元．六（1）班有46人，请你根据乐园管理处规定：购买25张（含25张）以上的可以购买集体票，每张票价为原价的，设计两种购票方式，并指出哪种购票方式最便宜． 方式一：__________________ 方式二：__________________ 最便宜的购票方式是：______（写出计算过程） 【答案】各自购票，全部购买团体票，方式二，计算过程见解析． 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了最优化问题，根据题意设计两种购票方式，分别计算所需的钱数，比较即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：方式一：各自购票，所需钱数为：（元）， 方式二：全部购买团体票，所需钱数为：（元）， ∵， ∴最便宜的购票方式是：全部购买团体票， 故答案为：各自购票，全部购买团体票，方式二． 题型三十五、倒数 35．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）有理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义解答即可，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：有理数的倒数是， 故选：． 题型三十六、有理数乘法运算律 36．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的加减法和乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三十七、有理数的除法运算 37．把转化为乘法是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查有理数的除法，有理数的乘法，根据除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数可得． 【详解】解：把转化为乘法是， 故选：D． 题型三十八、有理数除法的应用 38．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图（1），有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，在每个“○”中填入一个数，使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都相等． (1)将，，，，，，1，3，5，7，9，11这12个数填入图（1）恰当的位置（每个数只能用一次），则每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都是______； (2)如果将这12个数改为，，，，，，2，4，6，8，10，12，使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和与（1）中相同，能满足要求吗？如果不满足，请说明理由． (3)若将满足条件的12个数填入图（2）中（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都相等．则______． 【答案】(1) (2)不满足，理由见解析 (3) 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数除法的应用、整式加减的应用 【分析】本题考查了有理数的加减法与除法的应用、整式加减的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键． （1）将这12个数相加，再除以3即可得； （2）将这12个数相加，再除以3，将结果与（1）的结果比较即可得； （3）先根据图（2）可得出等式，从而可得，，再代入计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：， ， 所以每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都是， 故答案为：． （2）解：不满足，理由如下： ， ， 所以每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都是2，与（1）中不相同． （3）解：由题意得：， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 题型三十九、有理数乘除混合运算 39．（2025-七年级上·江苏苏州·开学考试）2只鸭子和3只鸡一样重，已知一只鸭子重3千克，一只鸡重 千克． 【答案】2 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算的实际应用，找出题目中的等量关系，是解答此题的关键． 先算出鸭子的总重量，再除以3即可． 【详解】解： （千克） 答：一只鸡重2千克． 故答案为：2． 题型四十、有理数四则混合运算 40．（2023七年级上·江苏镇江·竞赛）我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如．在上述运算法则下， ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查新定义运算，根据“”的运算法则列式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型四十一、有理数四则混合运算的实际应用 41．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）一辆火车以25米每秒的速度通过一个隧道，已知隧道长450米（隧道比火车长），火车从进隧道到完全出来用时32秒． (1)火车长多少米？ (2)火车完全在隧道内的时间是多少秒？ (3)若火车开始进隧道时鸣笛发出了声音，1秒后被在车尾的人听见了，求声音在空气中传播的速度． 【答案】(1)米 (2)秒 (3)米/秒 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据路程速度时间求出路程，即可得出答案； （2）先求出火车完全在隧道内行驶的路程，再求时间即可； （3）根据速度路程时间，求出声音在空气中传播的速度即可． 【详解】（1）解：（米）， 答：火车长350米； （2）解：（秒）， 答：火车完全在隧道内的时间是4秒； （3）解：（米）， （米/秒）， 答：声音在空气中的传播速度为325米/秒． 题型四十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 42．（2025七年级上·江苏·阶段练习）a，b两数在数轴上位置如图所示，a，b，，用“”连接，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较及数轴，解题的关键是熟知数轴上右边的数总比左边的数大． 通过分析数轴上、的位置确定其取值范围，或给、赋值，进而比较、、、的大小． 【详解】解：方法一：由数轴可知，．所以．按照数轴上数从左到右逐渐增大的规律，可得． 方法二：令，则．比较可得，即． 故选：C． 题型四十三、数轴上的翻折 43．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 【答案】(1) (2)、两点表示的数是、 (3)正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合 【知识点】数轴上的翻折、数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，数字类规律探究； （1）先求出和的中点，再根据对称列式计算即可求解； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动、4次后顶点A落在表示的点处，即可求出正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处，进而即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示的点重合， 数轴上表示的点与表示的点的中点是表示的点． 数轴上表示的点与表示的点重合． 故答案为； （2）数轴上、两点之间的距离为， ， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 答：、两点表示的数是、； （3）边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， ∴正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示7的点处 正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示的点处 规律是：正方形滚动第（是正整数）次、第次时，点落在数轴上表示的点处 正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处， 此时，点距离数轴上2表示的点的距离为：， 正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合． 题型四十四、有理数幂的概念理解 44．（23-24七年级上·江苏扬州·期中） 表示（    ） A． 个 相乘的相反数 B． 个 相乘 C． 个 相乘 D． 个 相乘 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念即可得． 【详解】 则表示的是6个相乘， 故选：B． 题型四十五、有理数的乘方运算 45．（2025-七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算、有理数乘方等知识点，根据有理数的乘除混合运算、有理数乘方逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A不合题意； B、，故B不合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不合题意． 故选：C． 题型四十六、有理数乘方逆运算 46．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 题型四十七、乘方运算的符号规律 47．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）下面给出关于任意有理数a的三个结论：①；②；③．其中一定正确的结论个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、乘方运算的符号规律 【分析】分别根据相反数、绝对值及偶次方对各小题进行逐一判断． 【详解】解：①当时，，故此小题错误； ②当时，，故此小题错误； ③当，时，，故此小题错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质、相反数及偶次方，解题的关键是要熟知“0的相反数、绝对值、偶次方均为0”的知识． 题型四十八、乘方的应用 48．【探索发现】 如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； ②请根据①的结论计算． 【问题解决】 如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…根据以上信息解决问题： （2）计算； 【答案】（1）①；②；（2） 【知识点】乘方的应用、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的乘方，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键． （1）①根据题目规律进行计算即可；②根据①的结论即可求解； （2）分别计算图形中阴影部分的面积以及空白部分的面积，得出第次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是，由此可得答案； （3）根据（2）的方法进行计算即可求解． 【详解】解：（1）①观察图形可知：部分①的面积为：，部分②的面积为，部分③的面积为，部分④的面积为，部分⑤的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； ②观察图形可知： ； （2）根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割， 把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为， 空白部分面积为……， 则第次分割阴影部分的面积和为， 两边同除以2，得， ． 题型四十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 49．（2025·江苏南通·中考真题）《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元．将“5758亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据5758亿用科学记数法表示为； 故选B． 题型五十、程序流程图与有理数计算 50．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 【答案】11 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算；按照题意依次计算乘方与减法，计算结果与10比较，若小于继续计算，否则输出结果即可．第一次计算的结果为，以作为输入值，计算后结果为，以作为输入值，计算后结果为，则可得输出结果． 【详解】解：，，， 则输出结果为11； 故答案为：11． 题型五十一、含乘方的有理数混合运算 51．用“”规定一种新运算：对于任意有理数和，规定，如： ，求： (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，根据题目中给出的式子进行正确求解为解题关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解： （2）， . 学科网（北京）股份有限公司 $