5.4 第1课时 角平分线的性质定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

5.4 角平分线的性质 第5章 直角三角形 第1课时 角平分线的性质定理 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点） 学习目标 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB = AD，BC = DC.将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线， 你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是 SSS，两全等三角形的 对应角相等. 角平分线的性质 A O B P D E C 探究 在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，作 PD ⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E. 比较线段 PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 猜想： PD = PE 探究新知 如图，∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD = PE. 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP， OP = OP， ∴ △PDO≌△PEO(角角边). ∴ PD = PE. 验证猜想 A O B P D E C 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 要点归纳 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 A O B P D E C ∵ OC 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， (角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 应用格式： 注意事项：证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏. A O B P D E C 判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 BD ＝ CD . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， 所以 BD ＝CD. ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C 例1 已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (斜边、直角边). ∴ EB = FC. 典例精析 例2 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 A B C P 变式：如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14. (1) 则点 P 到 AB 的距离为_______； (2) 求 △APB 的面积. D 4 温馨提示：存在一条垂线段——构造应用 故 AB·PD = 28. 解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4， 1. 应用角平分线的性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2. 联系角平分线的性质： 面积 周长 条件 角平分线的性质 方法归纳 2. △ABC中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，则 ∠EBF = °，BE = . 60 BF E B D F A C G 课堂练习 3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC = ∠BOC 的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到 角两边的距离相等 A B M N C O A 解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F， ∵AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB. ∴DF ＝ DE ＝ 2. 解得 AC＝3. 4. 如图，AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC ＝ 7，DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C E A D F 方法总结：过角平分线上的点往角的两边作垂线是常见的辅助线，便于利用角平分线的性质定理. 解：(1) DC = DE. 理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. (2) 在 Rt△CDB 和 Rt△EDB 中， DC = DE，DB = DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴BE ＝ BC ＝ 8. ∴ AE＝AB - BE = 2. ∴△AED的周长 = AE + ED + DA = 2 + 6 = 8. E D C B A 6 8 10 5. 如图，在 Rt△ABC 中，BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于 E， 则：(1) 哪条线段与 DE 相等？为什么？ (2) 若 AB＝10，BC＝ 8，AC ＝ 6，求 BE，AE 的长和△AED 的周长. 解：过点 P 作MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 之间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为 6. 6.如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB 于 E，且PE = 3，求 AD 与BC 之间的距离. 证明：∵CD 是∠ACG 的平分线， DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE ＝ DF. 在 Rt△CDE 和 Rt△CDF 中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE ＝ CF. 7. 如图所示，D 是∠ACG的平分线上的一点． DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为 E，F. 求证：CE ＝ CF. 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 课堂小结 $