5.4 第1课时 角平分线的性质定理（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第5章 直角三角形 5.4 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质定理 【素养目标】 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理. （难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点） 【复习导入】 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中，.将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是角平分线.你能说明它的道理吗? 【合作探究】 探究点、角平分线的性质 探究 在的平分线上任取一点，作，，垂足分别为点、. 比较线段，的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 猜想： 验证猜想 如图，，点在上，，，垂足分别为 ，.求证：. 要点归纳 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 应用所具备的条件： (1) 角的平分线；(2) 点在该平分线上；(3) 垂直距离. 定理的作用：证明线段相等. 应用格式： ∵ 是 的平分线， ，， ∴ . (角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 注意事项： 证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏. 判一判：(1) 如下左图，因为 平分 (已知)，所以 . ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ) (2) 如上右图，因为 ， (已知)，所以 . (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 例1 已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. 例2 如图， 是 的平分线，点 在 上，，，垂足分别是 ，，，则 变式：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC = 4，AB = 14. (1) 则点P到AB的距离为_________； (2) 求△APB的面积. 课堂练习 1. 如图，，，垂足分别是 ，，，°，则，. 第1题图 第2题图 2. 中，， 平分，且 ，，则点 到 的距离是_______. 3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明 的依据是（ ） A.SSS B.ASA C. AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 第3题图 第4题图 4. 如图， 是 的角平分线，，垂足为 ，，，，则 的长是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1) 哪条线段与DE相等？为什么？ (2) 若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长. 6.如图，已知AD∥BC， 是 与 的平分线的交点，于，且，求 与 之间的距离. 7. 如图所示， 是 的平分线上的一点.，，垂足分别为 ，. 求证：. 参考答案 复习导入 问题1：用量角器度量，也可用折纸的方法． 问题2：不能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线. 问题3：其依据是 SSS，两全等三角形的对应角相等. 探究点、角平分线的性质 验证猜想：证明：，，. 在和中，. . 判一判：(1) × (2) × 例1 证明：∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF，∠DEB = ∠DFC = 90°. 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF (斜边、直角边). ∴EB = FC. 例2 (直接应用存在的两条垂线段) 变式：解：（1）由角平分线的性质知PD = PC = 4， （2） . 课堂练习 1. ，. 2. 3. 3. 4. D 5. 解：(1) DC = DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. (2) 在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC = DE，DB = DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE = BC = 8. ∴AE＝AB - BE = 2. ∴△AED的周长 = AE + ED + DA = 2 + 6 = 8. 6.解：过点作于点，交于点. ∵，∴，为与之间的距离 ∵平分，，，∴. 同理，. ∴.∴. 即与之间的距离为. 7. 证明：是的平分线，，， .在和 中， ，. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $