5.1 第1课时 直角三角形的性质和判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

5.1 直角三角形的性质定理 第1课时 直角三角形的性质与判定 第5章 直角三角形 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定及推论.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. （难点） 学习目标 1. 根据三角形的分类知识填空. 按角分类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 2. 三角形全等的证明方法有哪些？ 边边边 边角边 角边角 角角边 复习导入 问题1：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度? 30° + 60° = 90° 45° + 45° = 90° 直角三角形的两个锐角互余 1 探究新知 问题2：如图，在直角 △ABC 中， ∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？ 思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 在直角△ABC 中，由三角形内角和定理，得∠A +∠B +∠C = 180°，因为 ∠C = 90°，故∠A + ∠B = 90°. A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式： 在 Rt△ABC 中， 因为∠C = 90°， 所以∠A +∠B = 90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC ． 知识要点 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴AB∥CD， ∴∠A = ∠D. 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴∠A+∠AOB = 90°，∠D+∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD，∴∠A = ∠D. 例1（1）如图①，∠B =∠C = 90°，AD 交BC 于点 O，∠A 与∠D 有什么关系？ 图① O 典例精析 解：∠A = ∠C. 理由如下： ∵∠B = ∠D = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠C. （2）如图②，∠B = ∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠C 有什么关系？请说明理由. 图② 与图①有哪些共同点与不同点？ O 思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？ 基本图形 ∠A =∠C ∠A =∠D O O 要点归纳 如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么 △ABC 是直角三角形吗？ 问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 在 △ABC 中，因为 ∠A +∠B +∠C = 180°， 又∠A +∠B = 90°，所以∠C = 90°. 于是 △ABC 是直角三角形. 直角三角形的判定 2 A B C 应用格式： 在 △ABC 中， ∵ ∠A +∠B = 90°， ∴ △ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 要点归纳 例2 如图，∠C = 90°，∠1 = ∠2，△ADE 是直角三 角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在 Rt△ABC 中，∠2 + ∠A = 90°. ∵∠1 = ∠2， ∴∠1 + ∠A = 90°. 即 △ADE 是直角三角形. 典例精析 例3 如图，CE⊥AD，垂足为 E，∠A = ∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？ 解：△ABD 是直角三角形. 理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED = 90°． ∴∠C +∠D = 90°． ∵∠A = ∠C， ∴∠A +∠D = 90°． ∴△ABD 是直角三角形. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3 如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段 AB 的中点 D，连接 DC .以点 D 为圆心， DB 为半径画圆弧，则所画的弧经过点 C 吗？DC 与 AB 之间有怎样的数量关系？ 猜想：该弧经过点 C ，且 DC = DB = AB 证明： 过点 D 作 DE∥BC，DF∥AC，分别交 AC，BC 于点 E，F， 在 △ADE 与 △DBF 中， ∠AED =∠DFB， ∠ADE =∠B， AD = DB， 所以∠ADE≌△DBF(角角边)， E F 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线. 于是∠ADE =∠B，∠AED =∠ACB = 90°， ∠FDC =∠ECD，∠DFB =∠ACB = 90°. 从而 DE = BF. ① 在 △DFC 与△CED 中， ∠DFC = ∠CED， ∠FDC = ∠ECD， DC = CD， 所以△DFC≌∠CED(角角边)， 从而 CF＝DE . ② 由 ① 式和 ② 式得，CF = BF. 因此，直线 DF 是线段 BC 的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB. 因此 DC = DB = AB E F 由此可得直角三角形的性质定理： 要点归纳 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 应用格式： 在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 上的中点， 所以有 CD = AD = BD = AB. 例4 如图，已知 CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，且 . 求证：△ABC 是直角三角形. 证明： 所以 ∠1 = ∠A，∠2 = ∠B. 因为∠A +∠B +∠ACB = 180°， 因为∠A +∠B = 90°. 所以△ABC 是直角三角形. 因为 CD = AB = AD = BD， 从而 2(∠A +∠B) = 180°. 所以∠A +∠B +∠1 +∠2 = 180°， ∠ACB = ∠1 + ∠2， 解：∵AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中 点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4． 例5 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1) 若AB ＝ 10，AC ＝ 8，求四边形 AEDF 的周长； ∴四边形 AEDF 的周长＝ AE＋DE＋DF＋AF ＝ 5＋5＋4＋4 ＝ 18． (2)求证：EF 垂直平分 AD. 证明：∵DE ＝ AE，DF ＝ AF， ∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上． ∴EF 垂直平分 AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线. (1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm； (2)若∠C = 30°， AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD = _____cm. A B C D 6 10 5 练一练 要点归纳 体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形 1. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三 角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是________. 90° 2. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若 ∠BOD = 38，则∠A = _____°. 52 第1题图 第2题图 课堂练习 4. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°， CD⊥AB，与 ∠1 互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD 和 ∠A D．∠BCD C 3. 在 △ABC 中，若∠A = 43°，∠B = 47°，则这个三角形是____________. 直角三角形 5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD = ∠B．求证：△ACD 是直角三角形． 证明：∵∠ACB = 90°， ∴∠A +∠B = 90°． ∵∠ACD = ∠B， ∴∠A +∠ACD = 90°． ∴△ACD 是直角三角形． 6. 如图，已知 BD，CE 是 △ABC 不同边上的高， 点G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE. 解：连接 EG，DG. ∵BD，CE 是△ABC的高， ∴∠BDC ＝ ∠BEC ＝ 90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴EG ＝ BC，DG ＝ BC. ∴EG ＝ DG. 又∵点 F 是 DE 的中点， ∴GF⊥DE. 直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 课堂小结 $