4.6 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

4.6 线段的垂直平分线 第4章 三角形 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 学习目标 1. 理解线段垂直平分线的概念； 2. 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点） 3. 能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点） 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 情境导入 观察：已知点 P 与点 P′ 关于直线 l 对称，如果将线段 PP′ 沿直线 l 折叠，那么点 P 与点 P′ 重合，PD = P′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 PP′，又垂直于线段 PP′. l D 2 1 (P′) 线段垂直平分线的性质 1 P P′ 探究新知 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.(或中垂线) 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 知识要点 l P P′ 直线 l 就是线段 PP' 的垂直平分线. 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 探究发现 P A B D l 于是∠ADP =∠BDP = 90°. 在△PAD 和△PBD 中， 设 D 是线段 AB 的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点 D 在直线 l 上，并且 PD⊥AB， 所以△PAD≌△PBD (边角边). 因此 PA＝PB. AD＝BD， ∠ADP＝∠BDP， PD＝PD， 当点 P 在线段 AB 上时， 结论还成立吗? 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 知识要点 例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C A B C D E 典例精析 解析：∵ DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD. 又∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋DC ＝ 35 cm， ∴ BC＋AD＋DC＝ 35 cm. ∵ AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的转化，从而求出未知线段的长． A B C D E 练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . B 10 cm P A B C D 图① A B C D E 图② 说一说：线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么? 线段垂直平分线的判定 2 条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是：这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 这个逆命题是真命题吗? 下面来证明上述逆命题是真命题， 如图，当点 M 不在线段 AB 上时，连接 MA， MB，由于 MA = MB，则△MAB 是等腰三角形. 取 AB 的中点 D，连接 MD，则 MD 是△MAB 的底边 AB 上的中线，也是 AB 上的高线. M A B D 因此，直线 MD 是线段 AB 的垂直平分线，从而点 M 在线段 AB 的垂直平分线上. 当点 M 在线段 AB 上时，则 M 就是 AB 的中点，因而点 M 在 AB 的垂直平分线上. 推理论证 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： 因为 PA = PB， 所以点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识要点 例2 如图，在△ABC 中，AB，BC 的垂直平分线相交于点 O，连接 OA，OB，OC. 求证：点 O 在 AC 的垂直平分线上. 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上， 所以OA = OB(线段垂直平分线的性质定理). 同理 OB = OC. 于是OA = OC. 所以点 O 在 AC 的垂直平分线上 (线段垂直平分线的性质定理的逆定理). 结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定导入里购物中心的位置，使它到三个小区的距离相等吗？ 1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的 是（　　） A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C. AB 与 CD 互相垂直平分 D. CD 平分∠ACB A B C D A 课堂练习 2. 在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA = PB = PC，则点 P 是△ABC 的 ( ) A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 D 3. 已知线段 AB，在平面内找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有 　　　种. 无数 4. 下列说法： ① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则 EA = EB，PA = PB； ② 若 PA = PB，EA = EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB； ③ 若 PA = PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点； ④ 若 EA = EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB． 其中正确的有 （填序号）. ①②③ 5. 如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E ，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则 △BCE 的周长是 cm. A B C D E 16 6. 已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O. 求证：AO = BO. 证明： ∵ AC = BC，AD = BD， ∴ 点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上. ∴ CD 垂直平分线段 AB. 又 ∵ AB 与 CD 相交于点 O， ∴ AO = BO. 线段的垂直平分线的性质和判定 性质 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课堂小结 $