4.6 线段的垂直平分线 教学设计 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

湘教版数学 八年级上册 4.6 线段的垂直平分线（第一课时） 学情分析： 学生处于从形象思维向抽象思维过渡阶段，学生已掌握简单几何图形性质与判定，具备初步观察、分析和推理能力。但线段垂直平分线较为抽象，其性质和判定的探究对逻辑思维要求较高，学生理解起来有难度。部分学生在将实际问题转化为数学模型时会存在困难，需要教师借助生活实例和多媒体辅助，引导学生逐步深入理解，提升其抽象思维与知识应用能力。 教学目标： 1.理解线段的垂直平分线的定义，掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理。 2.经历动手操作、观察猜想、推理验证的探索过程，培养几何直观与逻辑推理能力。 3.感受几何图形的严谨性与规律性，体会数学知识的内在逻辑美，增强学习数学的兴趣。 教学重难点： 重点：掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理。 难点：线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的灵活区分与逆向应用。 教学过程： 一、情境导入 数学来源于生活，生活中处处有数学。同学们，你能用数学知识解决这个生活中的实际问题吗？ 在习主席的领导下，祁阳市的经济和文化发展可谓日新月异。市政府计划在今年的中秋节举办一个中秋文化展览活动，为了公平起见，要求展览地址离南部的八宝镇和北部的龚家坪镇距离相等。试问地址应定在何处？ 二、新知探究 （一）垂直平分线的定义 活动一 动手折纸,感知定义 1.取一张纸，画一条线段AB，对折AB使点A、B重合，折痕与AB的交点为C。 动手用尺规量一量，完成报告一。 2.定义：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 由上可知：线段是轴对称图形,对称轴是它的垂直平分线。 （二）线段垂直平分线的性质定理 活动二 动手测量,得出性质 1.对折线段AB，折痕所在的直线L就是线段AB的垂直平分线，在直线L上任取点P1、P2，连接AP1、BP1、AP2、BP2。请同学们用尺规量一量，完成报告二。 2.数学画板测量：利用数学画板，可在动态中进行精准的测量，点P在线段AB的垂直平分线上移动，无论它在什么位置，PB的长始终等于PA的长。 3.性质定理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 几何语言：∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB. 识记：由垂直平分线得线段相等。 4.小试牛刀 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD.若AD=3,CD =1，那么BC的长是（ ）A.4 B.4.5 C.5 D.6 （三）线段垂直平分线的性质定理的逆定理 1.动脑筋 我们已经知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如图，若有PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上吗？ 已知，如图，PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上 证明：∵PA=PB,∴△ABP是等腰三角形. 如图，作PC⊥AB于点C,∴AC=BC(三线合一） 因此直线PC是线段AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上. 2.性质定理的逆定理：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上. 识记：由线段相等得点在垂直平分线上。 3.典例精析 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB. 同理，OB=OC.∴OA=OC.∴点O在AC的垂直平分线上. 三、当堂检测 1.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P为直线l上一点，下列说法不正确的是（ ）A.PO=AO B.AO=BO C.点A、B关于直线l对称 D.PA=PB 2.如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB ，BC于点D、E，∠B=30°,∠BAC=80°,求∠CAE的度数。 3.如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，CD=3cm，△ABE的周长为13cm，求△ABC的周长. 4.拓展应用 古希腊有一位数学家，名叫海伦。一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，再回到B地，如何确定饮马的地点P，使得路程最短呢？ 抽象为几何问题：在直线MN上求作一点P,使AP+BP最短. 通过对称，把AP对称到另一边，作出点A关于这条河的对称点A1，则AP=A1P,马的奔跑路程从AP+BP变成了A1P+BP，因为两点之间线段最短，A1B就是路径最短的走法，点P就是马喝水的位置。也可对称点B，找到B1,连接AB1，得到的是同一个点P。 这类问题的关键就是作出对称点，通过对称化折为直。 四、解决实际问题 在习主席的领导下，祁阳市的经济和文化发展可谓日新月异。市政府计划在今年的中秋节举办一个文化展览活动，为了公平起见，要求展览地址离南部的八宝镇和北部的龚家坪镇距离相等。试问展览地址应定在何处？ 把两个镇看作两点，连接两点，作出线段的垂直平分线，在垂直平分线上选合适的地址举办展览即可。 五、文化传承（中秋节的由来） 中秋节起源于汉代，最初是庆祝丰收和祭拜月神的节日，后来成为了家庭团聚的重要日子。在这天，人们会祭月、吃月饼、赏月、饮桂花酒等。 中秋节与春节、清明节、端午节并称为中国四大传统节日。同学们，我们要树立文化自信，共同守护和发扬中国传统节日的魅力，让其继续为新时代的人们，带来欢乐和意义。 六、课堂总结 这节课你学到了什么知识？ 1.定义：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 线段是轴对称图形,对称轴是它的垂直平分线。 2.性质定理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 3.性质定理的逆定理：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 七、课后作业 基础作业：教材第142页 第1、2题 提升作业：教材第142页 第3、4题 2 学科网（北京）股份有限公司 $