2.4.2 零次幂和负整数指数幂（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦零次幂、负整数指数幂的意义及运算，科学记数法表示绝对值较小的数。课堂导入从已学同底数幂除法法则（m>n）出发，提出m≤n时的问题，通过推广法则和分式性质引导学生自主构建概念，搭建知识支架。 其亮点是以问题驱动和逻辑推理建构知识，结合典例及科研实例（如0.00000000034m用科学记数法表示），培养抽象能力、推理意识与应用意识。学生通过推导理解概念本质提升运算能力，教师可借助系统内容高效教学，助力学生掌握重点难点。

2.4.2 零次幂和负整数指数幂 2.4 整数指数幂 第 2 章 分 式 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1. 理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算；（重点，难点） 2. 会用科学记数法表示绝对值较小的数.（重点） 学习目标 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 即 问题 同底数幂的除法法则是什么？ 若 m≤n，同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？ = am－n 复习导入 零次幂和负整数指数幂 1 我们已经知道，当 n 为正整数时，an = a·a·····a. (1) 若 n 为 0 时，an 的意义是什么? (2) 若 n 为负整数时，an 的意义是什么? n 个a 思考 探究新知 (1) 根据分式的基本性质得， 受此启发，若把 (m > n ，m，n都是正整数) 推广到 m＝n 的情形，则有 将x用任意一个非零实数 a 代入，从①式得 a0 =1(a≠0). 即任何非零实数的零次幂都等于 1. 于是规定 x0 = 1 (x≠0). ① 例如，20 = 1，100 = 1，= 1. (2) 若把 (m > n ，m，n都是正整数) 推广到 m＝0 的情形，则有 又利用 ① 式得 于是规定 (x≠0 ，n 是正整数). ② 将 x 用任意一个非零实数 a 代入，从②式得 a (a≠0 ，n 是正整数). 由于 因此 a (a≠0，n 是正整数). 特别地， 当引入零次幂和负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体整数. a (a≠0). 例1 已知 (3x - 2)0 有意义，则 x 应满足的条件 是_______． 解析：根据零次幂的意义可知，若 (3x－2)0 有意义，则 3x - 2≠0，即 . 方法总结：零次幂有意义的条件是底数不等于 0，所以解决有关零次幂的意义问题时，可列出关于底数不等于 0 的式子求解． 典例精析 例2 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值． 解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1； ②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1； ③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1. 故 x 的值为 -1 或 2. 方法总结：乘方的结果为 1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于 1；1 的任何次幂都等于 1；－1 的偶次幂等于 1. 即在底数不等于 0 的情况下要考虑指数等于 0，另外还需考虑底数等于 1 或－1 的情况. 例3 计算： 解： 例4 把下列各式写成分式的形式： (1) x－2； (2) 2xy－3； 解：(1) x－2 ＝ . (2) 2xy－3 ＝ 2x·＝ . 1. 若 a = ，b = (-1)-1，c = ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．a＞b＝c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a B 解析：a = = = ，b = (-1)-1 = -1， c = = 1，所以 a＞c＞b，故选B. 练一练 方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． 2.把下列各数写成分数的形式： 解： 科学记数法：绝对值大于 10 的数可记成 a×10n 的形式，其中 1≤＜10，n 是正整数. 忆一忆： 例如，864000 可以写成 . 怎样用科学记数法表示 0.0000864？ 8.64×105 想一想： 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 2 探一探： 因为 所以，0.0000864 = 8.64×0.00001 = 8.64 ×10-5. 类似地，我们可以利用 10 的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. 算一算： 10－2 = ___________； 10－4= ___________； 10－8 = ___________. 议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 一般地，10 的 -n 次幂，在 1 前面有_____个 0. 想一想：10－21 的小数点后的位数是几位？ 1 前面有几个零？ 0.01 0.0001 0.00000001 通过上面的探索，你发现了什么？ n 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 知识要点 例5 近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破，比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚 1 nm (纳米) 栅极长度的晶体管，其物理栅长为 0.000 000 000 34 m，请用科学记数法表示这个长度(单位：m). 解：0.000 000 000 34＝3.4×0.000 000 000 1 ＝3.4×10－10， 因此，用科学记数法表示 0.000 000 000 34 m 即为 3.4×10－10 m. 例6 用小数表示下列各数： (1) 2×10－7； (2) 3.14×10－5； (3) 7.08×10－3； (4) 2.17×10－1. 分析：小数点向左移动相应的位数即可． 解：(1) 2×10－7＝0.000 000 2. (2) 3.14×10－5＝0.000 031 4. (3) 7.08×10－3＝0.007 08. (4) 2.17×10－1＝0.217. 1. 用科学记数法表示： （1）0.000 03； （2）-0.000 006 4； （3）0.000 0314. 2. 用科学记数法填空： （1）1 s 是 1 μs 的 1 000 000 倍，则 1 μs＝_______s； （2）1 mg＝_______kg； （3）1 μm＝_______m；　　　　　 （4）1 nm＝_______ μm；（5）1 cm2＝_______ m2； （6）1 mL＝_______m3. 3×10-5 3.14×10-5 -6.4×10-6 1×10-6 1×10-6 1×10-6 1×10-3 1×10-4 1×10-6 练一练 3. 中国女药学家屠呦呦获 2015 年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项．已知显微镜下某种疟原虫平均长度为 0.000 001 5 米，该长度用科学记数法表示为__________米． 1.5×10-6 1. 计算： 1 1 64 课堂练习 2. 把下列各式写成分式的形式： 3. 用小数表示 5.6×10-4. 解：原式 = 5.6×0.0001 = 0.00056. 解：(1) 原式 = (2) 原式 = 4. 比较大小： （1）3.01×10－4_______9.5×10－3； （2）3.01×10－4_______3.10×10－4. ＜ ＜ 5. 用科学记数法把小数 0.000 009 405 表示成 9.405×10n 的形式，那么 n = . -6 6. 计算：－22＋(－ )－2＋(2022－π)0. 解：－22＋(－ )－2＋(2022－π)0 ＝－4＋4＋1 ＝1. 整数指数幂 非正整数 指数幂的意义 1. 零次幂：当 a ≠ 0 时，a0 = 1 2. 负整数指数幂：当 n 是正整数时，a-n＝ 科学记数法表示绝对值较小的数 0.00…01 n 个 0 课堂小结 $