1.3 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

该初中数学课件核心内容为利用完全平方公式进行因式分解，通过复习因式分解定义、提公因式法及平方差公式导入，搭建新旧知识联系的支架，引导学生从公式正向应用过渡到逆向分解。 其亮点在于结合数学思维与数学语言，通过公式逆向推理、简记口诀及多样化例题（如含负号、提公因式后分解）培养学生运算能力与符号意识，采用讲练结合与方法总结，助力学生掌握分解技能，教师可直接用于高效教学。

1.3 公式法 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解 第 1 章 因式分解 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 学习目标 1. 理解并掌握用完全平方公式分解因式；（重点） 2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解 进行计算．（难点） 1. 什么叫因式分解？ 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式. 2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？ ① 提公因式法 ② 平方差公式 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 复习导入 用完全平方公式分解因式 1 请说出完全平方公式. 说一说 完全平方公式1： ， 完全平方公式2： . (x＋y)² = x²＋2xy＋y² (x－y)² = x²－2xy＋y² 例如：在完全平方公式 1 中，将 y 用 2 代入得到等式 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式 x²＋4x＋4 因式分解： x²＋4x＋4 = . (x＋2)² = . (x＋2)² x²＋4x＋4 探究新知 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解. 2 x y + y2 ± = (x ± y)² x2 首2 + 尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 例1 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解： 分析：9x2 = (3x)2， 1 = 1²，2·3x·1 = 6x， 因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2，就可把 9x2－6x＋1 因式分解. 解： 9x2－6x＋1 = (3x－1)2. = (3x)2－2 · 3x · 1 + 12 典例精析 例2 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； 解：(1) －4x2＋12xy－9y2 ＝－(4x²－12xy＋9y²) ＝－[(2x)²－2·2x·3y＋(3y)²] ＝－(2x－3y)². 分析：(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解. (2) x5＋2x3y＋xy2. (2) x5＋2x3y＋xy2 ＝x(x4＋2x²y＋y²) ＝x[(x²)²＋2·x²·y＋y²] ＝x(x²＋y)². 分析：(2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解； 例3 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解. 解： x4－2x2＋1 ＝(x²)²－2·x²·1＋1² ＝(x²－1)² ＝[(x＋1)(x－1)]² ＝(x＋1)²(x－1)². 做一做 可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y)²－4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试. 分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 - 4m + 4. 解：(x＋y)²－4(x＋y)＋4 ＝(x＋y)²－2·(x＋y)·2＋2² ＝(x＋y－2)². 分解因式： (1) - 3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2) ( a2 + 4 )2 - 16a2. 针对训练 ＝( a2 + 4 + 4a )( a2 + 4 - 4a ) 解：(1) 原式＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 ) ＝ - 3a2( x - 4 )2. (2) 原式＝( a2 + 4 )2 - ( 4a )2 ＝( a + 2 )2( a - 2 )2. 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 例4 利用完全平方公式简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算， = 1. = 2500. 例5 已知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29＝0，求 x2y2 + 2xy + 1 的值. ＝ 112 ＝ 121. 解：由题可知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29 因为 (x - 2)2 ≥ 0，(y - 5)2 ≥ 0， 所以 x - 2＝0，y - 5＝0， 所以 x＝2，y＝5. 所以 x2y2 + 2xy + 1 ＝ ( xy + 1 )2 几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0 ＝ x2 - 4x +4+ y2 - 10y + 25 ＝ (x - 2)2 + (y - 5)2 ＝0， 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式，然后利用非负式的性质解决问题． 1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( ) A．a2 + 1 B．a2 - 6a + 9 C．x2 + 5y D．x2 - 5y 2. 把多项式 4x2y - 4xy2 - x3 因式分解的结果是 ( ) A．4xy( x - y ) - x3 B． - x( x - 2y )2 C．x( 4xy - 4y2 - x2 ) D． - x( - 4xy + 4y2 + x2 ) 3. 若 m ＝ 2n + 1，则 m2 - 4mn + 4n2 的值是_____． B B 1 4. 若关于 x 的多项式 x2 - 8x + m2 是完全平方式，则 m 的值为______． ±4 课堂练习 5. 把下列多项式因式分解： （1）x2 - 12x + 36；（2）4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1； （3）y2 + 2y + 1 - x2. (2) 原式 = [2(2a + b)]² - 2×2(2a + b)·1 + 1² = (4a + 2b - 1)2. 解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + 62 = (x - 6)2. (3) 原式 = (y + 1)² - x² = (y + 1 + x)(y + 1 - x). (2) 原式 6. 计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92； 解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2 ＝100. 7. 因式分解：(1) 4x2 + 4x + 1；(2) 小聪和小明的解答过程如下： 他们做对了吗？若不对，请你帮忙纠正过来. x2 - 2x + 3. (2)原式＝ (x2 - 6x + 9)＝ (x - 3)2. 解:(1)原式＝(2x)2 + 2×2x•1 + 1＝(2x + 1)2. 小聪: 小明: × × 8. (1) 已知 a - b＝3，求 a(a - 2b) + b2 的值； (2) 已知 ab＝2，a + b＝5，求 a3b + 2a2b2 + ab3 的值. 原式＝2×52＝50. 解：(1) 原式＝a2 - 2ab + b2＝(a - b)2. 当 a - b＝3 时，原式＝32＝9. (2) 原式＝ab(a2 + 2ab + b2)＝ab(a + b)2. 当 ab＝2，a + b＝5 时， 利用完全平方公式因式分解 公式 a2±2ab＋b2 = (a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项； （2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负. 课堂小结 $