1.3 第1课时 利用平方差公式进行因式分解（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

1.3 公式法 第1课时 利用平方差公式进行因式分解 第 1 章 因式分解 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 学习目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想．（重点） 2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解．（难点） 如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？ a米 b米 b米 a米 (a-b)米 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 情境导入 用平方差公式进行因式分解 想一想：多项式 x2 - y2 有什么特点？你能将它因式分解吗？ 是 x，y 两数的平方差的形式 ) )( ( y x y x - + = 2 2 y x - ) )( ( 2 2 y x y x y x - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 1 探究新知 像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. x²－25＝ ＝ . 在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式： (x＋5)(x－5)＝ ＝ . x²－5² x²－25 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式 x²－25因式分解： x²－5² (x＋5)(x－5) 知识要点 (5x)2 - (2y)2 典例精析 例1 把多项式 25x²－4y² 因式分解. = (5x+2y)(5x-2y). x x y y + ( ) ( - ) x2 - y2 = 解：原式 = 5x 2y 5x 5x 2y 2y 2y 分析 由 25x²＝(5x)² 和 4y²＝(2y)² 可知， √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2 - ( )2的形式. （1）a2 + b2 （2） - a2 - b2 - ( a2 + b2 ) y2 - x2 （3） - x2 + y2 （4）x2 - 25y2 ( x + 5y )( x - 5y ) （5）m2 - 1 ( m + 1 )( m - 1 ) 方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. x x y y + ( ) ( - ) x2 - y2 = 把多项式 (x＋y)²－(x－y)² 因式分解. 解：原式＝ [(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)] ＝2x·2y＝4xy. 做一做 例2 把多项式 x4－y4 因式分解. 解： x4－y4＝( x2 )2－( y2 )2 ＝( x2＋y2 )(x2－y2 ) ＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ). 因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. 针对训练 ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n ) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续提公因式分解 例3 把多项式 x5－x3y² 因式分解. 分析：多项式 x5－x3y² 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解. 解：x5－x3y²＝x3(x2－y²) ＝x3( x＋y )(x－y). 方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 因式分解： (1) 5m2a4 － 5m2b4； (2) a2 － 4b2 － a － 2b. 针对训练 ＝ ( a＋2b )( a－2b－1 ). ＝ 5m2( a2＋b2)( a＋b )( a－b ). 解：(1) 原式＝ 5m2( a4－b4 ) ＝ 5m2( a2＋b2)( a2－b2 ) (2) 原式＝ ( a2－4b2 )－( a＋2b ) ＝ ( a＋2b )( a－2b )－( a＋2b ) 例4 把多项式 x4 － 9 因式分解. 解： x4－9＝( x2 )2－32 ＝( x2＋3 )( x2－3 ) ＝( x2＋3 )[ x2－( )2 ] ＝( x2＋3 )( x＋ )( x－ ). 方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 做一做：用简便方法计算： (1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882. 解：(1) 原式＝( 6.1＋3.9 )( 6.1－3.9 ) ＝10×2.2＝22. (2) 原式＝( 0.12＋0.88 )( 0.12－0.88 ) ＝1×(－0.76 )＝－0.76. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 例6 试说明：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除． 即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除． 解：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n • 2 = 8n. 因为 n 为整数， 所以8n 一定能被 8 整除， 方法总结：说明整除问题的基本思路，就是将代数式化为整式的乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除． 例7 已知 x2 - y2 ＝ - 2，x ＋ y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值． 所以 x - y＝ - 2 ②. 解：因为 x2 - y2＝( x ＋ y )( x - y )＝ - 2， x ＋ y ＝ 1 ①， 联立 ①② 组成二元一次方程组， 解得 方法总结：在与 x2 - y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立组成方程组求值. 1. 下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（　　） A．a2 ＋ ( - b)2 B．5m2 - 20mn C．- x2 - y2 D． - x2 ＋ 9 D 2. 因式分解 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（　　） A．3( x2 + 4x + 3 ) B．3( x2 + 2x + 3 ) C．( 3x + 3 )( x + 3 ) D．3( x + 1 )( x + 3 ) D 3. 若 a + b = 3，a - b = 7，则 b2 - a2 的值为（　　） A．- 21 B．21 C．- 10 D．10 A 课堂练习 4. 把下列各式因式分解： (1) 16a2 - 9b2 =__________________； (2) ( a + b )2 - ( a - b )2 =_______； (3) 9xy3 - 36x3y =____________________； (4) - a4 + 16 =______________________. ( 4a + 3b )( 4a - 3b ) 4ab 9xy( y + 2x )( y - 2x ) ( 4 + a2 )( 2 + a )( 2 - a ) 5. 若 ( 2x )n - 81 可分解成 ( 4x2 + 9 )( 2x + 3)( 2x - 3 )，则 n 的值是______. 4 6. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求 (m + 2n)2 - (3m - n)2 的值． 原式 = -40×5 = -200. 解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n) = (4m + n)(3n - 2m) = -(4m + n)(2m - 3n). 当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时， 7. 如图，在边长为 6.8 cm 的正方形钢板上，挖去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积． 解：根据题意，得剩余部分面积为： 6.82 - 4×1.62 ＝ 6.82 - (2×1.6)2 ＝ 6.82 - 3.22 ＝ (6.8 + 3.2)(6.8 - 3.2) ＝ 10×3.6 ＝ 36 (cm2). 答：剩余部分的面积为 36 cm2. 8. (1) 992 - 1 能被 100 整除吗？ 解：(1) 因为 992 - 1 = ( 99 + 1)( 99 - 1 ) = 100×98， 所以 ( 2n + 1)2 - 25 能被 4 整除. (2) n 为整数，( 2n + 1)2 - 25 能否被 4 整除？ 所以 992 - 1 能被 100 整除. (2) 原式 = ( 2n + 1 + 5 )( 2n + 1 - 5 ) = ( 2n + 6 )( 2n - 4 ) = 2( n + 3) × 2( n - 2 ) = 4( n + 3 )( n - 2 ). 平方差公式分解因式 公式 a2 - b2 = ( a + b )( a - b ) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解 课堂小结 $