1.2 第1课时 提单项式公因式（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

这提公因式法是个什么方法？又是从哪来的呢？上个视频讲过因式分解逆转了整式乘法，那提公因式法逆转了什么呢？就是乘法分配律。还记得小学的时候，咱们做过一种很爽的巧算。举个例子，比如37分别乘上这些数，再加起来。我们预感成的这些数加起来能凑整，就逆用乘法分配律把37单拎出来，剩下的在括号里一加，刷一下答案就出来了。到了初中咱们发现数能做的运算字母也能做。于是把37改成P把28、43、29改成ABC，我们就得到了字母版的乘法分配律。那因式分解是什么来着？是把一个多项式分解成整式的乘积，那上面的式子不就是一个因式分解的过程吗？就像37是我们的公因数一样，P就是我们的公因式。 1.2 提公因式法 第1课时 提单项式公因式 第 1 章 因式分解 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 学习目标 1. 能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点） 2. 能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点） 问题：整数 18，42，60 的最大公因数是什么？ 18 = 6×3 42 = 6×7 60 = 6×10 6 思考：多项式 z2 + yz 中每一项的因式分别是什么？你发现什么？ 每一项中均有因式 z z2 的因式是 z 和 z yz 的因式是 y 和 z 复习导入 pa + pb + pc 提单项式公因式分解因式 几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 相同因式 p 问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2 ＋ x 相同因式 x 1 探究新知 (a + b + c) pa + pb + pc p = 像上面这样，如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 找 3 x 2 – 6 x y 的公因式. 系数： 最大公因数 3 字母： 相同的字母 x 所以公因式是 3x 指数： 相同字母的最低次数 1 问题2 如何确定一个多项式的公因式？ 正确找出多项式的公因式的步骤： 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母的最低次数. 1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 找一找：下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 3mn -2xy (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3 (4) 9m2n - 6mn (5) - 6x2y - 8xy2 典例精析 例1 把 4x2－6x3 因式分解． 分析： 1. 定系数：多项式由 4x² 和 －6x3 这两项组成，它们的系数分别为 4，－6，不考虑其符号，则 4 与 6 的最大公因数是 2； 2. 定字母：这两项都含有字母 x， 3. 定指数： x 的最低次数为 2. 因此，可提出公因式 2x². 解：4x2－6x3 = 2x²(2－3x). 例2 把 8x²y4－12xy²z 因式分解． 解： 8x²y4－12xy²z＝ 4xy² · 2xy²－4xy² · 3z ＝4xy²(2xy²－3z). 议一议 三名同学对多项式 2x²＋4x 进行因式分解，结果如下： (1) 2x² + 4x = 2(x² + 2x)；(2) 2x² + 4x = x(2x + 4)； (3) 2x² + 4x = 2x(x + 2). 上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？ 注意：公因式要提尽. (1)错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 x. (2)错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 2. (3) 正确. 注意：某项提出莫漏 1. 例3 把多项式 5x²－3xy＋x 因式分解. 分析： 1. 定系数：多项式由 5x²，－3xy 和 x 这三项组成，它们的系数分别为 5，－3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是 1； 2. 定字母：这三项都含有字母 x， 3. 定指数： x 的最低次数为1. 因此，可提出公因式x. 解：5x²－3xy＋x＝x(5x－3y＋1). 例4 把多项式 －3x²＋6xy－3xz 因式分解. 注意：首项有负常提负. 分析：多项式 －3x²＋6xy－3xz 的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解. 解：－3x²＋6xy－3xz = －(3x²－6xy＋3xz) =－3x(x－2y＋z). 1.因式分解： (1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a²－9ab； (3) －5a² + 25a. 解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3). 练一练 (2) 3a²－9ab = 3a(а－3b). (3) －5a² + 25a = －5a(a－5). 2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值. 所以 原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28. 解：因为 a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可. 1. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（　　） A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 2. 下列多项式的因式分解，正确的是（　　） A．12xyz - 9x2y2 = 3xyz（4 - 3xyz） B．3a2y - 3ay + 6y = 3y（a2 - a + 2） C．- x2 + xy - xz = - x（x2 + y - z） D．a2b + 5ab - b = b（a2 + 5a） B C 课堂练习 3. 把下列各式分解因式： (1) 8m2n + 2mn = _____________； (2) 12xyz - 9x2y2 = _____________； (3) - x3y3 - x2y2 - xy = _________________. 2mn ( 4m + 1) 3xy ( 4z - 3xy) - xy ( x2y2 + xy + 1) 4. 把 - 24x3 - 12x2 + 28x 分解因式. 5. 简便计算： (1) 1.992 + 1.99 × 0.01； (2) 20002 + 2000 - 20012； (3) (- 2)101 + (- 2)100. (2) 原式 = 2000×(2000+1) - 20012 = 2000×2001 - 20012 = 2001×(2000 - 2001) = -2001． 解：(1) 原式 = 1.99(1.99 + 0.01) = 3.98. (3) 原式 = (- 2)100×(- 2 + 1) = 2100×(- 1) = - 2100. 6. 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值. 解：2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12. 观看视频学习 点击视频开始播放 → 2. 确定公因式的方法： 一看系数，二看字母，三看指数. 1. 提公因式法分解因式步骤 (分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式. 3. 用提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏项； （3）多项式的首项取正号. 课堂小结 $