4.6 第2课时 作垂直平分线和角平分线（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第4章 三角形 4.6 线段的垂直平分线 第2课时 作垂直平分线和角平分线 【学习目标】 1.掌握线段垂直平分线、过点作垂线及角平分线的尺规作图方法, 理解其几何性质. 2.能根据已知底边和高线,通过作垂线或垂直平分线定位顶点, 完成等腰三角形的作图. 3.综合运用几何作图解决实际问题,感悟数学的严谨性及其在现实中的应用价值. 【学习重点】垂直平分线、过点作垂线及角平分线的尺规作图方法 【学习难点】综合运用几何作图解决实际问题 【复习导入】 如图,是路边两个新建小区,要在公路边增设一个公共汽车站,使两个小区到车站的路程一样长,该公共汽车站应建在什么地方? 【合作探究】 探究点一、线段垂直平分线的尺规作图 说一说：已知线段,如果要作线段的垂直平分线, 可以怎样作? 根据是什么? 例1 作一条线段的垂直平分线. 如图,已知线段.求作线段的垂直平分线. 例2 如图,已知点、点以及直线. 用尺规作图的方法在直线上求作一点,使 (保留作图痕迹, 不要求写出作法). 引例 如图, 是路边两个新建小区,要在公路边增设一个公共汽车站,使两个小区到车站的路程一样长, 该公共汽车站应建在什么地方? 思考 如何用尺规过一点作已知直线 的垂线呢? 若能找到直线 上的一条线段,使的垂直平分线经过点,则该垂直平分线就是所求作的直线. 由于点与已知直线 的位置关系有两种, 于是需分情况来作图. (1) 点在直线 上时. (2) 当点在直线 外时. 问题: 第一步的目的是什么? 画弧的半径为什么要大于 到 的距离? 例3 已知底边及底边上的高线作等腰三角形.如图,已知线段 . 求作,使 ,且 ,高 . 思考: 本题应用了哪几种基本作图法? 探究点二、角平分线的尺规作图 例4 求作一个角的平分线. 如图,已知,求作的平分线. 说一说: 为什么是的平分线? 练一练 如图,已知 .求作: 的补角的平分线 (保留作图痕迹,不写 作法). 课堂练习 1.如图,在中,分别以点为圆心,大于长为半径画弧,两弧分别交于点,则直线是( ) A. 的平分线 B. 边的中线 C. 边上的高线 D. 边的垂直平分线 2.如图,已知线段 的垂直平分线交于点且 ,现欲在线段上求作两点,,使其满足,对于以下甲、乙两种作法: 甲: 分别作、的平分线,分别交于 ,则即为所求; 乙: 分别作的垂直平分线,分别交于,则两点即为所求. 下列说法正确的是( ) A．甲、乙都正确 B. 甲、乙都错误 C. 甲正确, 乙错误 D. 甲错误, 乙正确 3.如图,作出的边上的高. 4.如图,有三个村庄,现准备要建一所希望小学,要求学校到三个村庄的距离相等,请你确定学校的位置. 参考答案 探究点一、 线段垂直平分线的尺规作图 说一说：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知,若能找出到线段两端距离相等的两个点, 则这两点确定的直线就是线段的垂直平分线. 例1 作法:① 分别以点为圆心,以相同长度(大于的长)为半径画弧,两弧相交于点和点; ② 过点作直线 ,则直线就是线段的垂直平分线. 例2 解: 如图所示. 引例 分析:增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长, 应在线段 的垂直平分线上, 又要在公路边上,所以的垂直平分线与公路的交点便是. 思考 (1) 点在直线上时. ①以点为圆心,以任意长为半径画圆弧,交直线于点. ②分别以为圆心,以相同长度(大于的长)为半径画弧,两弧交于点 . ③过点作直线 ,则直线为所求作的直线. (1) (2) (2) 当点在直线外时. ① 以点为圆心,以大于点到直线的距离的长度为半径画弧,交直线于点 ; ② 分别以为圆心,以相同长度 (大于的长)为半径画弧,两弧相交于点 ; ③ 过点作直线, 则直线为所求作的直线. 例3 作法: (1)作线段 ； (2)作线段的垂直平分线交于点; (3)在射线(或)上截取线段 ,使 (4)连接,则为所求作的三角形. 例4 作法:(1)以点为圆心,以任意长为半径画圆弧, 分别与交于点 ,连接 ; (2)分别以、为圆心,以相同长度(大于的长)为半径画弧,在内两弧交于点 ； (3) 作射线 ,则为所求的的平分线. 练一练 解: 如图,的补角为 ,其平分线为射线. 课堂练习 1. D 2. D 3. 如图,作出的边上的高. 4. 学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $