4.6 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第4章 三角形 4.1 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 【学习目标】 1. 理解线段垂直平分线的概念; 2. 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理; 3. 能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算. 【学习重点】线段垂直平分线的性质定理及逆定理. 【学习难点】运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明 【情境导入】 某区政府为了方便居民的生活, 计划在三个住宅小区之间修建一个购物中心,试问该购物中心应建于何处, 才能使得它到三个小区的距离相等? 【合作探究】 探究点一、线段垂直平分线的性质 观察: 已知点与点关于直线对称,如果将线段沿直线折叠,那么点 与点重合,,,即直线既平分线段,又垂直于线段. 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. (或中垂线) 直线就是线段的垂直平分线. 由上可知: 线段是轴对称图形, 线段的垂直平分线是它的对称轴. 探究发现 如图,直线垂直平分线段 是上的点,请你量一量线段 , 的长,你能发现什么? 请猜想点 到点与点的距离之间的数量关系. 设是线段的中点,根据线段的垂直平分线的定义可知,点在直线上,并且, 于是. 在和 中, 所以(边角边). 因此. 当点在线段上时, 结论还成立吗? 线段垂直平分线的性质定理: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 例1 如图,在 中, 垂直平分 ,垂足为,交 于 ,若的周长为 ,则的长为( ) A. B. C. D. 练一练:1. 如图①所示,直线是线段的垂直平分线,点为直线上的一点,且,则线段的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示,在中, , 边的垂直平分线交于点,交边于点 的周长等 , 则的长是 . 探究点二、线段垂直平分线的判定 说一说: 线段垂直平分线的性质定理的条件是什么? 结论是什么? 它的逆命题是什么? 条件是: 一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是: 这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命题是:如果一个点到一条线段两端的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 这个逆命题是真命题吗? 推理论证：下面来证明上述逆命题是真命题, 如图,当点不在线段上时,连接 , ,由于 ,则 是等腰三角形. 取的中点 ,连接 ,则是的底边上的中线,也是上的高线. 因此,直线是线段的垂直平分线,从而点在线段的垂直平分线上. 当点在线段上时,则就是的中点,因而点在的垂直平分线上. 知识要点 线段垂直平分线的性质定理的逆定理: 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 应用格式: 因为 , 所以点在的垂直平分线上. 作用: 判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 例2 如图,在中, 的垂直平分线相交于点,连接. 求证: 点在的垂直平分线上. 现在你能想到方法确定导入里购物中心的位置, 使它到三个小区的距离相等吗？ 课堂练习 1.如图所示, ,则下列说法正确的是( ) A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与 互相垂直平分 D. 平分 第1题图 第5题图 2.在锐角三角形内一点,满足 , 则点是的 ( ) A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 3.已知线段,在平面内找到三个点、 、,使 ,这样的点的组合共有______种. 4. 下列说法: ① 若点、是线段的垂直平分线上两点,则 ; ② 若 ,则直线 垂直平分线段 ； ③ 若 ,则点必是线段的垂直平分线上的点； ④ 若 ,则经过点的直线垂直平分线段 . 其中正确的有 _________(填序号). 5. 如图, 中,的垂直平分线交于 ,连接 ,则的周长是 . 6.已知: 如图,点是线段外的两点,且 与相交于点.求证: . 参考答案 探究点一、线段垂直平分线的性质 探究发现 例1 C. 练一练:1. B 2. . 探究点二、线段垂直平分线的判定 例2 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，所以OA = OB(线段垂直平分线的性质定理).同理 OB = OC.于是OA = OC.所以点O在AC的垂直平分线上 (线段垂直平分线的性质定理的逆定理). 结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 课堂练习 1. A 2. D 3. 无数 4. ①②③ 5. . 6. 证明: , 点和点在线段的垂直平分线上. 垂直平分线段 . 又与相交于点, . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $