4.3.5 全等三角形的应用（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第4章 三角形 4.3 全等三角形 第5课时 全等三角形的应用 【学习目标】 1. 熟练掌握全等三角形的判定定理,全面认清条件, 能正确地利用相关条件判定三角形全等； 2. 运用全等三角形的判定方法解决线段相等和角相等的相关应用问题. 【学习重点】正确地利用相关条件判定三角形全等. 【学习难点】正确地利用相关条件判定三角形全等. 【复习导入】 如图,要证明,根据给定的条件和指明的依据,将应当添设的条件填在横线上. (1) . (边角边) (2) . (角边角) (3) .(边边边) 【合作探究】 探究点一、全等三角形的实际应用 思考: 如图,为测量河宽,小楠从河岸的点沿着与垂直的方向走到点,并在的中点处立一根标杆,然后从点沿着与垂直的方向走到点, 使点恰好在一条直线上. 于是小楠说:" 的长就是河的宽度." 你认为小楠说得对吗？为什么? 例1 小玲家有一个小口玻璃瓶, 她想知道它的内径是多少,但是尺子不能伸到里边测量,于是她想了个办法: 将两根长度相同的细木条的中点固定在一起, 木条可以绕中点转动(如图所示),使与瓶底平行,这样只要量出的长,就可以知道玻璃瓶的内径是多少, 你知道其中的理由是什么吗(木条的粗细忽略不计)? 例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中灯恰好照到灯,灯恰好照到甲楼的顶部处, 如图所示. 已知为水平线, ,如果两盏灯的光线与水平线的夹角相等,那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍? 为什么? 练一练1.小玉利用一根长的竿子来测量路灯的高度,她的方法如下:如图,在路灯前选一点P,使 ,并测得 ,然后把竖直的竿子 在的延长线上左右移动,使 ,此时测得. 请根据这些数据,计算路灯的高度. 探究点二、全等三角形的判定与性质的综合运用 例3 已知: 如图, 是上的两点,且 . 求证: . 例4 如图,在四边形中, , 为上的一动点(不与 重合),在点移动的过程中和是否相等? 若相等,请写出证明过程; 若不相等, 请说明理由. 例5 如图,已知分别是的中点, 求证: . 课堂练习 1.如图,已知 ,则有 ,理由是_____.且有 . 第1题图 第2题图 2.如图,某同学将一块三角形玻璃打碎成了三块,现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( ) (A)带(1)去 (B)带(2)去 (C)带(3)去 (D)带(1)(2)去 3.如图, 于点, 于点, 交于点,且平分. 求证: . 参考答案 复习导入(1) . (边角边) (2) .(角边角) (3) .(边边边) 探究点一、全等三角形的实际应用 思考: 解: 如图,在和 中, 所以 (角边角). 从而 .即的长就是河的宽度.因此, 小楠说得对. 例1 解: 如图,连接,由题意可知, . 在和中, 所以(边角边), 从而 ,即的长等于玻璃瓶的内径. 例2 解: 如图,过点作 ,交于点 , 则 . 又 , 所以 ,从而 . 因为两盏灯的光线与水平线的夹角相等, 所以 ,从而 . 在和中, 所以 (角边角), 从而 . 又 ,且 , 所以是平行线 与的公垂线段, 故 ,从而.因此,可以说甲楼高度是乙楼高度的2倍. 练一练1. 解: 由题意得, , , , . 在 和 中, (角边角). . , . 答: 路灯的高度是 . 探究点二、 全等三角形的判定与性质的综合运用 例3 证明: 在和 中, (SSS). . 在和中, (SAS). . 例4 解: 相等. 理由如下: 在和中, , (SSS), . 在和中, (SAS). . 例5 证明: 连接.在与中, (SSS). . 又 分别是的中点, . 在与中, (SAS). . 课堂练习 1. SAS . 2. C 3. 证明: , . . 又平分 . 在和中, 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $