3.1 第1课时 二次根式的概念及性质（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第3章 二次根式 3.1 二次根式的概念及性质 第1课时 二次根式的概念及性质 【学习目标】1.了解二次根式的定义； 2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件； 3.掌握二次根式的两条重要性质． 【学习重点】理解二次根式在实数范围内有意义的条件 【学习难点】掌握二次根式的两条重要性质 【复习导入】 问题1 什么叫作平方根? 问题2 什么叫作算术平方根? 问题3 什么数有算术平方根? 【合作探究】 探究点一、二次根式的概念及有意义的条件 思考 (1) 2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的? (2) 用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度 (称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道，第一宇宙速度 v 与地球半径 R 之间存在如下关系：v² = gR，其中 g 为重力加速度. 若已知地球的半径 R，则第一宇宙速度 v 是多少？(用带有根号的式子表示). (3) 比较 (1)(2) 的结果，它们在表达形式上有什么共同特征? 知识要点 一般地，形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 每一个正实数有且只有两个平方根，分别为和−，其中称为 a 的算术平方根. 同时，在实数范围内，负实数没有平方根. 因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道： 1.____________________________________. 2.____________________________________. 这个被称为二次根式的双重非负性. 【典型例题】 例1 当 x 是怎样的实数时,在实数范围内有意义？ 【变式题】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 归纳总结 (1) 单个二次根式：如有意义的条件：A≥0； (2) 多个二次根式相加：如有意义的条件： (3) 二次根式作为分式的分母：如有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和：如有意义的条件：A≥0且B≠0. 练一练 1.下列各式：其中一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______； (2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________. 3.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 探究点二、(a≥0) 的性质 对于非负实数a，由于是 a 的一个平方根，因此 ＝a (a≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件. 例2 计算： 练一练 4. 计算： 探究点三、的性质 做一做： 做一做 填空： (1)＝_______________；(2) ＝_______________； (3)＝_______________；(4)＝_______________. 由于a的平方等于a²，因此a是a²的一个平方根，当 a≥0 时，根据算术平方根的意义，有=a，由此得出： = a ( a≥0). 由于－a的平方等于a²，因此－a是a²的一个平方根，当 a＜0 时，－a＞0，根据算术平方根的意义，可以得到： = = －a ( a＜0). 综上可得： 即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 例3 计算： 例4 计算： 练一练 5. 辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错． 议一议：如何区别与？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 意义 例5 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简： 课堂检测 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） 2.式子有意义的条件是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2 3.若是整数，则自然数 n 的值有 （ ） A. 7个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个 4.当 x 为何值时，在实数范围内有意义？ 5.计算： 6.计算： 7.若 x，y 是实数，且 y＜ ，求的值. 参考答案 复习导入 问题1 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数是 a 的一个平方根. 问题2 如果 x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根. 用表示. 问题3 我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内,非负实数才有算数平方根. 【合作探究】 探究点一、二次根式的概念及有意义的条件 思考 1. 2，3，5 的算术平方根分别为，，. 2.因为速度一定大于 0，所以第一宇宙速度 . 3.，，. 与都是形如的式子. 知识要点 （1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0； （2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0. 例1 解：由 x - 1≥0，得x≥1.当 x≥1 时，在实数范围内有意义. 变式题 (1)解：由题意得 x - 1＞0，所以 x＞1. (2)解：因为被开方数需大于或等于零，所以 3 + x≥0，所以 x≥-3. 因为分母不能等于零，所以 x - 1≠0，所以 x≠1.所以 x≥-3 且 x≠1. 练一练 1.B 2. (1)x≥1 (2) x≥0 且 x≠2 3.解：由题意得 所以 a = 3. 所以 b = 4. 当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10； 当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11． 探究点二、（a≥0）的性质 例2 解： 练一练 4. 解： 探究点三、的性质 做一做 2 2 1.2 1.2 例3 解： 例4 练一练 5 辨一辨 （1）× （2）× （3）√ （4） √ 从运算顺序看 先开方，后平方 先平方，后开方 从取值范围看 a≥0 a 取任何实数 从运算结果看 a | a | 意义 表示一个非负数 a 的算术平方根的平方 表示一个实数 a 的平方的算术平方根 例5 解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a - b＜0，所以原式= |a|-|b|+|a-b| = -a-b-(a-b)=-2a. 课堂检测 1.C 2.A 3.D 4.解：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数 x＋3≥0 和分母 x＋1≠0，解得 x≥－3 且 x≠－1. 5. 6. 7.解：根据题意得所以 x = 1. 因为 y＜ ，所以 y＜ 所以 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $