2.5 第2课时 分式方程的应用（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第2章 分式 2.5 可化为一元一次方程的分式方程 第2课时 分式方程的应用 【学习目标】 1. 理解题目中的数量关系正确列出分式方程； 2. 在不同的实际问题中能恰当设出未知数，列出分式方程并求解，从而解决实际问题. 【学习重点】理解题目中的数量关系正确列出分式方程. 【学习难点】理解题目中的数量关系正确列出分式方程. 【复习导入】 1. 解分式方程的基本思路是什么？ 2. 解分式方程有哪几个步骤？ 3. 解分式方程过程中一般如何检验？ 4. 我们所学过的应用题有哪些类型？每种类型的基本公式是什么？ 【合作探究】 探究点一、列分式方程解决工程问题 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 表格法分析如下： 工作时间 工作效率 工作总量 甲队 乙队 等量关系：__________________________________________. 想一想：本题的等量关系还可以怎么找？此时表格怎么列，方程又怎么列呢？ 归纳总结 工程问题 1. 题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2. 通常间接设元，如XX单独完成需x（单位时间），则可表示出其工作效率； 3. 弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”。 4. 解题方法：可概括为“321”，即 3 指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2 指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1 指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和 = 全部工作总量. 【典型例题】 例2 用A，B两种型号的机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运200 kg，且 A 型机器人搬运10000 kg 所用时间与B型机器人搬运8000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 探究点二、列分式方程解决行程问题 例3 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动，现有两条线路可供选择：线路一全程25 km，线路二全程30 km. 若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10 min，则走线路一的平均车速为多少? 分析本题涉及的等量关系是： 设走线路一的平均车速为 x km/h，则可得下表： 平均车速/(km/h) 路程/km 时间/h 线路一 线路二 【练一练】 1. 一轮船往返于 A、B 两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/时，求轮船在静水中的速度. 列分式方程解应用题的一般步骤 1. 审清题意； 2. 找等量关系； 3. 设出未知数 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验解的合理性（包括两方面：①是否是分式方程的根； ②是否符合实际情况）； 7. 作答. 课堂检测 1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元/辆. 出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为(　　) A. B. C. D. 2. 农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40 分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度. 3. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题： 同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元. 4. 某水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完. 由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余水果. (1)求第一次水果的进价是每千克多少元； (2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 参考答案 复习导入 1 将分式方程通过去分母转化为整式方程. 2 一化二解三检验 3. 将所求得的解代入最简公分母，看是否等于0，不等于0的才是原分式方程的解. 4. 常见的有 4 种： (1)行程问题：路程=速度×时间以及它的两个变式； (2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法； (3)工程问题：工作量=工时×工效以及它的两个变式； (4)利润问题：批发成本=批发数量×批发价； 打折销售价=定价×；销售利润=销售收入-批发成本； 每件销售利润=定价-批发价；利润率=利润÷进价. 【合作探究】 探究点一、列分式方程解决工程问题 工作时间 工作效率 工作总量 甲队 乙队 等量关系：甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量=“1” 想一想 甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量=“1” 设乙单独完成这项工程需要 x 个月.则乙队的工作效率是，甲队的工作效率是，两队合作的工作效率是 工作时间 工作效率 工作总量 甲队 1 乙队 此时方程式为 【典型例题】 例2 设 B 型机器人每小时搬运 x kg，则由等量关系 (2) 可得，A型机器人每小时搬运 (x + 200) kg. (1) A 型机器人搬运10000 kg 所用时间= B型机器人搬运8000 kg所用时间. (2) A 型机器人每小时搬运量 = B 型机器人每小时搬运量＋200kg. 再根据等量关系 (1)，可列出如下方程： 程两边同乘最简公分母 x(x＋200)，得10 000x = 8 000(x + 200)，解得x = 800. 经检验，x = 800 是原分式方程的解，且符合题意. 由此可知，B 型机器人每小时搬运原料 800 kg，A 型机器人每小时搬运原料 1000 kg. 探究点二、列分式方程解决行程问题 数量关系 走线路一的时间 - 走线路二的时间 = 1/6 h. 平均车速/(km/h) 路程/km 时间/h 线路一 x 25 线路二 1.5x 30 解：设走线路一的平均车速为 x km/h，则走线路二的平均车速为 1.5x km/h. 根据等量关系，可列出如下方程： 解得 x = 30. 经检验，x = 30 是原分式方程的解，且符合题意. 答：走线路一的平均车速为 30 km/h. 练一练 1. 解：设轮船在静水中的速度为 x 千米/时,根据题意得 方程两边同乘 (x - 2)(x + 2) 得80x + 160－80x + 160 = x2 －4.解得 x = ±18. 检验：x = －18不合题意，舍去.故 x = 18. 答：轮船在静水中的速度为 18 千米/时. 课堂检测 1. A 2. 解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，依题意得： 解得x＝15. 经检验，x＝15 是原方程的根.由 x＝15 得 3x＝45. 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时. 3.解：设排球的单价为 x 元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得 解得 x＝100. 经检验，x＝100 是原分式方程的解，当 x＝100 时，x＋60＝160. 答：排球的单价为 100 元，篮球的单价为 160 元． 4.(1)解：设第一次购买的进价为每千克 x 元，则第二次的进价为每千克 1.1x 元， 根据题意得 ，解得x＝6.经检验，x＝6是原分式方程的解． 答：第一次购买水果的进价为每千克6元． (2)解：第一次购买水果 1200÷6＝200 (千克). 第二次购买水果 200＋20＝220 (千克). 第一次赚钱为 200×(8－6)＝400 (元)， 第二次赚钱为 100×(9－6.6)＋(220-100)×(9×0.5－6.6) ＝－12 (元)．所以两次共赚钱 400－12＝388(元). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $