2.4.3 整数指数幂的基本性质（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第2章 分式 2.4 整数指数幂 第3课时 整数指数幂的基本性质 【学习目标】 1. 理解整数指数幂的运算法则； 2. 会用整数指数幂的运算法则进行计算. 【学习重点】理解整数指数幂的运算法则. 【学习难点】整数指数幂的运算法则进行计算. 【复习导入】 问题 正整数指数幂的运算法则有哪些？ 探究：在七年级下册我们知道， am·an = am+n (m，n都是正整数) ① 引入负整数指数幂后，当 a≠0 时，上述性质是否仍然成立? 【合作探究】 探究点一、整数指数幂的运算 计算：(1) a3·a-5； (2) a-3·a-5； (3) a0·a-5. 观察上式你有什么发现？ 猜想：_______________________________ . 设 a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m > n. 由于 于是 因此 ② 由于 且 所以 ③ 类似可得，当 m≤n 时，等式 ② ③ 仍成立. 又由 可得 由上可知，引入负整数指数幂后， am · an = am+n (a≠0，mn≠0且m，n 都是整数)④.仍然成立. 【做一做】 (1) 已知 a≠0，m，n 都是整数，填空： ① a0·an = 1×an = a( )= a0+ ( )； ② am·a0 = am×1 = a( )= am + ( )； (2)由(1)可猜测：当 a≠0，mn=0时，am·an=a( ). 可以证明，引入零次幂后，______________________________ ⑤仍然成立. 由 ④⑤ 可得整数指数幂的基本性质1： am·an = am+n(a≠0，m，n 都是整数). 我们已经知道，(am)n = a m n，(ab)n = an bn，其中 m，n 都是正整数. 引入负整数指数幂后，当 a≠0，b≠0时，上述性质是否仍然成立？下面来进行研究. 【做一做】 (2) 已知 a≠0，b≠0，填空： (2) 根据(1)的结果，你能猜测出什么结论? 知识要点 由上可猜测：引入负整数指数幂后，当 a≠0，b≠0时，若 m，n 为整数且 mn≠0，则 (am)n = a m n 和(ab)n = an·bn仍然成立. 数学上已经证明此猜测成立，并且此结论也适合 m，n 为整数且 m n = 0的情形. 由此可得整数指数幂的基本性质2： (am)n = a m n (a ≠ 0，m，n 都是整数). 以及整数指数幂的基本性质3： (ab)n = an·bn (a≠0，b≠0，n是整数). 【典型例题】 例1 设a≠0，b≠0，计算下列各式： (1) a7·a－3；　 (2) (a－3)－2； (3) (a－1b)－2. 【练一练】 1.计算： 知识要点 设 a≠0，b≠0，n 是整数，利用整数指数幂的基本性质2 和基本性质3 得 因此 例2 计算下列各式： 例3 计算： (1)(x3y－2)2； (2) x2y－2·(x－2y)3； (3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3； (4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2. 例4 已知 a-m＝3，bn＝2，则 (a-mb-2n)－2＝____． 探究点二、整数指数幂运算的实际应用 例5 某房间空气中平局均每立方米含3×106个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现1毫升这种杀菌剂可以杀死 2×105个病菌，问要将长10 m，宽8 m，高3 m的长方体房间内的病菌全部都杀死，至少需要多少毫升这种杀菌剂？ 课堂检测 1.设a≠0，b≠0，计算下列各式： 2.计算下列各式： 参考答案 复习导入 1. am·an = am+n ( m，n 都是正整数)；(am)n = a m n (m，n 都是正整数)； (ab)n = an bn (n是正整数). (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n)； (b ≠ 0，n 是正整数). 仍然成立 【合作探究】 探究点一、整数指数幂的运算 计算 a-2 a-8 a-5 猜想 am·an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数). 做一做 （1）① n n ② m 0 m+n am · an = am+n (a ≠ 0，m n = 0且 m，n 都是整数). 做一做（2）.① -6 -3 ② -6 -2 ③ 6 -3 ④ -2 -2 例1 （1）a4 (2) a6 （3） 练一练1. 解 例2 （1）原式= （2）原式= 例3 （1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3＝0.003. 例4 探究点二、整数指数幂运算的实际应用 解：(10×8×3)×(3×106)÷(2×105)=(720×106)÷(2×105)= 3.6×103(毫升). 答：至少需要3.6×103毫升这种杀菌剂. 课堂检测 1. 2.解：（1）原式= (2)原式＝27x12y6.（3）原式= 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $