2.4.2 零次幂和负整数指数幂（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第2章 分式 2.4 整数指数幂 第2课时 零次幂和负整数指数幂 【学习目标】 1. 理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算； 2. 会用科学记数法表示绝对值较小的数. 【学习重点】理解零次幂和负整数指数幂的意义. 【学习难点】负整数指数幂的意义，科学记数法表示绝对值较小的数. 【复习导入】 问题 同底数幂的除法法则是什么？ 若 m≤n，同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？ 【合作探究】 探究点一、零次幂和负整数指数幂 思考 我们已经知道，当n为正整数时， (1) 若n为0时，an的意义是什么? (2) 若n为负整数时，an的意义是什么? (1) 根据分式的基本性质得， 受此启发，若把 推广到 m＝n 的情形，则： 于是规定 x0 = 1 (x≠0). ① 将x用任意一个非零实数a代入，从①式得 a0 =1(a≠0). 即任何非零实数的零次幂都等于1. 例如，20 = 1，100 = 1， (2) 若把推广到 m＝0 的情形，则有： 又利用 ① 式得 于是规定 将 x 用任意一个非零实数 a 代入，从 ② 式得 由于 因此 特别地， 当引入零次幂和负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体整数. 【典型例题】 例1 已知 (3x-2)0有意义，则 x 应满足的条件是_______． 例2 若(x-1)x＋1 = 1，求x的值． 例3 计算： 例4 把下列各式写成分式的形式： (1) x-2； (2) 2xy-3； 【练一练】 1. 若 a =，b = (-1)-1，c =，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．a＞b＝c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 2.把下列各数写成分数的形式： 探究点二、用科学记数法表示绝对值小于1的数 忆一忆 科学记数法：绝对值大于10的数可记成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 是正整数. 例如，864000可以写成 _____________ . 想一想：怎样用科学记数法表示0.0000864？ 探一探： 因为 所以，0.0000864 = 8.64×0.00001 = 8.64 ×10-5. 类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10. 算一算： 10-2 = ___________； 10-4= ___________； 10-8 = ___________. 议一议：指数与运算结果的0的个数有什么关系？通过上面的探索，你发现了什么？ 一般地，10的 -n 次幂，在1前面有_____个0. 想一想：10-21 的小数点后的位数是几位？1前面有几个零？ 知识要点 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用10的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 例5 近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破，比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚 1 nm (纳米) 栅极长度的晶体管，其物理栅长为 0.00000000034 m，请用科学记数法表示这个长度(单位：m). 例6 用小数表示下列各数： (1) 2×10-7； (2) 3.14×10-5； (3) 7.08×10-3； (4) 2.17×10-1. 【练一练】 1. 用科学记数法表示： （1）0.00003； （2）-0.0000064； （3）0.0000314. 2. 用科学记数法填空： （1）1 s是 1 μs的 1 000 000 倍，则 1 μs＝_______s； （2）1 mg ＝_______kg； （3）1 μm ＝_______m；　　　　　 （4）1 nm ＝_______μm； （5）1 cm 2＝_______ m2； （6）1 mL ＝_______m3. 3. 中国女药学家屠呦呦获 2015 年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项．已知显微镜下某种疟原虫平均长度为 0.0000015 米，该长度用科学记数法表示为__________米． 课堂检测 1.计算： 2.把下列各式写成分式的形式： 3. 用小数表示 5.6×10-4. 4. 比较大小： （1）3.01×10-4_______9.5×10-3；（2）3.01×10-4_______3.10×10-4. 5. 用科学记数法把小数 0.000009405表示成9.405×10n的形式，那么n =_____. 6. 计算： 参考答案 复习导入 问题 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 即 【合作探究】 探究点一、零次幂和负整数指数幂 【典型例题】 例1 解析：根据零次幂的意义可知，若 (3x－2)0有意义，则 3x - 2≠0，即. 例2 解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1； ②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1； ③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1. 故 x 的值为 -1 或 2. 例3 例4 练一练 1. B 2. 探究点二 、用科学记数法表示绝对值小于1的数 忆一忆 8.64×105 探一探 算一算 0.01 0.0001 0.00000001 n 例5 解：0.00000000034＝3.4×0.0000000001＝3.4×10－10，因此，用科学记数法表示 0.00000000034 m即为 3.4×10－10 m. 例6 解：(1) 2×10－7＝0.0000002. (2) 3.14×10－5＝0.0000314. (3) 7.08×10－3＝0.00708. (4) 2.17×10－1＝0.217. 练一练 1. 3×10-5 2. -6.4×10-6 3. 3.14×10-5 2. （1）1×10-6 （2）1×10-6 （3）1×10-6 （4）1×10-3 （5）1×10-4 （6）1×10-6 3. 1.5×10-6 课堂检测 1. 1 1 64 2.解：(1) 原式 = (2) 原式 = 3. 解：原式 = 5.6×0.0001 = 0.00056. 4. ＜ ＜ 5. -6 6. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $