1.3 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（湘教版2024）

第1章 因式分解 1.3 公式法 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解 【学习目标】 1. 理解并掌握用完全平方公式分解因式； 2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算． 【学习重点】完全平方公式分解因式. 【学习难点】灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算. 【复习导入】 1. 什么叫因式分解？ 2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？ 【合作探究】 探究点一、用完全平方公式分解因式 说一说 请说出完全平方公式. 完全平方公式1：______________________________， 完全平方公式2：______________________________. 例如：在完全平方公式 1 中，将 y 用 2 代入得到等式 (x＋2)² =_______________. 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式 x²＋4x＋4 因式分解： x²＋4x＋4 =___________. . 完全平方公式：两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解. 例1 把多项式 9x2－6x＋1因式分解. 例2 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2. 例3 把多项式 x4－2x2＋1因式分解. 做一做 可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y)²－4(x＋y)＋4 因式分解吗？ 针对训练 分解因式： (1) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2) ( a2 + 4 )2 - 16a2. 例4 利用完全平方公式简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 例5 已知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29＝0，求 x2y2 + 2xy + 1的值. 课堂检测 1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( ) A．a2 + 1 B．a2 - 6a + 9 C．x2 + 5y D．x2 - 5y 2. 把多项式 4x2y - 4xy2 - x3 因式分解的结果是 ( ) A．4xy( x - y ) - x3 B．- x( x - 2y )2 C．x( 4xy - 4y2 - x2 ) D．- x( - 4xy + 4y2 + x2 ) 3. 若 m ＝ 2n + 1，则 m2 - 4mn + 4n2 的值是_____． 4. 若关于 x 的多项式 x2 -8x + m2 是完全平方式，则m的值为______． 5. 把下列多项式因式分解： （1）x2 -12x + 36； （2）4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1；（3）y2 + 2y + 1 - x2. 6. 计算：(1)38.92-2×38.9×48.9＋48.92； 7. 因式分解： (1) 4x2 + 4x + 1； (2) x2 - 2x + 3. 小聪和小明的解答过程如下： 他们做对了吗？若不对，请你帮忙纠正过来. 参考答案 复习导入 1.把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式. 2.① 提公因式法 ② 平方差公式 a2-b2 =(a+b)(a-b) 【合作探究】 探究点一、用完全平方公式分解因式 说一说 (x＋y)²= x²＋2xy＋y² (x－y)²=x²-2xy＋y² x²＋4x＋4 (x＋2)² 【典型例题】 例1 解： 9x2－6x＋1 = (3x)2-2·3x·1 + 12= (3x-1)2. 例2 解：(1) －4x2＋12xy－9y2＝－(4x²－12xy＋9y²) ＝－[(2x)²－2·2x·3y＋(3y)²]＝－(2x－3y)². (2) x5＋2x3y＋xy2＝x(x4＋2x²y＋y²)＝x[(x²)²＋2·x²·y＋y²]＝x(x²＋y)². 例3 解： x4－2x2＋1＝(x²)²－2·x²·1＋1² ＝(x²－1)²＝[(x＋1)(x－1)]²＝(x＋1)²(x－1)². 做一做 解：(x＋y)²－4(x＋y)＋4 ＝(x＋y)²－2·(x＋y)·2＋2² ＝(x＋y－2)². 针对训练 解：(1) 原式＝-3a2( x2-8x+16 )＝ -3a2( x-4)2. (2) 原式＝( a2 + 4 )2 - (4a)2＝(a2 +4+4a )( a2+4-4a ) ＝(a+2)2(a-2)2. 例4 解：(1) 原式 = (100-99)² = 1. (2) 原式 = (34 + 16)2 = 2500. 例5 解：由题可知 x2-4x+y2-10y+29 ＝ x2-4x+4+ y2-10y + 25＝ (x-2)2 + (y-5)2＝0， 因为 (x-2)2 ≥ 0，(y-5)2 ≥ 0，所以 x-2＝0，y-5＝0，所以 x＝2，y＝5.所以 x2y2+2xy+1 ＝(xy +1)2＝112＝121 课堂检测 1. B 2. B 3. 1 4. ±4 5.解：(1) 原式 = x2-2·x·6 + 62= (x-6)2. (2) 原式 = [2(2a + b)]² - 2×2(2a + b)·1 + 1²= (4a+2b-1)2. (3) 原式 = (y +1)²-x²= (y+1+x)(y+1-x). 6.解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2＝100. (2) 原式 7.解:(1)原式＝(2x)2 + 2×2x•1 + 1＝(2x + 1)2. (2)原式＝( x2-6x+9 )＝(x-3)2. 8.解：(1) 原式＝a2-2ab+b2＝(a-b)2.当 a-b＝3 时，原式＝32＝9. (2) 原式＝ab(a2+2ab+b2)＝ab(a+b)2. 当 ab＝2，a+b＝5时，原式＝2×52＝50. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $