15.3 第3课时 角的平分线的判定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(沪科版2024)安徽专版

第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 角的平分线 第3课时 角的平分线的判定 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.掌握并利用三角形全等证明角的平分线的判定定理； 2.掌握三角形的三条内角平分线交点的性质，解决简单的实际问题. 掌握并利用三角形全等证明角的平分线的判定定理. 掌握三角形的三条内角平分线交点的性质，解决简单的实际问题. 回顾复习 角平分线的性质定理: 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 创设情境 写出上面角平分线性质定理的逆命题： 这逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并指出证明. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D，E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 例题示范 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，（已知） 　 ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°.（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 　 QO＝QO，（公共边） QD＝QE ， （已知） ∴ Rt△QDO ≌ Rt△QEO，（HL） ∴ ∠QOD＝∠QOE，（全等三角形对应角相等） ∴点Q在∠AOB的平分线上.（角平分线定义） 新知引入 知识点1 角平分线的判定定理 ∵QD⊥OA，QE⊥OB, QD＝QE, ∴点 Q 在∠AOB的平分线上. (角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上). 几何语言： 定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 例题示范 如图，在△ ABC 中，D 是 BC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别是 E，F，BE ＝ CF． 求证：AD 是△ ABC 的角平分线． 证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴△ BDE 和△ CDF 是直角三角形． ∵ BD=DC，BE=CF， ∴ Rt △ BDE ≌ Rt △ CDF，(HL) ∴ DE ＝ DF. ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE ＝ DF， ∴点 D 在∠BAC 的平分线上，即AD 是△ABC 的角平分线． 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P 到 AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ A B C 创设情境 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 新知引入 知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质 定理：三角形三条内角平分线相交于一点， 这点到三角形三边的距离相等. 如图，在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB 的平分线， AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边 BC，AB，AC 的距离 (OE，OG，OF 的长) 相等，即 OE = OG = OF. 几何语言： 这一点叫三角形的内心. 例题示范 已知：如图，△ABC中，∠ B 的平分线 BE 与∠C的平分线 CF 相交于点P . 求证：AP 平分∠BAC. A B C P F E 证明：如图，过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB, 垂足分别为M，N，Q. ∵ BE是∠B的角平分线，点P在BE上，(已知) ∴ PQ = PM. （角平分线上的点到角两边的距离相等） 同理 PN = PM. ∴ PN = PQ. (等量代换) ∴ AP 平分∠BAC. （角的内部到角两边相等距离的点在角的平分线上） Q M N A B C P F E 例题示范 M A B C P O D 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP, BD交于点O，过点O作OM⊥AC, 若OM＝4. (1)求点O到△ABC三边的距离和. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 解:(1) 如图，过点O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别是点N, E. ∵ AP是∠BAC的角平分线， ∴ OE = OM.（角平分线上的点到角两边的距离相等） 同理 OE = ON. ∴ OM = ON = OE. (等量代换) ∵ OM = 4, ∴ OM + ON + OE = 12; M E N A B C P O D 解:(2) M E N A B C P O D 随堂练习 如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE，CD 相交于点O，且 OB = OC. 求证：点O在∠BAC的平分线上. 练习1 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°. 又∵ OB=OC，（已知） ∠BOD =∠COE，（对顶角相等） ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴ OD = OE. ∴点O在∠BAC的平分线上. （角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上） 练习2 如图，BE，CD 分别为△ABC 的两个外角的平分线，EP⊥AM 于点P，EQ⊥AN 于点Q. 求证：(1)EP = EQ; (2)点 E 在∠NAM 的平分线上. 如图，过点E作 EF⊥BC 于点F. ∵ BE, CE是分别为△ABC两个外角的平分线， EP⊥AM ，EQ⊥AN ，EF⊥BC，（已知） ∴ EP = EF，EQ = EF. （角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴ EP = EQ . （等量代换） 解:(1) ∵ EP = EQ ， EP⊥AM ，EQ⊥AN ，（已知） ∴ 点 E 在∠NAM 的平分线上. （角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上） (2) 归纳小结 知识点1 角平分线的判定定理 定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质 定理：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三 边的距离相等. 绿卡图书—走向成功的通行证 $