15.3 第2课时 角的平分线的性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(沪科版2024)安徽专版

第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的性质 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.掌握角的平分线的性质； 2.利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，解决简单的实际问题. 掌握角的平分线的性质. 利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，解决简单的实际问题. 回顾复习 怎样用尺规作图作出∠AOB的平分线？ 问题 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N，如图(1). （2）分别以点M, N为圆心，以大于MN长为半径，在角的内部画弧交于点P，如图(2). （3）作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的角平分线，如图(3). 新知引入 思考 如图，OE是∠AOB的平分线，P是OE上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点C,D是垂足. PC，PD的长有什么关系吗？证明你的猜想. 猜想：PC = PD. ∵OP平分∠AOB，（已知） ∴∠AOP =∠BOP.（角平分线定义） 又∵PC⊥OA，PD⊥OB，（已知） ∴∠PCO =∠PDO = 90°.（垂直的定义） 在△PCO和△PDO中， ∴△PCO≌△PDO. (AAS) ∴ PC = PD . 下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明. 证明： ∠AOP =∠BOP , (已知) ∠PCO =∠PDO , (已证) OP = OP , (公共边) 新知引入 知识点 角平分线的性质定理 定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. ∵OP是∠AOB的平分线, PD⊥OB, PC⊥OA, ∴PD=PC. (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 几何语言： 例题示范 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：EB=FC. B A E D C F 【解析】根据角平分线的性质得到 DE=DF，再根据HL证△BED≌△CFD, 从而得到EB=FC. 证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF , ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF (HL). ∴ EB=FC. B A E D C F 随堂练习 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC. 求证：BD=DF. 练习1 ∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴ DC=DE. 在△DCF和△DEB中, 证明: ∵ ∠C=90°, ∴ DC⊥AC. ∴ △DCF≌△DEB. (SAS) ∴ BD=DF. DC=DE , ∠C=∠BED , FC=EB , 练习2 A B C P 如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. D （1）求△APB的面积； （2）求∆PDB的周长. ·AB·PD=28. 解：（1）如图，过点P 作PD ⊥AB, 由角平分线的性质，可知，PD=PC=4， （2）在Rt△APC和Rt△APD中， PC=PD，AP=AP， ∴ Rt△ APC ≌ Rt△ APD (HL)， ∴ AC＝ AD = BC. A B C P D 练习3 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE⊥AB于E，且 PE=3，求AD与BC之间的距离. 解：如图，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理，PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6. 即AD与BC之间的距离为6. 归纳小结 角平分线的性质定理: 定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. 绿卡图书—走向成功的通行证 $