13.2 第3课时 三角形内角和定理及其推论1,2-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(沪科版2024)安徽专版

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理的证明及推论1（直角三角形两锐角互余）、推论2（有两个角互余的三角形是直角三角形），通过回顾命题、定理等旧知，结合剪拼内角动手活动导入，搭建从已有证明方法到新知探究的学习支架，衔接自然。 其亮点在于提供多种证法（过顶点作平行线、延长边构角等）展现几何直观，强调辅助线作用与转化思想培养推理能力，例题练习结合生活情境（如直角三角板在长方形中）和分层设计，用数学语言解决问题。助力学生发展空间观念与创新意识，教师可借多样资源提升教学效率。

第13章 三角形中的边角关系、 命题与证明 13.2 命题与证明 第3课时 三角形内角和定理及其推论1,2 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.掌握三角形内角和定理的证明及其简单应用； 2.理解并掌握三角形内角和定理的推论1和推论2； 3.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处. 掌握三角形内角和定理的证明及其简单应用. 理解并掌握三角形内角和定理的推论1和推论2. 回顾复习 1．什么是命题？什么是互逆命题？ 答：对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫命题． 将一个命题的题设与结论互换，得到一个新命题，这两个命题叫互逆命题． 答：有些命题，它的正确性经过推理得到证实，并被选作为判定其他命题真假的依据，这样的命题叫定理． 2．什么是定理？什么是演绎推理？什么是证明？ 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理． 演绎推理的过程就是演绎证明． 新知引入 知识点1 三角形内角和定理的证明 活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 你能用数学的方法说明这个结论吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：如图，过点A作直线l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. B C A l 1 2 证法2：如图，延长BC到点D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，则CE∥BA. (同位角相等，两直线平行） ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∵点B，C，D在同一条直线上，(所作) ∴∠1+∠2+∠ACB=180°.(平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.(等量代换) C B A E D 1 2 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想：还有其他的方法吗？ C B A E D F 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三角形中三个内角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 新知引入 知识点2 三角形内角和定理的推论1 问题1：在△ABC中，∠C=900，求:∠A+∠B的度数？由此你能得到什么结论？ 解：在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C＝ 90°，∴∠A＋∠B＝90°. 根据三角形内角和定理，可知另两个角的和应为90°，于是得 推论1 直角三角形的两锐角互余. 三角形内角和定理的推论1： 例题示范 典例 如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是多少？ 解：如图， ∵∠1＋∠3＝90°－60°＝30°， 而∠1＝18°， ∴∠3＝30°－18°＝12°. ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝12°. 练一练 C 1.如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为 (　 　) A．17°　　　　 B．34°　　　　 C．56°　　　　 D．124° 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，如果∠A＝40°，则∠1＝ °． 40 问题2：在△ABC中，∠A+∠B=90°，则∠C的度数为多少？ 由此你能得到什么结论？ 解：在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A＋∠B＝90°, ∴∠C＝ 90°. 由此得到，△ABC是直角三角形. 知识点3 三角形内角和定理的推论2 新知引入 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论. 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 三角形内角和定理的推论2： 例题示范 在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是(　 　) A．等腰三角形　　　　 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 B 练一练 1.如图，∠A＝∠1＝∠ABC＝70°，∠C＝90°，求∠2的度数． 解：∵∠A＝∠1＝70°， ∴∠ABD＝180°－70°－70°＝40°， ∴∠DBC＝70°－40°＝30°， ∵∠C＝90°， ∴∠2＝90°－∠DBC＝90°－30°＝60°. 2.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若∠1＝∠A，试判断△ABC的形状． 解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°，∴∠1＋∠B＝90°. ∵∠1＝∠A， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形． 练一练 随堂练习 补充完成下列证明，并填上推理的依据： 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. A B E C D 证明：过点A作DE//BC， 则 ∠DAB= ，（ ） ∠EAC= ，（ ） ∵ ∠DAB+∠BAC+∠EAC= ，（所作） ∴ ∠B+∠BAC+∠C= + + （ ）=180°. 180° 两直线平行内错角相等 ∠C 两直线平行内错角相等 ∠B ∠DAB ∠BAC ∠EAC 等量代换 练习1 证明： 如图，过点D作 DE//AB，DF//AC， 分别交AC，AB于点E，F. ∵ DE//AB，（所作） ∴∠A=∠4，∠B=∠3. 又∵DF//AC， ∴∠C=∠1，∠2=∠4， ∴∠A=∠2. 又∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°. 练习2 补充完成下列证明：已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. A B C D E F 1 2 3 4 练习3 求证：AB∥CD． 已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD． A B C D 4 2 1 3 证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2， 即∠3＝∠4, ∴AB∥ CD(内错角相等，两直线平行)． 解：∵ DE∥BC且∠C= 70°， ∴∠AED=∠C= 70°(两直线平行,同位角相等) . ∵在△ ADE中∠A=60°， ∴∠A+∠ADE+∠AED=180°(三角形内角和定理)， ∴∠ADE= 180°－60°－70°＝50°. D C B A E 如图，在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°. 求 ∠ADE的度数. 练习4 归纳小结 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理的证明及推论1、2 推论1：直角三角形的两锐角互余 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形 绿卡图书—走向成功的通行证 $