13.1 3 三角形中几条重要线段-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(沪科版2024)安徽专版

第13章 三角形中的边角关系、 命题与证明 13.1 三角形中的边角关系 3 三角形中几条重要线段 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.了解三角形的高、角平分线、中线的概念并掌握其性质. 2.会用工具准确画出三角形的高、角平分线、中线. 了解三角形的高、角平分线、中线的概念并掌握其性质. 会用工具准确画出三角形的高、角平分线、中线. 新课导入 概念 图示 角平分线 线段中点 垂线 当两条直线相交所成的四个角中， 有一个角是直角时，就说这两条直 线互相垂直，其中一条直线叫作另 一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 A B 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 O B A 新知引入 知识点1 三角形的高 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高. 定义 如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线段AD，垂线段AD就是△ABC的边BC上的高. 注意:标明垂直的记号和垂足的字母. A B C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 D 垂足 问题： (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ (3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 如图所示； 锐角三角形的三条高 F E A B O C D 直角三角形的三条高 问题：画出直角三角形的三条高， 直角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗? A B C D 直角三角形的三条高交于直角顶点. 直角边BC边上的高是 ; 直角边AB边上的高是 ; AC边上的高是 ; AB BC BD 钝角三角形的三条高 问题： 画出钝角三角形的三条高，钝角三 角形的三条高又有怎样的位置关系吗? A B D F O E C 钝角三角形的三条高不相交于一点，钝角三角形的三条高所在直线交于一点 归纳 三角形 高及高的交点的位置 图示 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高都在三角形的内部，三条高的交点在三角形的内部 直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点 钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 新知引入 知识点2 三角形的角平分线 三角形中，一个角的平分线与这个角对边 相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形 的角平分线.如图，在△ 就是△的一条角平分线. 1 2 A C D ∠1=∠2 B 想一想：三角形的角平分线与角的平分线相同吗? 不同，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. 定义 问题：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？ A B C D E F 发现：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点. 问题：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察它们是否也有这样的发现？ 练一练 解：因为 平分∠，∠， 所以∠. 因为∠+∠+∠，∠＝50°， 所以∠ ＝ 180°-50°-42°＝88° . 因为 平分∠， 所以∠＝∠. 在△ 中，已知∠ ＝ ，分别是∠，∠ 的平分线，相交于点. ∠，求∠ 的度数. 新知引入 知识点3 三角形的中线 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，线段AD是△ABC的一条中线. 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ 定义 中线 中点 (，或为的中点） 问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？ 发现：三角形三条中线交于一点.这个交点就是三角形的重心. A B C A B C A B C O O O 拓展： 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？ B C D E A 相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 发现：三角形的中线能将三角形的面积平分. 练一练 在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则BA＝________. 7 cm 解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ， △ADC的周长＝ AC + DC + AD ， 所以△ABD的周长-△ADC的周长 ＝（ AB+BD+ AD ）-（ AC + DC + AD ） ＝ AB-AC=2 cm. 又因为AC＝5 cm， 所以AB＝7 cm. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， 所以∠DAC＝∠BAD＝30°. 因为CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， 所以∠B＝50°， 所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50° ＝100°. 练一练 解： 随堂练习 如图所示，在△中，分别是△，△的中线，△ 的面积是4 ，那么△ 的面积是（　　） A.2.5 B.2 C.1.5 D.1 如图,在△ABC中, ∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交 AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误. ⌒ ⌒ A B C D E 1 2 F G H （1）AD是△ABE的角平分线( ) （2）BE是△ABD边AD上的中线( ) （3）BE是△ABC边AC上的中线( ) × × √ B 练习1 练习2 练习3 练习4 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6， AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____． 如图，在△ABC中，AB边上的高是____，BC边上的高是____；在△BCF中，CF边上的高是____. AD BC CE 练习5 解：设，则. （1）当时，有， 所以. 所以，. （2）当，时，有， 解得，所以 所以. 因为，所以此时不能构成三角形. 综上所述，等腰三角形的腰长为8，底边长为2. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC，一腰上的中线BD 将此等腰三角形的周长分成12和6 两部分， 求此等腰三角形的腰长及底边长. 练习6 在△中,⊥于,是∠的平分线,∠,∠.求：（1）∠的度数；（2）∠的度数． 解：（1）∵，∴∠. ∵∠，∴∠∠； （2）∵∠，∠，∠+∠+∠， ∴∠. ∵是∠的平分线，∴∠= ∠， ∴∠=∠+∠，∠． 归纳小结 三角形中的重要线段 角平分线 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点 高 三角形的三条高线交于一点 中线 三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点就是三角形的重心 三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 绿卡图书—走向成功的通行证 $