精品解析：黑龙江省哈尔滨市美佳外国语学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

哈美佳外校初中部2025—2026学年度（上）学期假期验收 九年级 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若两个相似多边形的面积之比为 ，则这两个多边形的周长之比为 ( ) A. B. 16:81 C. 4:9 D. 2:3 5. 如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形中，对角线、交于点，点为的中点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，∠B＝90°，AB＝BC＝4cm，点D为AB中点，点E和点F同时分别从点D和点C出发，沿AB、CB边向点B运动，点E和点F的速度分别为1cm/s和2cm/s，则的面积ycm2与点F运动时间x/s之间的函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000科学记数法表示为_____________． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 13. 计算：______． 14. 不等式组的解集是______． 15. 如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是______． 16. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7200亿元．则我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为______． 17. 抛物线的最大值为______． 18. 观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形共有______个★． 19. 在矩形中，点P为对角线BD垂直平分线上一点，且则AP的长是______． 20. 如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接与相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有______． 三、解答题（共60分，其中21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空： （1）平移线段，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段，并写出点D的坐标为______； （2）在y轴上找出点F，使最小，并直接写出点F的坐标为______． 23. 为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：A（优秀）、B（优良）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图． （1）直接写出本次抽样调查的样本容量，补全条形统计图； （2）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数． 24. 如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点C到的距离． 25. 春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元． （1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元； （2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？ 26. 如图，在正方形中，E，F分别是边，上的一点，，连接，． （1）求证：； （2）如图，连接交于点G，连接，若，，求的长； （3）如图，过点F作于点M，若，，求出的长． 27. 在平面直角坐标系中，已知，B为x轴负半轴上一点，把线段绕点A顺时针旋转得到线段． （1）如图1，连接，求的面积； （2）如图2，过点C作y轴的平行线交于点D，若，求直线的解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，E为延长线上一点，若，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈美佳外校初中部2025—2026学年度（上）学期假期验收 九年级 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是有理数，不符合题意． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘法，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方法则，熟知以上知识是解答本题的关键． 分别根据幂的乘方法则、单项式乘法、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答即可． 【详解】解： A、，故计算错误，不符合题意； B、，故计算正确，符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算错误，不符合题意． 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 4. 若两个相似多边形的面积之比为 ，则这两个多边形的周长之比为 ( ) A. B. 16:81 C. 4:9 D. 2:3 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似多边形的性质解决问题即可． 【详解】解：两个相似多边形的面积之比为 ， 两个相似多边形的对应边之比为， 两个多边形的周长之比为， 故选D． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握性质定理． 5. 如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，能够将实际问题转化成数学问题是解题关键． 栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题． 【详解】解：如图所示， 将题中条件转化到上图中，， 即，求的长度， ，（对顶角）， ， ，即，解得， ∴长臂端点升高， 故选：B． 6. 如图，平行四边形中，对角线、交于点，点为的中点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，关键是根据平行四边形的性质得出是的中位线．根据平行四边形的性质，可得出点平分，则是的中位线，则，继而求出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：B 【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 8. 若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围． 【详解】∵方程有两个不相同的实数根， ∴ 解得：m＜1． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 10. 如图，中，∠B＝90°，AB＝BC＝4cm，点D为AB中点，点E和点F同时分别从点D和点C出发，沿AB、CB边向点B运动，点E和点F的速度分别为1cm/s和2cm/s，则的面积ycm2与点F运动时间x/s之间的函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由y＝AE×BF＝×（2+x）（4﹣2x）＝﹣x2+4（0≤x≤2），即可求解． 【详解】解：由题意得：设CF＝2x，DE＝x， 则BF＝BC﹣FC＝4﹣2x，AE＝AD+DE＝2+x， 则y＝AE×BF＝×（2+x）（4﹣2x）＝﹣x2+4（0≤x≤2）， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，确定函数表达式是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：450000000用科学记数法表示为4.5×108， 故答案为：4.5×108． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠-3 【解析】 【详解】解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须x+3≠0， ∴x≠-3． 故答案为：x≠-3． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式的减法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简． 先对二次根式进行化简，再进行同类二次根式相减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的方法和步骤． 分别求出每个不等式的解集，然后得到不等式组的解集即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 15. 如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值． 【详解】解：如图，连接， 直线垂直平分的边， ， ， ，当点F与点D重合时等号成立， ， 周长的最小值是7． 故答案为：7． 16. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7200亿元．则我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x，根据2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7200亿元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为， 故答案为：． 17. 抛物线的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 ． 【详解】解：由抛物线可知， ∴当时，有最大值， 故答案为：． 18. 观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形共有______个★． 【答案】19 【解析】 【分析】本题主要考查了整式—图形规律类，根据图形找到规律第个图形有个★，是解题的关键． 先根据图形得到规律第个图形有个★，再当时，代入即可求得答案． 【详解】解：根据图形可得： 第1个图形有个★， 第2个图形有个★， 第3个图形有个★， 第4个图形有个★， …… 第个图形有个★， 第6个图形中有个★， 故答案为：19． 19. 在矩形中，点P为对角线BD垂直平分线上一点，且则AP的长是______． 【答案】3或． 【解析】 【分析】根据题意画出图形，如图所示，利用线段垂直平分线定理得到可得出设则有在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到AM与DM的长，根据得到此时P与M重合，AP的长即为AM的长；当P与N重合时，在直角三角形中，由AB与BN的长，利用勾股定理求出AN的长即为AP的长． 【详解】解：连接矩形对角线BD，做出BD的垂直平分线MN，交AD、BC分别于M，N点，连接BM，DN，AN， 在中，设 根据勾股定理得： 解得： 当P与M重合时，此时 连接AN，当P与N重合时，由对称性得到 在中， 根据勾股定理得： 此时． 故答案为：3或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，线段垂直平分线定理，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键． 20. 如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接与相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有______． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．根据菱形的性质，再结合全等三角形的判定与性质，对每个结论一一判断求解即可． 【详解】解：①∵四边形是菱形． ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴①符合题意； ②由①得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的大小为定值， ∴②符合题意； ③当点E，F分别是中点时， 由①知，为等边三角形， ∵点E，F分别是中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴③不符合题意； ④过点F作交于P点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故本选项不符合题意： ∴正确的结论是①②． 故答案为：①②． 三、解答题（共60分，其中21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号内先通分计算减法，再进行除法运算，然后把x=5代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式====， 当时，原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，属于基本题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空： （1）平移线段，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段，并写出点D的坐标为______； （2）在y轴上找出点F，使最小，并直接写出点F的坐标为______． 【答案】（1）如图线段即为所求； （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了作图－平移变换，轴对称－最短路径问题，解决本题的关键是根据平移的性质作出线段． （1）根据平移的性质即可得线段； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，由图即可知点的坐标． 【小问1详解】 解：根据平移可知：点的坐标是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时最小， 由图知点的坐标为． 故答案为：． 23. 为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：A（优秀）、B（优良）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图． （1）直接写出本次抽样调查的样本容量，补全条形统计图； （2）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数． 【答案】（1） 100；补全条形统计图，如下图： （2）700人 【解析】 【分析】（1）先根据竞赛成绩B（优良）的学生人数除以其所占的百分比，可得本次抽样调查的样本容量，再求出竞赛成绩B（优良）和竞赛成绩D（不合格）的学生人数，即可求解； （2）用2000乘以竞赛成绩B（优良）的学生人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的样本容量为； ∴竞赛成绩B（优良）的学生人数为， 竞赛成绩D（不合格）的学生人数为100-35-35-25=5， 【小问2详解】 解：该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为人 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，明确题意，从统计图中准确获取信息是解题的关键． 24. 如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点C到的距离． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形 为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质证明，再利用四边形内角和为，证明，即可由矩形判定定理得出结论； （2）先由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴ 设点C到的距离为h， ∵ ∴ ∴ 答：点C到的距离为． 【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键． 25. 春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元． （1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元； （2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？ 【答案】（1）每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；（2）最多可以购买35个A型放大镜． 【解析】 【详解】分析：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题； （2）由题意列出不等式求出即可解决问题． 详解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得： ， 解得：， 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元； （2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20m+12×（75-m）≤1180， 解得：m≤35， 答：最多可以购买35个A型放大镜． 点睛：本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答． 26. 如图，在正方形中，E，F分别是边，上的一点，，连接，． （1）求证：； （2）如图，连接交于点G，连接，若，，求的长； （3）如图，过点F作于点M，若，，求出的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）只需要证明即可证明； （2）先证明，进而证明得到，推出，即点F为中点；如图所示，取中点H，连接交于P，同理可证，得到，进一步证明，得到，取中点Q，连接，则是的中位线，由平行线的唯一性可知点Q与点P重合，则垂直平分，即可得到，进而可知长度； （3）连接，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再求出，证明是等腰直角三角形，得到；设，则，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即点F为中点， 如图所示，取中点H，连接交于P， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 取中点Q，连接，则是的中位线， ∴， ∴由平行线的唯一性可知点Q与点P重合， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵ ∴；     【小问3详解】 解：连接， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴．     【点睛】本题考查三角形中位线，正方形的基本性质和全等三角形的证明及性质，勾股定理等知识点，综合程度比较大，能够正确画出辅助线是解题关键． 27. 在平面直角坐标系中，已知，B为x轴负半轴上一点，把线段绕点A顺时针旋转得到线段． （1）如图1，连接，求的面积； （2）如图2，过点C作y轴的平行线交于点D，若，求直线的解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，E为延长线上一点，若，求点E的坐标． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点C作轴于点D，证明得到，根据三角形的面积公式即可求解； （2）过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，可得四边形是矩形，得到．连接，由得到在中，，根据“三线合一”得到，从而根据勾股定理在中求得，在中求得，得到．再运用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）由旋转得到是等腰直角三角形，因此，设，则，过点E作，交x轴于点M，作轴于点N，得到，因此，进而求出，从而证得得到，．设点E的坐标为，表示出，，的长，进而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作轴于点D，则， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点C作轴于点E，过点D作轴于点F， 由（1）同理可得， ∴， ∵轴，轴 ∴， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴． 连接， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 解：∵由旋转有，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 过点E作，交x轴于点M，作轴于点N， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵点E在直线上， ∴设点E的坐标为， ∴，， ， ∴ ∵， ∴， ， ∵在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形外角的性质，平行线的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $