第03讲 一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式解法(5大核心考点）【练透核心考点】-2025-2026学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版必修第一册）

第03讲 一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式解法 目录 题型一：重点考查一元二次不等式（不含参）的解法 1 题型二：重点考查一元二次不等式（含参+可因式分解型）的解法 2 题型三：重点考查分式不等式的解法 4 题型四：重点考查含有一个绝对值的不等式的解法 5 题型一：重点考查一元二次不等式（不含参）的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）不等的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 例题2．（25-26高一上·全国·随堂练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 例题3．（2025高三·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 例题4．（24-25高一上·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2025高三下·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 3．（2025高一上·河北保定·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）不等式的解集为 ． 题型二：重点考查一元二次不等式（含参+可因式分解型）的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 例题2．（24-25高一上·江西抚州·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)解关于x的不等式. 例题3．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知函数，其中. (1)若的解集为，求； (2)求关于的不等式的解集，其中为常数. 精练核心考点 1．（24-25高一上·北京通州·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集. 2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数，. (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）求关于的不等式的解集：. 题型三：重点考查分式不等式的解法 典型例题 例题1．（25-26高三上·四川内江·开学考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 例题2．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 3．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 4．（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集． 题型四：重点考查含有一个绝对值的不等式的解法 典型例题 例题1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3．（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 精练核心考点 1．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 2．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 3．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 4．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式解法 目录 题型一：重点考查一元二次不等式（不含参）的解法 1 题型二：重点考查一元二次不等式（含参+可因式分解型）的解法 4 题型三：重点考查分式不等式的解法 9 题型四：重点考查含有一个绝对值的不等式的解法 12 题型一：重点考查一元二次不等式（不含参）的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）不等的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式解法确定不等式的解集. 【详解】原不等式就转化为. 解得，即不等式的解集为. 故选：D 例题2．（25-26高一上·全国·随堂练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】将原不等式转化为，解出，再求解出的范围即可. 【详解】原不等式可化为，解得， 则，故解集为． 故选：A. 例题3．（2025高三·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用分类讨论去绝对值符号，再应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】当时，，可得， 当时，，可得且， 所以不等式的解集为或. 故选：D 例题4．（24-25高一上·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式得到答案. 【详解】由得，解得或， 故选：B. 精练核心考点 1．（2025高三下·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题有转化为求方程的根即可求解. 【详解】由题意有，方程有两个根，即和1， 则的解集为或， 即不等式的解集为或. 故选：C. 2．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】将不等式化为不等式，结合三个二次的关系即可求得答案. 【详解】不等式即不等式， 故，即不等式的解集为， 故选：B 3．（2025高一上·河北保定·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为， 故选：A. 4．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 所以原不等式的解集为， 故答案为： 题型二：重点考查一元二次不等式（含参+可因式分解型）的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 （2）即为即， ①当时，，即解集为， ②当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 例题2．（24-25高一上·江西抚州·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见详解. 【分析】（1）利用韦达定理求解可得； （2）因式分解，根据两根的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 由韦达定理得，解得， 经检验，满足题意. （2）, 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或. 所以，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 例题3．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知函数，其中. (1)若的解集为，求； (2)求关于的不等式的解集，其中为常数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分析可知方程的解为，，利用韦达定理可求得实数的值； （2）将所求不等式变形为，对与的大小进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：由题知，解得. 此时方程的解为，， 由韦达定理得，得，经检验符合题意. 故. （2）解：， 方程的根为，， 当时，即当时，不等式为，此时原不等式的解集为； 当时，即当时，不等式的解集为； 当时，即当时，不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 精练核心考点 1．（24-25高一上·北京通州·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)2 (3)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）根据单调性、对称轴列不等式，由此求得的范围，进而求得的最小值. （3）化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）因为，不等式为. 对于方程，解得. 所以不等式的解集为. （2）因为，所以开口向上. 因为在区间上单调递增， 所以.解得.所以的最小值为2. （3）因为， 所以，即. 当，即时，解得，或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数，. (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见详解. 【分析】（1）利用判别式列不等式求解即可； （2）分，和讨论即可. 【详解】（1）因为恒成立，所以， 即，解得， 所以实数的取值范围为. （2）， 当时，解不等式得； 当时，解不等式得或； 当时，解不等式得或. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）求关于的不等式的解集：. 【答案】答案见解析 【分析】将不等式变形为，然后根据与1的关系进行分类讨论，求解即可． 【详解】不等式，即， 当时，不等式为，解得，则不等式的解集； 当时，不等式变形为， 由于，解得或， 故此时不等式的解集为； 当时，不等式变形为， 由于，解得， 故此时不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 题型三：重点考查分式不等式的解法 典型例题 例题1．（25-26高三上·四川内江·开学考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式计算求得解集. 【详解】由题意不等式变形为，通分化简为， 分式不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 故选：A. 例题2．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理化简分式不等式，并将其等价转化为整式不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，等价于，解得. 故选：B. 例题3．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 精练核心考点 1．（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】因为， 解得且，即， 所以不等式的解集是. 故答案为： 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可． 【详解】， 故答案为：． 3．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果； （2）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，且，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. （3）根据条件得到，利用，将问题转化成，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. 【详解】（1）因为等价于，得到或， 所以的解集为或. （2）由，得到，即， 等价于，且，解得或， 所以的解集为或. （3）由，得到， 又恒成立， 所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 4．（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集． 【答案】或 【分析】将给定不等式移项通分，再利用数轴标根法求解. 【详解】不等式 ， 借助数轴，讨论各个因式之积的符号，如图所示（数轴标根法）： 所以原不等式的解集是：或. 题型四：重点考查含有一个绝对值的不等式的解法 典型例题 例题1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式、分式不等式及一元二次不等式解法求解判断即可. 【详解】由，则，解得. 对于A，由，则，解得； 对于B，由，则，解得； 对于C，由，则，解得或； 对于D，由，则，解得. 故选：A. 例题2．（24-25高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】由，解之得或， 记不等式的解对应集合， 由或，解之得或， 记不等式的解对应集合， 显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例题3．（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】变形不等式，利用平方法去绝对值符号，再利用因式分解法求解. 【详解】不等式， 而，解得或， 所以原不等式的解集为或. 故选：B 精练核心考点 1．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】直接去掉绝对值符号或分类讨论去掉绝对值，然后解不等式即可． 【详解】（1）直接去掉绝对值，得或， 即或， 由可得，解得或，所以或； 由，因，所以解集为． 综上，不等式的解集为或． （2）①当时，则，不成立，所以解集为； ②当时，得，解得，所以． 综上，不等式的解集为或． （3）①当时，得，解得，解集为； ②当时，得，解得，所以． 综上，不等式的解集为． 另解（零点分段法）： ①当，即时，，不等式显然成立； ②当，即时，即， 整理得，解得，所以． 综上，不等式的解集为． 2．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】． 【分析】根据给定条件，按分类讨论求解不等式. 【详解】将不等式分情况讨论： 当时，不等式恒成立，则， 当时，不等式化为：或， 即或，解得或或， 因此或， 所以原不等式的解集为． 3．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】 【分析】不等式化为或，即可求解. 【详解】由，得或， 所以或，则. 4．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】 【分析】应用公式法求绝对值不等式的解集. 【详解】由，得，则. 学科网（北京）股份有限公司 $