第02讲 二次函数与一元二次方程、不等式(7大核心考点）【练透核心考点】-2025-2026学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第02讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 题型一：重点考查二次函数的值域（最值） 1 题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法 3 题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法 5 题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数 7 题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系 8 题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立问题 9 题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题 10 题型一：重点考查二次函数的值域（最值） 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·开学考试）二次函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高一·全国·专题练习）函数在上的最小值和最大值分别是（      ） A．1，3 B．，3 C．，3 D．，3 例题3．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）已知函数，求当时，的最小值． 精练核心考点 1．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)（）． 2．（2025高一·全国·专题练习）求函数在区间上的最值． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的解析式． 4． （2026高三·全国·专题练习）已知函数，求在上的最大值． 题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列不等式的解集： (1) (2) 例题2．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 精练核心考点 1．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 2．（24-25高一上·全国·课前预习）解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列一元二次不等式． (1)； (2)； (3)． 4．（24-25高一上·天津西青·期中）解下列不等式： (1) (2) (3) 题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法 典型例题 例题1．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 例题2．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知函数 . (1)关于的不等式的解集为，求的最小值； (2)解关于的不等式. 例题3．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式． 精练核心考点 1．（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知二次函数，． (1)若时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围： (3)解关于x的不等式． 2．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）（1）若不等式的解集为，求a的值； （2）求解关于的不等式. 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（   ） A． B． C． D．5 精练核心考点 1．（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围． 题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系 典型例题 例题1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 精练核心考点 1．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 2．（多选）（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D． 3．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 例题2．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 例题3．（24-25高一上·全国·课后作业）关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围． 精练核心考点 1．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）若不等式的解集为R，则的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是 . 4．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·山西·期中）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 精练核心考点 1．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）当时，有解，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 7．（23-24高一上·新疆哈密·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 题型一：重点考查二次函数的值域（最值） 1 题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法 5 题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法 9 题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数 14 题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系 17 题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立问题 21 题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题 24 题型一：重点考查二次函数的值域（最值） 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·开学考试）二次函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数的性质可知在对称轴处取得最小值，代入求值即可． 【详解】因为，所以二次函数的图象开口向上，故在对称轴处取得最小值． 所以二次函数的最小值是. 故选：C. 例题2．（2025高一·全国·专题练习）函数在上的最小值和最大值分别是（      ） A．1，3 B．，3 C．，3 D．，3 【答案】B 【分析】求出函数的对称轴，根据二次函数的性质求解最值即可. 【详解】，对称轴为，又， 故当时，；当时，. 故选：B． 例题3．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）已知函数，求当时，的最小值． 【答案】时，的最小值为3；时，的最小值为；时，的最小值为. 【分析】根据二次函数的性质分别讨论抛物线的对称轴在的左侧、中间、右侧时的最小值. 【详解】因为函数，对称轴为. 当时，即时，因为抛物线在上单调递增， 此时当时，取最小值为3； 当时，即时，因为抛物线在上单调递减， 此时当时，取最小值为； 当时，即时， 因为抛物线在上单调递减，在上单调递增， 此时当时，取最小值为. 综上：时，的最小值为3；时，的最小值为；时，的最小值为. 精练核心考点 1．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用配方法求解即可； （2）二次函数的值域问题（以及在某个区间内的值域问题），通常可以选用配方法，结合函数图象，求得对应函数的值域． 【详解】（1）因为，所以． （2），由于，画出对应函数图象， 如图，可知．    2．（2025高一·全国·专题练习）求函数在区间上的最值． 【答案】， 【分析】画出函数图象，易知区间虽然在移动，但是它的“长度”并没有发生改变，根据对称轴与区间的相对位置，对参数进行分类讨论求解即可． 【详解】易知函数图象的对称轴为直线． （1）当时，，． （2）当即时，． 当时，； 当时，． （3）当即时，，． 综上，，. 3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的解析式． 【答案】 【分析】根据顶点横坐标与区间的位置关系分类讨论求解即可. 【详解】配方得，其对称轴方程为， 顶点坐标为，图象开口向上． 当，即时，时，函数取得最小值． 当，即时，时，函数取得最小值． 当，即时，时，函数取得最小值． 综上，得． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，求在上的最大值． 【答案】 【分析】由得对称轴为，根据对称轴的范围分类讨论即可求解. 【详解】由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在上单调递增，所以的最大值为； 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 当时，函数在上单调递减，所以的最大值为． 综上， 题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列不等式的解集： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】根据一元二次不等式的结构特征，运用配方法和分解因式法化简不等式即可求解. 【详解】（1）由可得，解得， 故原不等式的解集为； （2）由可得，解得或， 故原不等式的解集为或. 例题2．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)． (3)或． (4)． 【分析】（1）求出的两个根，进而得到不等式的解集； （2）恒成立，故不等式解集为； （3）变形得到，求出不等式解集； （4）分别解和，进而求出答案. 【详解】（1）对于方程， 所以由求根公式可得方程的两个实数根为，， 所以不等式的解集为． （2）恒成立，则不等式的解集为． （3），移项得， 整理得，即， 解得或，则不等式的解集为或． （4）因为，即， 解不等式，即，解得； 解不等式，即， 又因为恒成立， 所以不等式的解集为． 综上，不等式的解集为． 精练核心考点 1．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）解出下列一元二次不等式的解集． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接因式分解即可求解； （2）利用配凑法即可求解. 【详解】（1）由，得， 解得：或， 故不等式的解集为：； （2），即，即，解得. 则其解集为. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【详解】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列一元二次不等式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)无解． 【分析】（1）（2）分解因式后可解不等式；（3）由二次不等式对应二次函数图象与x轴的交点情况可解不等式. 【详解】（1）原不等式可化为，所以不等式的解为； （2）原不等式可化为，所以原不等式的解为； （3）原不等式可化为，，则图象恒在x轴上方，则原不等式无解． 4．（24-25高一上·天津西青·期中）解下列不等式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解（1）（2）；根据分式不等式的解法即可求解（3）. 【详解】（1）， 又，所以， 即不等式的解集为； （2）方程中，，该方程无解， 所以不等式的解集为； （3）， 解得或，即原不等式的解集为. 题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法 典型例题 例题1．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】分、及，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 例题2．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知函数 . (1)关于的不等式的解集为，求的最小值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析； 【分析】（1）利用一元二次不等式的解集与方程根的关系可得且，再由基本不等式中“1”的应用可得结果； （2）对参数的取值分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】（1）由关于的不等式的解集为可得是方程的两个实数根，且，； 因此可得，因此； 且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时满足题意，的最小值为； （2）整理不等式可得， 即； 当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式为的解集为或. 例题3．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先对二次项系数分类讨论，再依据二次函数性质建立不等式，求解参数即可. （2）对参数分类讨论，再求解不等式即可. 【详解】（1）由题意得对任意的恒成立， 当时，，而， 此时对任意的不成立，故排除， 故我们讨论的开口，当时，此时开口向下，不符合题意，故排除， 当时，此时开口向上，符合题意，令， 故，解得，得到实数的取值范围为. （2）当时，，令，解得 当时，我们讨论如下，因为， 所以，令， 解得或，当时，解得， 此时， 故得到的解集为， 当时，我们做出如下讨论，令，解得， 此时，令，解得， 令，解得，此时令，解得， 当时，恒成立，令，解得， 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 精练核心考点 1．（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知二次函数，． (1)若时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围： (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可； （2）求出函数的对称轴，根据函数在区间上单调，对称轴需要位于此区间之外，进行分类讨论即可求解； （3）求出的根，然后根据根的大小关系进行分类讨论，求解不等式的解集． 【详解】（1）当，函数， 将代入得， ， 不等式的解集为：； （2）因为的对称轴为：， 为了使函数在区间上单调，对称轴需要位于此区间之外， 或， 解得：或， 因此，实数a的取值范围为：； （3）将原不等式代入得， 整理后得：，即， ①当时，不等式的解集为：， ②当时，不等式的解集为：， ③当时，不等式的解集为：， 综上所述：当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：． 2．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）（1）若不等式的解集为，求a的值； （2）求解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解可得方程的根，从而可求参数的值. （2）就的不同的取值范围分类讨论后可求不等式的解集. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 故且为的根，故，即. （2）当时，原不等式即为即； 当时，，原不等式的解为； 当时，，故原不等式的解为； 当时，故原不等式的解为； 当时，，故原不等式的解为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次型不等式恒成立列式求出范围. （2）原不等式化为，再按分类讨论求解不等式. 【详解】（1）不等式，依题意，在上恒成立， 当时，在上不恒成立； 当时，，即，解得， 所以a的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为，若，解得； 若，则无解；若，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式化为，讨论和两种情况，求出不等式的解集，从而求得的取值范围． 【详解】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得,所以的取值范围是． 故选：B． 例题2．（多选）（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（   ） A． B． C． D．5 【答案】ABD 【分析】求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，可确定不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解. 【详解】解不等式，得或. 解方程，得. ①当，即时，，方程组的解为，不是整数， 所以； ②当，即时，不等式的解集为， 此时不等式组的解集为，根据题意， 得，即； ③当，即时，不等式的解集为， 要使不等式组的解集中仅有一个整数， 则，即. 综上，的取值范围为. 故选：ABD. 精练核心考点 1．（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【详解】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 2．（多选）（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据与2的大小，求得不等式的解，分析其中恰有2个整数的情形即可求解. 【详解】不等式化为， 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选：AB 3．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】法一：利用二次函数的图象可得的取值范围.法二：由题意可得对恒成立，进而求解即可. 【详解】法一：令，由题意，结合函数图像可得， ，或者 解得，或者，． 法二：原命题等价于，当时，恒成立． 此又等价于恒成立． ，当且仅当，即时取等号， ． 题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系 典型例题 例题1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 例题2．（多选）（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 【答案】BC 【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D. 【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中）， 所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，， 又关于一元二次不等式的解集为， 即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，， 又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的， 又开口向下，对称轴为， 由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）： 所以， 则，所以，，所以，故A错误，B正确； 又，，所以，故C正确； 因为、为关于的方程的两根， 所以，， 又，所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 显然，所以，故D错误. 故选：BC 精练核心考点 1．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 2．（多选）（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D． 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集与方程的根的关系可判断，结合韦达定理及一元二次不等式的解法可判断；利用基本不等式的求和的最小值可判断； 【详解】对于：不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故正确， 对于：可变为，解得或，故错误， 对于，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故正确； 对于，是对应方程的根，所以，故正确. 故选：ACD. 3．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【分析】由的解集，确定的数量关系代入所求不等式，消元求解即得. 【详解】因的解集为， 则，且方程的两根为1和5， 则有，即， 则等价于， 化简得， 解得或 故不等式的解集为. 题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 例题2．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． 综上所述，当时，原不等式的解集为R. 故答案为：. 例题3．（24-25高一上·全国·课后作业）关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】把不等式等价变形，讨论和，由不等式恒成立可得结果. 【详解】原不等式等价于对恒成立． 当时，对恒成立． 当时，由题意得，解得． 综上，的取值范围为． 精练核心考点 1．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 2．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）若不等式的解集为R，则的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将问题转化为等式在R上恒成立，讨论的范围即可得到结果. 【详解】由题意得不等式在R上恒成立. 当时，不等式恒成立，符合题意. 当时，由不等式恒成立得，解得， 综上得，. 故选：A. 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过求解来确定实数的取值范围. 【详解】对于二次函数，. 根据题意，令，即得成立， 解得. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对讨论，结合判别式即可求解. 【详解】当时，则对一切实数都成立，符合题意， 当时，则，解得， 综上可得， 故答案为； 题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·山西·期中）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定与真假性，将问题转化为二次不等式的有解问题，从而得解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则在区间上有解， 设，则的图象开口向上，对称轴为， 且，则当时，函数取得最大值为， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 例题2．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 例题3．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【详解】要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 2．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）当时，有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意转化为关于m的一次不等式小于0有解，根据对应的一次函数为增函数，列出不等式即可得解. 【详解】当时，有解， 即在上有解， 因为，所以一次函数单调递增， 所以只需即可，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 7．（23-24高一上·新疆哈密·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出在的最大值，然后可得关于a的不等式，解出即可. 【详解】设，则在的最大值为4， 因为关于的不等式在上有解， 即，解得， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $