第01讲 基本不等式 (8大核心考点）【练透核心考点】-2025-2026学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版必修第一册）

第01讲 基本不等式 目录 题型一：重点考查基本不等式公式的理解 1 题型二：重点考查利用基本不等式比较大小 2 题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值 3 题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值 3 题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用 4 题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题 5 题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用 6 题型一：重点考查基本不等式公式的理解 典型例题 例题1．（多选）（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 例题2．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（多选）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则函数（    ） A．没有最大值 B．没有最小值 C．最大值为 D．最小值为 2．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 题型二：重点考查利用基本不等式比较大小 典型例题 例题1．（多选）（24-25高三上·江苏连云港·阶段练习）若实数满足，则（　 　） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是 ． 精练核心考点 1．（多选）（24-25高一·全国·课后作业）(多选题)下列不等式不一定成立的是（    ） A．x＋≥2 B．≥ C． D．2－3x－≥2 2．（多选）（24-25高一·全国·课前预习）下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值 典型例题 例题1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 精练核心考点 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 2．（2025高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值 典型例题 例题1．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 例题2．（2025高一·全国·专题练习）已知正数，满足，则的最小值是 . 精练核心考点 1．（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为 ． 题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用 典型例题 例题1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）设，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知正数x，y满足，求的最小值． 精练核心考点 1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．10 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3． （2025高三·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·天津南开·期中）已知，若不等式恒成立，则的最大值是 . 精练核心考点 1．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏无锡·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东·期中）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 例题2．（25-26高一上·全国·单元测试）某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形. (1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？ (2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？ 例题3．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）汕头体育中心为粤东目前规模最大、标准最高的体育场馆，其中体育场可容纳22000名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为30年．已知隔热层的建造成本是5万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元． 30年的总维修费用为30万元．记为30年的总费用． （总费用=隔热层的建造成本费用+使用30年的能源消耗费用+30年的总维修费用） (1)求30年的总费用关于的函数表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30年的总费用最小，并求出最小值． 精练核心考点 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 3．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 基本不等式 目录 题型一：重点考查基本不等式公式的理解 1 题型二：重点考查利用基本不等式比较大小 4 题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值 7 题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值 8 题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用 11 题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题 13 题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用 16 题型一：重点考查基本不等式公式的理解 典型例题 例题1．（多选）（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 例题2．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及适用范围分别判断即可求解． 【详解】对于A，当与为负数时，显然不成立，故A错误． 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C，若为负值，则， 显然不成立，故C错误． 对于D，， 但等号成立需满足，此时无解， 所以等号不成立，即，故D正确． 故选：BD. 精练核心考点 1．（多选）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则函数（    ） A．没有最大值 B．没有最小值 C．最大值为 D．最小值为 【答案】BC 【分析】利用基本不等式求最值． 【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，即，所以函数有最大值，无最小值. 故选：BC． 2．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式的三个条件：“一正，二定，三相等”，来判断代数式是否一定成立. 【详解】由于，不满足恒为正数，A错误； ，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，故，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：BCD 3．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 【答案】BC 【分析】AD选项，利用对勾函数的性质进行求解；BC选项，直接使用基本不等式或变形后使用基本不等式进行求解 【详解】A选项，令， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 故的最小值为，A错误； B选项，因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数最小值为，B正确； C选项，当时，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，C正确； D选项，由对勾函数性质可知在上单调递减， 故，D错误. 故选：BC 题型二：重点考查利用基本不等式比较大小 典型例题 例题1．（多选）（24-25高三上·江苏连云港·阶段练习）若实数满足，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用基本不等式和重要不等式将放缩后，求解不等式即可. 【详解】根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以，因此，故选项A正确，选项B不正确； 根据重要不等式得，当且仅当时等号成立， 所以，故选项C正确； 当异号时，，所以，选项D不正确； 故选：AC. 例题2．（24-25高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是 ． 【答案】/ 【分析】确定，，，得到答案. 【详解】，，，则，，， 综上所述：最大的一个是. 故答案为： 精练核心考点 1．（多选）（24-25高一·全国·课后作业）(多选题)下列不等式不一定成立的是（    ） A．x＋≥2 B．≥ C． D．2－3x－≥2 【答案】AD 【分析】取可判断A；由可判断B；由基本不等式可判断C；取可判断D. 【详解】对于选项A：当x<0时，，故A错误； 对于选项B：＝≥，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：变形为，当x取正数时不成立，故D错误． 故选：AD. 2．（多选）（24-25高一·全国·课前预习）下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对式子的结构适当变形，结合“正”、“定”、“等”即可作出判断. 【详解】A项，当x<0时，，∴A错误； B项，，∴B正确； C项，，其中，满足基本不等式的要求，∴C正确； D项，变形为，当x取正数时，不成立，∴D错误. 故选：AD 3．（2024高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】由重要不等式可得，当时，等号成立，所以①错误；显然若时，②和③均错误；利用基本不等式可知④正确. 【详解】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 题型四：重点考查利用基本不等式求商式的最值 典型例题 例题1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 例题2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 精练核心考点 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 . 【答案】/ 【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 题型五：重点考查利用基本不等式求条件等式的最值 典型例题 例题1．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 例题2．（2025高一·全国·专题练习）已知正数，满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】首先将条件等式可转化为，再利用基本不等式求出最值. 【详解】由，得， 于是， 当且仅当，时取等号，故最小值为1. 故答案为：1 精练核心考点 1．（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解. 【详解】由可得：. 因为， 所以，， 则，当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据基本不等式列出与的关系，结合，得到关于的不等式，即可求得答案. 【详解】由题知，，由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立. 所以,当且仅当时，等号成立． 令，，则，整理得，解得（舍去）或， 即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 题型六：重点考查基本不等式中“1”的妙用 典型例题 例题1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）设，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的代换可求得最值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知正数x，y满足，求的最小值． 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用、消元法及基本不等式、二元柯西不等式分别求出最小值. 【详解】解法1：利用均值不等式 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 解法2：消元法 由，得，由，得，而，则， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 解法3：用柯西不等式法 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是18. 精练核心考点 1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．10 【答案】B 【分析】由题可得，结合基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即时取等号， 所以的最小值为 故选：B 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】整理题干中的等式，根据基本不等式中隐藏“1”的解题方法，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用进行求解. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即． 题型七：重点考查基本不等式中的恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 例题2．（24-25高一上·天津南开·期中）已知，若不等式恒成立，则的最大值是 . 【答案】6 【分析】根据，，得到，利用“1”的代换转化为，再用基本不等式求解即可 【详解】因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以的最大值是. 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏无锡·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式求得最小值，再由一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 故选：A 3．（23-24高一上·山东·期中）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，利用基本不等式求得的最小值，进而可得，求解即可. 【详解】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即． 故选：C． 题型八：重点考查基本不等式在实际中的应用 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2)3万元 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 例题2．（25-26高一上·全国·单元测试）某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形. (1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？ (2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？ 【答案】(1)=6m，=4m (2)=5m，= 【分析】（1）设长为，宽为，则围成四块田地的篱笆总长为，然后由基本不等式可得答案； （2）设长为，宽为，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）设长为，宽为， 则围成四块田地的篱笆总长为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故应设计田地的长为6m，宽为4m时，可使围成四块田地的篱笆总长最小； （2）设长为，宽为，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 故应设计田地的长为5m，宽为时，可使每块田地的面积最大. 例题3．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）汕头体育中心为粤东目前规模最大、标准最高的体育场馆，其中体育场可容纳22000名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为30年．已知隔热层的建造成本是5万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元． 30年的总维修费用为30万元．记为30年的总费用． （总费用=隔热层的建造成本费用+使用30年的能源消耗费用+30年的总维修费用） (1)求30年的总费用关于的函数表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30年的总费用最小，并求出最小值． 【答案】(1) (2)隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85万元 【分析】（1）根据题意可知当无隔热层时（），每年能消耗费用万元，得出，从 而得出，再根据题给的总费用公式得出关于的函数表达式； （2）根据关于的函数表达式，利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）依题意，当无隔热层时（），每年能消耗费用万元，即，可得， 故， 所以， 即的表达式为； （2） ， 当且仅当，即当时取得最小值， 所以隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85万元． 精练核心考点 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)   (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 3．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出图形，计算出、的长，结合题意可计算出此人从海岛到达地的时间； （2）求出、的长，根据题意可得出，可得，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】（1）解：如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为. （2）解：如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $