3.3函数的应用（一）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.3函数的应用（一） 第三章 函数 人教B版（2019） 素养目录 02 理解并掌握二次函数模型； 01 理解并掌握一次函数模型； 03 理解并掌握分段函数模型. 新知导入 因为函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况，所以函数的知识在实际生活中有着广泛的应用，下面我们通过例子来说明． 探究新知 例1 为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示． (1) 写出f(x)的解析式； (2) 假设该市某户居民2015年共用水260 m3，则2015年应缴纳水费多少元？ 记户年用水量为xm3时应缴纳的水费为f(x)元． 分档 户年用水量/m3 综合用水单价/（元·m-3） 第一阶梯 0—220（含） 3.45 第二阶梯 220—300（含） 4.83 第三阶梯 300以上 5.83 探究新知 解：不难看出，f(x)是一个分段函数，而且： 当0＜x≤220时，有 f(x)＝3.45x 当220＜x≤300时，有 f(x) = 220×3.45＋(x－220)×4.83＝4.83x－303.6 当 x＞300时，有 f(x) = 220×3.45＋(300－220)×4.83＋(x－300)×5.83＝5.83x－603.6 例1 (1) 写出 f (x) 的解析式； 因此 探究新知 例1 (2)假设该市某户居民2015年共用水260 m3，则2015年应缴纳水费多少元？ 解：因为 220＜260≤300， 所以 f (260)＝4.83×260－303.6＝952.2， 因此张明一家 2015 年应缴纳水费 952.2 元． 由例 1 可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容 探究新知 例2 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978—2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿，假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记 1978 年后第 t (限定t<40)年的城镇常住人口为 f (t) 亿. 写出 f (t) 的解析式，并由此估算出我国 2017 年的城镇常住人口数. 探究新知 解：因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以 f(t) 是一次函数，设 f(t)＝kt＋b，其中k，b是常数 注意到2013年是1978年后的第 2013－1978＝35年，因此 解得 k＝0.16，b＝1.7．因此 f(t) = 0.16t＋1.7，t∈N且t＜40． 又因为2017年是1978年后的第2017－1978＝39年，而且 f(39)＝0.16×39＋1.7＝7.94， 所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为7.94亿． 探究新知 例3 某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满．已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？ 探究新知 分析：可以通过试算来理解题意，如下表所示. 提价/元 每间房单价/元 客房出租数 租金总收入/元 0 200 160 32000 20 220 150 33000 40 240 140 33600 60 260 130 33800 80 280 120 33600 100 300 110 33000 120 320 100 32000 探究新知 解：设每间房单价提高 x 个 20 元时，每天客房的租金总收入为 y 元. 因为此时每间房单价为 200+20x 元，而客房出租数将减少10x 间， 即为 160－10x 间， 所以 y = (200+20x)(160－10x) = 200(10+x)(16－x) = 200(－x2+6x+160) = 200[－(x－3)2+169] = -200(x－3)2+33 800. 从而可知，当 x = 3 时，y 的最大值为 33 800. 因此每间房单价提到 200+20×3= 260 元时，每天客房的租金总收入最高. 探究新知 例4 某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为 l，如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？ 探究新知 解：设矩形的长为x时，场地的面积为S． 因为矩形的周长要为l，所以矩形的宽为　　　　， 由 可解得　　　 ， 又因为 此时矩形的宽为 即所围矩形是长、宽都为　的正方形时，场地面积最大． 所以当　　 时，S的最大值为　 ． 探究新知 【想一想】你能用均值不等式求得 S 的最大值吗？ 解：设矩形的长为x，宽为y， 当且仅当 x＝y＝　时，S的最大值为　 ． 则 x＞0，y＞0，x＋y＝　，故有 ＝x＋y≥ 　　，即S＝xy≤　 ， 探究新知 例5 已知某产品的总成本 C 与年产量 Q 之间的关系为 C = aQ2+3000，且当年产量是 100 时，总成本是 6 000.设该产品年产量为 Q 时的平均成本为 f (Q). （1）求 f (Q) 的解析式 解：将 Q＝100，C＝6000代入C＝aQ2＋3000中，可得 1002a＋3000＝6000 从而　　 ，于是　　　　　　 ． 因此　　　　　　　　　　　　　 ． 探究新知 例5 已知某产品的总成本 C 与年产量 Q 之间的关系为 C = aQ²+3000，且当年产量是 100 时，总成本是 6 000.设该产品年产量为 Q 时的平均成本为 f (Q). （2）求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. 且　　　　　 ，即Q＝100时，上述等号成立． 因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60． 解：因为 D D D 1610 15 小结 函数的应用 一次函数模型 二次函数模型 分段函数模型 谢谢同学们的聆听 练习1 如图,动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍,不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙,已有材料可供建成围墙的总长度为36米,若设禽舍宽为x米,则当所建造的禽舍总面积最大时,x的值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：由题意,若把材料全部用完,则禽舍的总长为 , , 设所建造的禽舍总面积为 , 则 , 所以当所建造的禽舍总面积最大时,x的值6.故选:D. 练习2 某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆.现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.则总费用最少为( ) A.300元 B.400元 C.700元 D.860元 解析：设从甲仓库调到A县的车辆数为x，则从甲仓库调往B县的车辆数为 ， 从乙仓库调往A县的车辆数为 ， 从乙仓库调往B县的车辆数为 . 设总费用为y元，则 ( ， )， 要想使运费y最少，则需x最大，所以当 时，运费y最少，为860元. 练习3 在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设每人限购1件的情况下，直播在线购买人数y与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式： ，其中 ，m为常数.当该产品销售单价为25元时，在线购买人数为2015.假设该产品成本单价为20元，则下列说法错误的是( ) A.实数m的值为10000 B.销售单价越低，直播在线购买人数越多 C.当x的值为30时利润最大 D.利润最大值为10000元 解析：将 代入 ，可得 ， 解得 ，所以A正确； 因为 和 在 上单调递减， 所以 在 上单调递减，所以B正确； 由题意可得利润 ， 所以当 时，利润取得最大值10100元，所以C正确，D错误.故选D. 练习4 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过1000元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1000元，则超过1000元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算. 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元部分 超过500元的部分 若某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额 为 元. 解析：设顾客选购物品的总金额为x元，获得的折扣优惠金额为y元， 则当 时， . 当 时， ， 令 ，得 ，解得 ，不符合题意. 当 时， ， 令 ，得 ，解得 ，符合题意， 所以他实际所付金额为 (元). 练习5 某种物资实行阶梯价格制度,具体见下表： 阶梯 年用量(千克) 价格(元/千克) 第一阶梯 不超过10的部分 6 第二阶梯 超过10而不超过20的部分 8 第三阶梯 超过20的部分 10 则一户居民使用该物资的年花费y(元)关于年用量x(千克)的函数关系 式为 ；若某户居民使用该物资的年花费为100(元),则该户居民的年用量为_____________千克. 解析：由表可得,当 时, , 当 时, , 当 时, , , 若某户居民使用该物资的年花费为100(元), 可得该户居民的年用量在 内,则 ,解得 , 则该户居民的年用量为15千克. 练习6 某车间生产一种仪器的固定成本为10000元,每生产一台该仪器需要增加投入100元,已知总收入满足函数：H(x)＝ 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数(用 表示)； (2)当月产量为何值时,车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) 解：(1)设每月产量为x台,则总成本为 , 又 , (2)当 时, , 所以当 时,有最大值12 500； 当 时, 是减函数, . 所以当 时, 取最大值,最大值为12500. 所以每月生产150台仪器时,利润最大,最大利润为12500元. 练习7 已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为 ,且当年产量是100时,总成本是6000.设该产品年产量为Q时的平均成本为 . (1)求 的解析式; (2)求年产量为多少时,平均成本最小,并求最小值. 解：(1)将 , ,代入 中,可得 , 从而 ,于是 ,因此 . (2)因为 , 且 ,即 时,上述等号成立. 因此,当年产量为100时,平均成本最小,且最小值为60. $