甘肃省平凉市灵台县独店中学2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年甘肃省平凉市灵台县独店中学九年级第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，以为圆心，为半径作若点在内，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 2.对于命题“已知，，求证：”，如果用反证法，应先假设(    ) A. 不平行于 B. 不平行于 C. 不平行于 D. 3.已知半径为，点到直线的距离为，则直线与有公共点(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 无法确定 4.如图，点，，均在上，当时，的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，若内接于半径为的，且，连接、，则边的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图所示，是的直径，交的中点于，于，连接，则下列结论：；；；是的切线，正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.下列方程中，一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 8.下面与是同类二次根式的是(    ) A. B. C. D. 9.下列运算中错误的是(    ) A. B. C. D. 10.某厂一月份的总产量为吨，三月份的总产量达到为吨．若平均每月增长率是，则可以列方程(    ) A. B. C. D. 11.用配方法解下列方程时，配方有错误的是(    ) A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 二、填空题：本题共8小题，共25分。 12.若正六边形的边长为，那么正六边形的半径是______． 13.的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是______． 14.已知三边的长分别为、、，那么内切圆的半径为______． 15.一个边长为的正方形，能够将它完全覆盖的最小的圆形纸片的直径是______． 16.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆半径为，扇形的圆心角，则此圆锥侧面积是______． 17.根式有意义的条件是______． 18.化简：______． 19.当______时，代数式有最大值是______． 三、计算题：本大题共1小题，共12分。 20.按要求解下列方程 用配方法 用公式法 用因式分解法 方法不限 四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 利用尺规作图找出下图残破的圆的圆心，请保留作图痕迹． 22.本小题分 如图，内接于，是圆上任一点，求证：平分． 23.本小题分 已知：是的直径，是的切线，切点为，求证：是的切线． 24.本小题分 如图，在直角梯形中，，，，，，为的直径，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． 当为何值时，四边形为平行四边形？ 当为何值时，与相切？ 25.本小题分 先化简，再求值：，其中 ． 26.本小题分 已知方程一个根是，求它的另一个根及的值． 27.本小题分 已知关于的一元二次方程，问：是否存在实数，使方程的两个实根之差的绝对值为？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 28.本小题分 一种药品每盒原价是元，现两次降价后每盒价格为元，求平均每次降价的百分率． 29.本小题分 已知、、满足 求、、的值； 试问以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 30.本小题分 如图是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．图中阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的道路．东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的倍．这块休闲场所南北长，东西宽已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为，请问主干道的宽度为多少米？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，点在内， ，即． 故选：． 根据点与圆的位置关系的判定方法得到，然后对各选项进行判断． 本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 2.【答案】  【解析】解：由于命题：“已知：，，求证：”的反面是：“不平行”， 故用反证法证明：“已知：，，求证：”，应假设“不平行”， 故选：． 根据命题：“已知：，，求证：”的反面是：“不平行”，可得假设内容． 此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立． 3.【答案】  【解析】解：的半径为，圆心到直线的距离为， ， 即：， 直线与的位置关系是相交． 则直线与有公共点个． 故选：． 根据圆的半径和，圆心到直线的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键． 4.【答案】  【解析】解：， ， ， 由圆周角定理得，， 故选：． 根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答即可． 本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：延长交于，连接， 则，， ， ， ， ， 故选：． 延长交圆于，连接，则，；又，根据含度角的直角三角形的边角关系得 此题综合运用了圆周角定理、直角三角形角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：是直径， ， ，选项正确； 连接，如图， 为中点，为中点， 为的中位线， ， 又，， ， 为圆的切线，选项正确； 又， ， 为圆的直径， ， ，， ， ，选项正确； 由为中点，且， 垂直平分， ，又， ，选项正确； 则正确结论的个数为个． 故选：． 由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项正确；由为中点，得到为的一半，故A为的一半，选项正确；由为三角形的中位线，根据三角形的中位线定理得到与平行，由与垂直得到与垂直，即为，故DE为圆的切线，选项正确． 此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接是解这类题经常连接的辅助线． 7.【答案】  【解析】解：、是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B、可变形为，是一元一次方程； C、符合一元二次方程的定义，故选项正确； D、中，当时，不是一元二次方程，故选项错误． 故选：． 一元二次方程就是含有两个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，依据定义即可作出判断． 一元二次方程必须满足两个条件： 方程是整式方程； 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是， 以上两个条件必须同时具备． 8.【答案】  【解析】解：、与被开方数不同，不是同类二次根式； B、与被开方数不同，不是同类二次根式； C、与被开方数相同，是同类二次根式； D、与不是同类二次根式． 故选C． 先化简，再根据同类二次根式的定义解答． 本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 9.【答案】  【解析】解：、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，符合题意， 故选：． 各式计算得到结果，即可作出判断． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10.【答案】  【解析】解：设平均每月增率是， 二月份的产量为：； 三月份的产量为：； 故选：． 主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设平均每月增率是，那么根据三月份的产量可以列出方程． 找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键；本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为当增长时中间的“”号选“”，当降低时中间的“”号选“”． 11.【答案】  【解析】解：、，，，，故A选项正确． B、，，，，故B选项错误． C、，，，，，故C选项正确． D、，，，，故D选项正确． 故选：． 配方法的一般步骤： 把常数项移到等号的右边； 把二次项的系数化为； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可． 此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数． 12.【答案】  【解析】解：正边形的中心角为，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形， 边长为的正六边形外接圆半径是，即正六边形的半径是． 故答案为：． 根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解． 此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形是解题关键． 13.【答案】  【解析】解：设扇形的半径为． 由题意，， ． 故答案为：． 利用弧长公式求解即可． 本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式． 14.【答案】  【解析】解：如图，圆为内切圆，切点分别为、、，连接、、，则，，． 由切线长定理，可知，，， ， 又，， 四边形为正方形， ． 故答案为． 找到圆与、、的切点，连接、、，得到正方形，求出的长即为圆的半径． 本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理的逆定理，构造正方形是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，连接， 由题意得：能够将正方形完全覆盖的最小的圆是正方形的外接圆， 在中，，， 则， ， 为正方形的外接圆的直径， 能够将正方形完全覆盖的最小的圆的直径为， 故答案为：． 连接，根据勾股定理求出，根据正多边形与圆的关系解答即可． 本题考查的是正多边形与圆、正方形的性质、圆的性质，解题的关键是理解正方形的对角线的长是正方形的外接圆圆的直径． 16.【答案】  【解析】解：由题意，得． ， 故答案为：． 根据圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长，再根据扇形面积公式计算可得． 本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，弧长公式和扇形的面积公式． 17.【答案】  【解析】解：根据题意，得 ， 解得； 故答案是：． 二次根式有意义：被开方数大于等于． 本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数． 18.【答案】  【解析】解：根据题意可知 或，，或， 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，． 故答案是． 根据所给二次根式可知或，，或，从而可知分种情况讨论：当，，时；当，，时；当，，时；当，，时，然后分别就每一种情况来化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是注意字母的取值，分情况讨论． 19.【答案】    【解析】解： 令， 则， ， 当时，有最大值， 故答案为：；． 令，化为二次函数的顶点式，则可求得答案． 本题主要考查二次函数的应用，把代数式化为二次函数的顶点式是解题的关键． 20.【答案】解：， ，即， 则， ； 原方程整理可得：， 、、， ， 则； ， ， 则或， 解得：或； ， 或， 解得：或．  【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； 整理成一般式后，套用求根公式计算可得； 移项后，提取公因式，再求解可得； 因式分解法求解可得． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 21.【答案】解：如图所示： 点即为所求．  【解析】做圆上任意两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心． 此题主要考查了垂径定理的应用，用到的知识点为：弦的垂直平分线经过圆心；两条弦的垂直平分线的交点即为圆心． 22.【答案】证明：， ， ， ， ， ， 平分．  【解析】由圆周角定理，等腰三角形的性质，可证明． 本题考查圆角定理，等腰三角形的性质，关键是掌握圆周角定理． 23.【答案】证明：连接， 是的直径，是的切线， ，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 是的半径， 是的切线．  【解析】连接，根据切线的性质得到，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判断定理证明结论． 本题考查的是切线的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 24.【答案】解：直角梯形，， ， 当时，四边形为平行四边形； ，， 解得：， 当时，四边形为平行四边形． 设与相切于点，过点作，垂足为； 直角梯形，， ， ，， ，； 为的直径，， 、为的切线， 由三角形全等的性质可知，， ； 在中，， ， 即：， ， ， ，； 在边运动的时间为秒， ， 舍去， 当秒时，与相切．  【解析】首先用分别表示和，然后利用平行四边形的性质对边相等就可以求出； 当是圆的切线时，利用切线的性质把，，，分别用表示，然后利用勾股定理就可以求出． 此题利用了切线的性质，平行四边形的性质，关键是用运动的观点讨论问题． 25.【答案】解：原式 ， 当时， 原式．  【解析】本题考查的是分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 26.【答案】解：方程一个根是， 将代入方程得：， 解得：， 方程为，即， 解得：，， 则方程的另一根为，的值为．  【解析】由方程的一个根为，将代入方程求出的值，将的值代入将方程确定，求出方程的解即可得到方程的另一根． 此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，其中方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 27.【答案】解：假设存在，， ，． ，即， ，． 假设成立，即当为或时，方程的两个实根之差的绝对值为．  【解析】假设存在，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根、，结合两根之差的绝对值等于即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，由方程有解可得出假设成立，此题得解． 本题考查了因式分解法解一元二次方程以及解含绝对值符号的一元一次方程，利用因式分解法解一元二次方程找出方程的根、是解题的关键． 28.【答案】解：平均每次降价的百分率是， ， 或舍去． 所以平均每次降价的百分率为．  【解析】设平均每次降价的百分率是，根据一种药品每盒原价是元，现两次降价后每盒价格为元可列方程求解． 本题考查一元二次方程的应用，关键是设出未知数，根据涨价前和涨价后的结果，列方程求解． 29.【答案】解：由题意得，，，， 解得，，； ， 以、、为边能构成三角形， 周长．  【解析】本题考查了二次根式的应用，三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是判断能否构成三角形的关键． 根据非负数的性质列式计算即可求出、、的值； 利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断． 30.【答案】解：设主干道的宽度为，则其余道路宽为， 依题意得：， 整理，得，． 当时，，不合题意，舍去． 当米时，米． 答：主干道的宽度为米．  【解析】把图中的阴影部分进行平移后．可得到一个长方形，所以本题的等量关系为：长宽． 本题的关键在于应把图中的阴影部分进行平移得到一个长方形，准确地找到其长与宽的代数式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $