第二十二章二次函数 单元提优训练 2025-2026学年人教版 九年级数学上册

2025-2026学年度九年级数学（上册）单元提优训练 第二十二章 二次函数 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 3．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，则m，n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．已知实系数一元二次方程的两实根为，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 第 Ⅱ 卷 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知抛物线与直线交于、两点，且．若点，也在该抛物线上，则 ． 12．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点B，对称轴是直线，点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时点P的坐标为 ． （12题图） （13题图） 13．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为 ． 14．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 15．已知二次函数，当时有且只有一点使得，c的取值范围 ． 16．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点；点N在线段上，过点N的直线交抛物线于点M，且轴；当点N在线段上移动时（不与A、B重合），当时，a的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点．已知，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个点，且点P的横坐标为． (1) 求抛物线的函数表达式，并求出点的坐标； (2) 连接，求面积． 18．（8分）如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，△PEQ的面积为y． (1) 请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2) 在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3) 结合函数图象，直接写出△PEQ的面积小于3时x的取值范围． 19．（8分）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点B，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1) 求该抛物线的函数表达式； (2) 该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 20．（8分）已知抛物线与直线． (1) 求证：两个函数图象必有交点； (2) 当抛物线的顶点落在直线上时，求a的值； (3) ，当时，，求a的取值范围． 21．（9 分）抛物线的图象如图． (1) 若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围． (2) 在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值． (3) 若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 22．（9分）如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1) 求二次函数的解析式； (2) 点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标． (3) 在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 23．（10分）如图，抛物线与x轴交于和两点，与轴交于点． (1) 求该抛物线的函数表达式； (2) P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作于点，当线段的长最大时P点坐标为多少？ (3) 如图，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，直接写出以点A、C、、组成的四边形为平行四边形时点的坐标． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1) 求抛物线的解析式； (2) P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3) 将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点．当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D B C A B D C 二、填空题 11． 12． 13．/ 14．， 15．或 16． 17． （1）解：∵抛物线过点、， 将两点坐标代入解析式，得方程组 化简得： ②①消去，即， 将代入①：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 令，则， ∴． 抛物线对称轴，且D在x轴上， ∴． （2）解：∵P横坐标为，代入，， 过P作轴于E，则；C在y轴上，故轴，四边形为直角梯 形．的面积可表示为： ∵梯形上底，下底，高， ∴ ∵直角边， ∴， ∵直角边 ∴ ∴ ∴的面积为 18． （1）解：∵，， ∴， 可知P、Q两点同时停止运动， ∵，， ∴， 可知P、Q两点分别同时到达、， 当时，如图，，， ， ， 当时，， ， 综上所述：； （2）解：如图： 该函数的性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）解：如图， 当，时，则， 或3， 当，时，则， ， 综上所述：△的面积小于3时，的取值范围为或或． 19． （1）解：∵，，P为抛物线的顶点， ∴，∴顶点P的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：，即； （2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：∵，， ∴，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案一内部支架材料长度为：； 方案二：∵，， ∴，，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案二内部支架材料长度为：； ∵， ∴方案二的内部支架节省材料． 20． （1）证明：联立 整理，得 ∴有实根 ∴两个函数图象必有交点； （2）解：抛物线的顶点坐标的横坐标为 ∵抛物线的顶点落在直线上 把代入中，解得： ∴抛物线的顶点坐标为 将代入中，得 解得：； （3）解：当时，； 当时， ∵， ∴ 解得： 当时，易知抛物线与一次函数的交点为 此时也满足当时，； ∴． 21． （1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，x的取值范围为或； （2）解：∵， ∴点M与点N关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：当时，函数的值； （3）解：函数值与解析式中的系数c有关， 理由：∵两点， ∴这两点关于对称轴直线对称， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， 即函数值与解析式中的系数c有关． 22． （1）解：把代入，得， ， 二次函数图象与轴交于两点，点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图①，过点作轴于点，交于点， 设点的坐标是，则点的纵坐标为， 代入直线，得点的横坐标为， 点的坐标是， ， ， ， 的最大值是3，此时点的坐标为； （3）解：存在，如图，过点作一条直线与的夹角为，交二次函数的图象于点P，过点作，两线交于点，过点作轴于点，情况一：如图②，当点P在直线的右侧时， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在与中，， ， ， 易知， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入，得， 直线的解析式为． 联立，得， 解得（舍去），， 将代入，得， 点P的坐标为； 情况二：如图③， 当点P在直线的左侧时，同理可得：直线的解析式为． 联立，得， 解得（舍去），， 将代入，得， 点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 23． （1）解：∵和在抛物线上， ∴， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：在中，当时，， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 解得， ∴直线的解析式为， ∵于点， ∴， 设，，作轴，交于点，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴当线段的长最大时，的长取得最大值， ∵，， ∴当时，的长最大，此时，，， ∴当线段的长最大时，P点坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线，即， 设，， 若满足题意的平行四边形以，为对角线，则，互相平分， ∵，，，， ∴ 解得， ∴， ∴点的坐标为， 若满足题意的平行四边形以，为对角线，则，互相平分， ∵，，，， ∴ 解得， ∴， ∴点的坐标为， 若满足题意的平行四边形以，为对角线，则，互相平分， ∵，，，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为，，． 24． （1）∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴将，代入得 解得 ∴； （2）∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设 ∵， 设直线表达式为 则，解得 ∴直线表达式为 ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴△PMN是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值 ∴此时， ∴此时点M和点C重合，如图所示， 取点关于轴对称点，连接、、， ∴， 又∵点A、B是关于抛物线对称轴的对称点， ∴， ∴，当B、、、四点共线时，最小， ∵ ∴的最小值为； （3）∵，， ∴， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线， ∴点A移动到的中点， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∵ ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴当点Q在x轴上方时，如图所示，延长BQ1交抛物线于点， ∴， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为 设直线BQ1表达式为， ∵， ∴，即， ∴设直线BQ1表达式为， 联立得，，解得：，（不合题意舍去） ∴点坐标为， 当点Q在x轴下方时，如图所示，在轴负半轴上取点，连接并延长交抛物线于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴可得直线表达式为 联立得，，解得：（不合题意舍去）， ∴点坐标为， 综上所述，点Q的坐标为，， — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $