3.1.3函数的奇偶性（课时2）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.1.3函数的奇偶性（课时2） 第三章 函数 人教B版（2019） 素养目录 02 理解函数的奇偶性与单调性之间的关系. 01 掌握函数奇偶性的判断及应用； 新知导入 因为函数的奇偶性描述了函数图象具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究. 如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图象. 探究新知 【尝试与发现】 已知函数 f (x) 满足 f (5)＝-3，分别在条件“f (x) 是偶函数”与“f (x) 是奇函数”下求出 f (-5) 的值. 如果 f (x) 是偶函数，则 f (-5) ＝f (5) ＝-3； 如果 f (x) 是奇函数，则 f (-5) ＝－f (5) ＝3． 探究新知 例3 已知函数 f (x) 满足 f (5)＜f (3)，分别在下列各条件下比较 f (-5)与 f (-3)的大小： (1) f (x) 是偶函数； (2) f (x) 是奇函数. 解：(1) 因为 f (x) 是偶函数，所以 f (-x)＝f (x) ， 因此 f (-5)＝f (5) ， f (-3)＝ f (3)， 从而由条件可知 f (-5) ＜ f (-3). 探究新知 解：(2) 因为 f (x) 是奇函数，所以 f (-x)＝-f (x) ， 因此 f (-5)＝-f (5) ， f (-3)＝-f (3)， 又由条件可知 -f (5)＞-f (3)，从而 f (-5)＞f (-3). 【发现】当 f (x) 具有奇偶性时，函数的单调性会有一定规律. 例3 已知函数 f (x) 满足 f (5)＜f (3)，分别在下列各条件下比较 f (-5)与 f (-3)的大小： (1) f (x) 是偶函数； (2) f (x) 是奇函数. 探究新知 【尝试与发现】 已知函数 y＝f (x) 是偶函数， y＝g (x) 是奇函数，且它们的部分图象如图所示，补全函数图象，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律. 探究新知 如果 y＝f (x) 是偶函数，那么其在 x＞0 与 x＜0 时的单调性相反； 如果 y＝f (x) 是奇函数，那么其在 x＞0 与 x＜0 时的单调性相同. 探究新知 例4 研究函数　　　 的性质，并作出函数图象. 解：要使函数表达式意义，需有x≠0，因此函数的定义域为 D＝{x∈R |x≠0}， 从而可知函数的图象有左右两部分． 设　　　　，则对任意x∈D，都有－x∈D，而且 所以函数　　 是偶函数，函数的两部分图象关于y轴对称． 探究新知 例4 研究函数　　　 的性质，并作出函数图象. 解：下面研究函数在区间（0，+∞）上的性质及图象． 因为x1，x2∈（0，+∞）时，有 所以　　　 在（0，+∞）上是减函数， 所以函数图象在右边的部分一定在第一象限． 又因为 x∈(0，+∞) 时， 探究新知 例4 研究函数　　　 的性质，并作出函数图象. 列出部分函数值如下表所示，然后可以描点作图． x   1 2 3   4 1     再根据函数是偶函数，可以得出函数的图象如图所示， 而且函数的定义域为{x∈R|x≠0}，函数是偶函数， 在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，函数的值域是(0，+∞). 探究新知 【尝试与发现】 为了证明函数的图象关于 x＝0（即 y 轴）对称，只需证明 x 轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等，那么该怎样证明函数的图象关于 x＝-2 对称呢？ 如图所示，已知数轴上的 A，B 两点关于-2 对应的点对称，而且点 A 的坐标是 -2+h，则点 B 的坐标是_________. -2-h 探究新知 例5 求证：二次函数 f (x)＝ x²＋4x＋6 的图象关于 x＝－2 对称. 证明：任取 h∈R，因为 f (－2＋h)＝(－2＋h)2＋4(－2＋h)＋6＝h2＋2， f (－2－h)＝(－2－h)2＋4(－2－h)＋6＝h2＋2， 所以 f (－2＋h)＝f (－2－h)，这就说明函数的图象关于x＝－2对称. 由例5可知，要证明函数图象关于垂直于x轴的直线对称并不难，以上题所示的二次函数为例，注意到 f (x)＝ x²＋4x＋6 ＝ (x＋2)2＋2，由此就容易得到 f (－2＋h)＝ f (－2－h )，从而可知 f (x) 图象的对称轴为 x＝－2. 探究新知 【探索与研究】 （1）如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点？ （2）怎样才能证明函教的图象关于点（3，0）对称？一般地，怎样证明函数的图象关于点（a，b）对称？ （1）如果一个函数是奇函数，那么其值域一定关于原点对称. 更进一步，此时如果函数在 x0 处取得最大值 M， 那么该函数在－x0 处取得最小值－M． 探究新知 （2）设函数f(x)的定义域为D； 如果对于任意的 3-x∈D，都有 3+x∈D，且 f(3-x)＝-f(3+x)， 那么函数 f(x) 的图象关于点(3，0)对称； 如果对于任意的 a-x∈D，都有 a+x∈D． 且 f(a-x)+f(a+x)＝2b， 那么函数f(x)的图象关于点(a，b)对称． 【探索与研究】 （1）如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点？ （2）怎样才能证明函教的图象关于点（3，0）对称？一般地，怎样证明函数的图象关于点（a，b）对称？ D A C A C A 0 小结 函数的奇偶性 函数奇偶性的应用 函数的奇偶性与单调性的关系 谢谢同学们的聆听 练习1 已知偶函数 在 上单调递减,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 解析：由于函数 为偶函数,故 , , 且 在 上单调递减, 所以 ,即 ,故选:D. 练习2 已知偶函数 在区间 上单调递减，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 解析：由偶函数 在区间 上单调递减，故 在区间 上单调递增， 且，，由， 故.故选：A. 练习3 已知函数 是定义在区间 上的奇函数，则 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析：函数 是定义在区间 上的奇函数， 则 ，解得 ，定义域为 ， 则 ，得 . 验证： ，定义域为 ， ， 则函数为奇函数，满足题意.故 .故选C. 练习4 已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若 ，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 解析：因为函数 对任意的 ，有 ， ， 则 ，所以函数 为偶函数. 又函数 在区间 上单调递增，所以由 ， 得 ，即 ，则 ， 解得 ，故实数a的取值范围为 .故选A. 练习5 已知函数 是偶函数，当 时， 恒成立，设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为( ) A. B. C. D. 解析： 当 时， 恒成立， 当 时， ，即 ， 函数 在 上单调递减. 函数 是偶函数，即 ， 函数 的图象关于直线 对称， ， ， ， 即 ， ，故选C. 练习6 已知函数 ，则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 解析：由题意知函数 ，定义域为R，且图象关于原点对称， 满足 ，即 为奇函数. 又 在R上单调递增， 不等式 可化为 ， ，得 ，即 的解集是 ，故选A. 练习7 偶函数 满足 ，求 ________. 解析：令 ，得 ， 又 是偶函数，所以 ， 所以 ，所以 ， 故 是以4为周期的函数，所以 . 练习8 函数 为定义在R上的奇函数且在区间 上单调递减， ，则不等式 的解集为 . 解析：由题意， ， ， 则不等式 等价于 ； 由于 为定义在R上的奇函数且在区间 上单调递减， 所以 在R上单调递减， 又函数 在R上单调递减，所以 在R上单调递减， 所以原不等式等价于 ，解得 ，则解集为 .故答案为： . $