专题02 全等三角形（期中真题汇编，安徽专用）八年级数学上学期人教版2024

专题02 全等三角形（期中真题汇编，安徽专用人教版2024） 4大高频考点概览 考点01 全等三角形的性质与判定 考点02 角平分线 考点03 全等三角形判定的常考模型 考点04 构造全等三角形的常用方法 地 城 考点01 全等三角形性质与判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）若，且的周长为，则的长为（） A．3 B．8 C．9 D．11 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，且，E，F是上两点，，．若，，，则AD的长为（　　） A．9 B．8 C．11 D．10 4．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，，则长度为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在和中，，要使，可以添加的条件是 ．（写出一个即可） 6．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，M、N、K分别是，，上的点，且，．则的度数为 ．    7．（23-24八年级上·安徽铜陵·期中）和中，是边上的高，是边上的高．若，，，则与的关系是 ． 8．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点．    （1）若，则的度数为 （用含的代数式表示）； （2）当点运动 时，． 三、解答题 9．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知在和中，，，．求证：． 10．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）已知：如图，与，，，是的中线，是的中线，且．求证：． 11．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 地 城 考点02 角平分线 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）民族要复兴，乡村必振兴．某高新区围湖外有三条公路经过三个村庄，如图所示．现要新建一个加油站到三条公路的距离相等，这样的加油站的位置有（    ）处．    A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，平分，点E是的中点，于点F，若．则（    ）    A．1 B． C．2 D． 3．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C．平分 D． 4．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法：①平分；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，，则的面积为 ． 6．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，平分，为边上的点，连接．解决以下问题： （1） ； （2）若，则 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分． 8．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线） 9．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． (1)如图，连接，求证：点在的平分线上； (2)如图，延长交于点，过点作于点，于点．求证：． 地 城 考点03 全等三角形判定的常考模型 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，，．补充下列一个条件，不能使的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，、、共线，，，，垂足分别为、、，，又，，则 ． 三、解答题 3．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知．求证：． 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，，，求证：． 5．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： (1)； (2)． 6．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，，试说明：． 7．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）正方形中，已知分别为上的点，且，连接．求证：．    8．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）综合与实践 模型再现 如图1，在中，，垂足分别为，探究图中与之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，从而可得出结论，他的结论应是：____________； 直接运用 （1）请你写出上述结论，并填空： 已知，则____________；____________． 类比棎究 （2）如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为． ①猜想与，之间的数量关系，并说明理由； ②已知，求四边形的面积． 拓展应用 （3） 如图3，在等腰中，，则点坐标为：____________；若点（不与点重合）在坐标平面内，若与全等，则点的坐标为：____________． 地 城 考点04 构造全等三角形的常用方法 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 二、填空题 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积，同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得： （1） ． （2）的面积为 ． 三、解答题 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，连接． (1)求证； (2)过点A作，交的延长线于点F． ①； ②探究线段与之间的数量关系，并写出证明过程． 4．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，平分，平分，，相交于点，点是上一点，且满足．    (1)若，，则______． (2)若，，，则______． 5．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 (1)如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中一组全等三角形 (2)如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是 ． 【理解与应用】 (3)如图3，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长． (4)如图4，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 6．（21-22八年级上·安徽铜陵·期中）在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，点D在AB边上（不与点A、B重合），过C作CE⊥CD，使得CE＝CD，连接DE （1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求证AD＝2BM． （3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由． 7．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 8．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）【问题提出】 如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，经过推理可知，…； （1）由已知和作图得到的理由是______． A．边边边    B．边角边    C．角边角    D．斜边直角边 （2）的取值范围为______． 【问题应用】 （3）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【问题拓展】 （4）如图③，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为______．    试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形（期中真题汇编，安徽专用人教版2024） 4大高频考点概览 考点01 全等三角形的性质与判定 考点02 角平分线 考点03 全等三角形判定的常考模型 考点04 构造全等三角形的常用方法 地 城 考点01 全等三角形性质与判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）若，且的周长为，则的长为（） A．3 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．根据三角形的周长可得长，然后再利用全等三角形的性质可得长． 【详解】解：的周长为20，， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由题可知，， A. ，利用可以得到，不符合题意； B. ，不能证明，符合题意； C. ，利用可以得到，不符合题意； D. ，利用可以得到，不符合题意； 故选B． 3．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，且，E，F是上两点，，．若，，，则AD的长为（　　） A．9 B．8 C．11 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证明，推出． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选A． 4．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，，则长度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件证明，全等三角形的性质和线段和差即可得结论． 【详解】在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及其应用． 二、填空题 5．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在和中，，要使，可以添加的条件是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， 即：， ∵， 若，则可根据“”判定； 若，则可根据“”判定； 故答案为：（答案不唯一） 6．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，M、N、K分别是，，上的点，且，．则的度数为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的内角和定理，先根据可得，进一步得到，再根据，，可得，即可求解. 【详解】解：在和中 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 7．（23-24八年级上·安徽铜陵·期中）和中，是边上的高，是边上的高．若，，，则与的关系是 ． 【答案】相等或互补 【分析】分三种情况：当和都是锐角时；当和都是钝角时；当为钝角，为锐角时；利用全等三角形的判定与性质，邻补角之间的关系，即可得到答案． 【详解】解：当和都是锐角时，如图，   是边上的高，是边上的高， ， 在和中， ， ， ； 当和都是钝角时，如图，    同理可得， ， ，， ； 当为钝角，为锐角时，如图，    同理可得：， ， ， ； 综上所述，与的关系是相等或互补， 故答案为：相等或互补． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、邻补角的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． 8．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点．    （1）若，则的度数为 （用含的代数式表示）； （2）当点运动 时，． 【答案】 ； 5或2． 【分析】（1）先证明，由对顶角性质得到，则，过点作的垂线交直线于点，则，由三角形的内角和定理得到； （2）①当点E在射线上移动时，证明，则，得到，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，即可得到答案；②当点E在射线上移动时，作点作交直线于点，，证明，则，得到，点从点B出发，在直线上以的速度移动，即可得到答案． 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作的垂线交直线于点， ∴， ∴； 故答案为： （2）①如图，当点E在射线上移动时，    ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点在射线上移动时，作点作交直线于点，，    ∴， ∵, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动或时，； 故答案为：5或2． 三、解答题 9．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知在和中，，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可得，进而可证，即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ， 即， 又， ， ． 10．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）已知：如图，与，，，是的中线，是的中线，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明得，再利用即可证明结论． 【详解】证明：∵是的中线，是的中线， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴． 11．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求出，即可求解； （2）根据三角形内角和得， ，又由于，， 即可由求解． 【详解】（1）解：， ， 即：， ， ，， ， ． （2）解：在中：， 在中：， ，， ． 地 城 考点02 角平分线 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）民族要复兴，乡村必振兴．某高新区围湖外有三条公路经过三个村庄，如图所示．现要新建一个加油站到三条公路的距离相等，这样的加油站的位置有（    ）处．    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质定理，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，分别作三角形的内角平分线与外角平分线可得答案． 【详解】如图所示，作的内角平分线与外角平分线，交点分别为，    根据角平分线的性质定理，可知到三条直线的距离相等， 所以符合条件的位置共有4个， 故选A． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，平分，点E是的中点，于点F，若．则（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质得到，得到，，由中线得到，利用即可得到答案；熟练掌握角平分线的性质、三角形中线平分三角形面积等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键 【详解】解：过点D作于点H，    ∵平分，于点F， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 故选：A 3．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定，首先证明，再在此基础上逐个去判断即可． 【详解】， ， 即． 在和中， ，故选项A正确； ， ． ， ． ， ，故选项B正确； 如图，过点作于点于点． ， ，， ， ， 平分，故选项C正确； 平分， ，即， ，故选项D错误． 故选：D． 4．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法：①平分；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于，   平分，平分，，，， ，， ， 点在的角平分线上，故①正确； ②，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， ，故②正确； ③平分，平分， ，， ，故③正确； ④由②知，， ∴ ∴ ∵， ∴ 故④正确； ⑤由②知，， ∴， ∴， 故⑤正确； ∴正确的有①②③④⑤共5个， 故选：D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分的性质是解题的关键． 如图所示，过点作于点，根据可得平分，根据角平分线的性质可求出的值，再根据三角形的面积计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴平分， ∵，即，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，平分，为边上的点，连接．解决以下问题： （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 /度 / 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质； （1）过点于，根据角平分线的性质定理得，证明，推出，即可得到； （2）由得到，再证明，得到，由此得到． 【详解】解：（1）如图，过点作于， ∵，平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵ ∴； 故答案为：； （2）∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的判定定理即可得出结论，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点E作于点G，于点H． ∵，， ∴． ∵ ∴， ∴，即平分． 又∵，， ∴． ∵是角平分线，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分． 8．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由已知得出，再根据“”证明，即可得出结论； （2）过点作于点，于点，根据“”证明，得到，再根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，于点， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 9．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． (1)如图，连接，求证：点在的平分线上； (2)如图，延长交于点，过点作于点，于点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定． 因为，是的角平分线，过点作，，的垂线段，分别交于点、、，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； 首先过点作的垂线段，交的延长线于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证、，等量代换可证． 【详解】（1）证明：如图所示， 过点作，，的垂线段，分别交于点、、， ，是的角平分线， ，， ， 点在的角平分线上； （2）证明：如图所示， 过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 即． 地 城 考点03 全等三角形判定的常考模型 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，，．补充下列一个条件，不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握其判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法“边边边、边角边、角边角、角角边、斜边直角表”即可求解． 【详解】解：∵， ∴，且， 、若，不能判定，符合题意； 、若，可根据“角角边”判定，不符合题意； 、若，可根据“边角边”判定，不符合题意； 、若，则，可根据“角边角”判定，不符合题意； 故选：． 二、填空题 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，、、共线，，，，垂足分别为、、，，又，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 【详解】解：∵，∴, ∵，∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴cm， ∴cm． 故答案为∶． 三、解答题 3．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由题意易得，然后根据“”可判定三角形全等． 【详解】证明：， ， ， 在和中，， ． 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等角对等边，证明三角形全等，由得到，再结合和即可利用证明三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 5．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，，利用三角形内角和定理计算证明即可． （2）根据，得到即再证明即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，   ∴， 故． （2）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 6．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，平行线的性质，主要考查学生的推理能力． 先根据平行线的性质得出，然后利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ， ，， ， ， ， 即：． 7．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）正方形中，已知分别为上的点，且，连接．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】如图所示，延长到H，使得，连接，证明得到，，再证明得到，再根据线段之间的关系即可证明结论． 【详解】证明：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）综合与实践 模型再现 如图1，在中，，垂足分别为，探究图中与之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，从而可得出结论，他的结论应是：____________； 直接运用 （1）请你写出上述结论，并填空： 已知，则____________；____________． 类比棎究 （2）如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为． ①猜想与，之间的数量关系，并说明理由； ②已知，求四边形的面积． 拓展应用 （3）如图3，在等腰中，，则点坐标为：____________；若点（不与点重合）在坐标平面内，若与全等，则点的坐标为：____________． 【答案】，（1），；（2）①，见解析；②；（3），或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，坐标与图形，利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键． （1）利用一线三垂直模型证明得到，则，再利用三角形面积公式分别求出的面积即可得到答案； （2）①利用一线三垂直模型证明，得到，则；②利用三角形面积公式求出，，，，再由进行求解即可． （3）同理，根据一线三垂直模型结合等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （1）∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，，，， ∴ ． （3）解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 如图所示， 当公共边为时， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∴ 同理可得， ∴ ∴ 当为公共边时，且时， 同理可得 ∴ ∴ 当为公共边时，且时， 同理可得 ∴ ∴ 综上所述，的坐标为：或或 故答案为：，或或． 地 城 考点04 构造全等三角形的常用方法 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C. 二、填空题 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积，同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得： （1） ． （2）的面积为 ． 【答案】 64 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）在上截取，连接，根据“”证明即可； （2）由，求出的长，再由面积公式求得即可． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ， ， ， ， 在和中 ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；64． 三、解答题 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，连接． (1)求证； (2)过点A作，交的延长线于点F． ①； ②探究线段与之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②；理由见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得，运用边角边的方法即可判定； （2）①根据等腰直角三角形的性质可得，由（1）知，得到，则有，得到，由等角对等边即可求解； ②延长到G，使得，连接，如图，根据，得到，再证，得，由根据线段的数量关系，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）①证明：， ， 由（1）知， ，即， ， ， ， ， ； ②解：； 理由：延长到G，使得，连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 4．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，平分，平分，，相交于点，点是上一点，且满足．    (1)若，，则______． (2)若，，，则______． 【答案】(1) (2)1 【分析】该题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线，证明三角形全等解答； （1）根据三角形内角和算出，根据平分，平分，得出，从而得出，算出，即可求出； （2）在上截取,证明，得出，再证明，得出，根据即可求解； 【详解】（1），， ， 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）在上截取,   平分， 在和中， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 5．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 (1)如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中一组全等三角形 (2)如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是 ． 【理解与应用】 (3)如图3，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长． (4)如图4，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】(1) (2) (3) (4)证明见解析 【分析】（1）根据中线定义得到，再结合，，利用两个三角形全等的判定定理即可得到； （2）延长至点，使，连接，如图所示，根据条件判定，进而利用三角形三边关系得到，即的取值范围是； （3）延长到，使，连接，如图所示，由于，，，得到，再根据条件判定，进而结合等腰三角形的性质即可得到； （4）延长到，使，连接，如图所示，得到，根据已知条件判定，进而判定，利用两个三角形全等的性质即可得到． 【详解】（1）解：． 是的中线， ， 在和中， ， ； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： 在与中， ， ， ， 在中，根据三角形三边关系可得，即， 的取值范围是； （3）解：延长到，使，连接，如图所示： ，，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （4）证明：延长到，使，连接，如图所示： ， 是的中线， ， 在与中， ， ， ，， 又， =， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及中线的定义、两个三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关几何定义及性质，并根据题意准确恰当作出辅助线是解决问题的关键． 6．（21-22八年级上·安徽铜陵·期中）在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，点D在AB边上（不与点A、B重合），过C作CE⊥CD，使得CE＝CD，连接DE （1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求证AD＝2BM． （3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，是定值1 【分析】（1）先根据△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝90°得到CD＝CE，∠DCB+∠ECF＝90°，然后推出∠DCB＝∠CEF即可利用AAS证明△DBC≌△CFE； （2）（2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，即可得到答案； （3）在EH上截取EQ＝DG，先证明△CDG≌△CEQ得到CG＝CQ，∠DCG＝∠ECQ，然后证明△HCG≌△HCQ得到HG＝HQ，则HE＝HQ+QE＝HG+DG，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图1中，∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝90°． ∴CD＝CE，∠DCB+∠ECF＝90°， ∵EF⊥BC， ∴∠ECF+∠CEF＝90°， ∴∠DCB＝∠CEF， 在△DBC和△CEF中， ， ∴△DBC≌△CFE（AAS）； （2）如图1中，∵△DBC≌△CFE， ∴BD＝CF，BC＝EF， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝BC， ∴AB＝EF，AB-BD=BC-CF即AD＝BF， 在△ABM和△EFM中， ， ∴△ABM≌△EFM（AAS）， ∴BM＝FM， ∴BF＝2BM， ∴AD＝2BM； （3）解：结论：＝1． 在EH上截取EQ＝DG，如图， 在△CDG和△CEQ中 ， ∴△CDG≌△CEQ（SAS）， ∴CG＝CQ，∠DCG＝∠ECQ， ∵∠DCG+∠DCB＝45°， ∴∠ECQ+∠DCB＝45°， 而∠DCE＝90°， ∴∠HCQ＝45°， ∴∠HCQ＝∠HCG， 在△HCG和△HCQ中， ， ∴△HCG≌△HCQ（SAS）， ∴HG＝HQ， ∴HE＝HQ+QE＝HG+DG， ∴＝1． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 7．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及四边形内角和，等腰三角形的判定和性质，利用倍长法作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）思路1：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；思路2：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：思路1：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 思路2：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 8．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）【问题提出】 如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，经过推理可知，…； （1）由已知和作图得到的理由是______． A．边边边    B．边角边    C．角边角    D．斜边直角边 （2）的取值范围为______． 【问题应用】 （3）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【问题拓展】 （4）如图③，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为______．    【答案】（1）B；（2）；（3）见解析；（4）16 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握倍长中线法构造全等三角形． （1）根据题意利用证明出求解； （2）根据三角形三边关系得到，然后结合求出； （3）延长到点G使，连接，首先证明出，然后得到，，然后结合得到，，进而可证明出； （4）延长到点H，使，连接，首先证明出，得到，，然后结合平行线的性质和角平分线的概念得到，，进而求出和得长度，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， ∴由已知和作图得到的理由是边角边， 故选：B； （2）∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的取值范围为； 故答案为：； （3）如图所示，延长到点G使，连接，    ∵，，， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）如图所示，延长到点H，使，连接，    ∵，，， ∴， ∴，； ∵， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴的面积为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $