3.1.2函数的单调性第2课时-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.1.2函数的单调性 （课时2） 第三章 函数 人教B版（2019） 素养目录 02 理解平均变化率的几何意义； 01 掌握函数的平均变化率； 03 理解函数的单调性与平均变化率的关系. 探究新知 两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立， 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点 A(x1，y1)，B(x2 ，y2)， 当 x1≠x2 时，称 为直线 AB 的斜率； 当 x1＝x2 时，称直线 AB 的斜率不存在. 直线 AB 的斜率反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度. 若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1， 则当Δx≠0时，斜率可记为 . 探究新知 如图所示，直线 AB 的斜率即为 Rt△ACB 中 BC 与 AC 的比， 另外，图中，直线 AB 的斜率大于零，而直线 AD 的斜率小于零. 探究新知 【思考】如何判断平面直角坐标系中的三个点共线？ 当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等或都不存在时平面直角坐标系中的三个点共线. 下面我们学习用直线的斜率来研究函数的单调性. 由函数的定义可知，任何一个函数图象上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在. 探究新知 【尝试与发现】 如图所示，观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律． 函数递增的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都大于 0 函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都小于0 (1) y＝f(x) 在I上是增函数的充要条件是　　　在I上恒成立； 一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，　　　　　(即　　　　　　　 )，则： (2) y＝f(x) 在I上是减函数的充要条件是　　　在I上恒成立． 平均变化率 一般地，当x1≠x2时，称　　　　　　　　 为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率. 探究新知 利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性. 例如，对于函数 y＝-2x 来说，对任意 x1，x2∈R且 x1≠x2，有 因此 y＝-2x 在R上是减函数． 探究新知 证明：设x1≠x2，那么　　　　　　　　 ， 如果x1，x2∈（－∞，0），则 x1x2＞0，此时　　 ， 所以函数在（-∞，0）上是减函数． 同理，函数在（0，+∞）也是减函数 例3 求证：函数　　 在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数 探究新知 例4 判断一次函数 y＝kx＋b（k≠0）的单调性． 因此，一次函数的单调性取决于 k 的符号： 当 k＞0 时，一次函数在 R 上是增函数； 当 k＜0 时，一次函数在 R 上是减函数． 解：设 x1≠x2，那么 探究新知 探究新知 例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度 y 是时间 t 的函数． 当容器是如图 (1) 所示的圆柱时，在固定的 Δt 时间内，Δy 应该是常数， 因此函数的图象是如图 (2) 所示的一条线段. 探究新知 当容器是如图 (1) 所示圆台时，由容器的形状可知，在固定的 Δt 时间内，随着 t 的增加，Δy 应该越大， 因此函数的图象如图 (2) 所示． 探究新知 例5 证明函数 f(x)＝x2＋2x 在(－∞，－1］上是减函数，在［－1，＋∞)上是增函数，并求这个函数的最值． 解：设x1≠x2，则 因此：当x1，x2∈ (－∞，－1］时，有x1＋x2＜－2，从而　　　， 因此 f(x) 在 (－∞，－1］上是减函数； 探究新知 由函数的单调性可知，函数没有最大值； 而且，当x∈(－∞，－1］时，有 f(x)≥ f(-1) ，当 x∈［－1，＋∞)时， 不等式也成立，因此f(-1)＝－1是函数的最小值 当x1，x2∈［－1，＋∞)时，有 x1＋x2＞－2，从而　　　， 因此 f(x) 在［－1，＋∞)上是增函数； 探究新知 用类似的方法证明，二次函数的单调性为： （1）当a＞0时，f（x）在　　　　 上单调递减，在　　　　 上单调递增，函数没有最大值，但有最小值　　　　　　　　 ； 这一结论也可以从二次函数的图象是关于　　　 对称的抛物线与开口方向看出来． （2）当a＜0时，f（x）在　　　　 上单调递增，在　　　　 上单调递减，函数没有最小值，但有最大值　　　　　　　　 ． B C C B B D 小结 函数的平均变化率 平均变化率 函数的单调性与平均变化率的关系 谢谢同学们的聆听 例4说明，一次函数 的图象上任意两点确定的直线斜率均为k，这说明了一次函数的图象一定是直线. 不仅如此，此时从 还可以看出， ，这就意味着在一次函数中， 与 成正比，且比例系数为k. 特别地，当自变量每增大一个单位时，因变量增大k个单位，而且可以证明， 只有一次函数才具有这个性质， 事实上，如果 ，设 时函数值为 ，则 ， 即 ，因此一定是一次函数.因此，一次函数也经常被称为线性函数. 练习1 若函数 ，当 时，函数 的平均变化率为3，则 ( ) A. B.2 C.3 D.1 解析：由题意得 ，所以 .故选B. 练习2 已知函数 的图象上一点 及邻近一点 ， 则 ( ) A.4 B. C. D. 解析： ， ，故选C. 练习3 若函数 在区间 上的平均变化率为5，则 ( ) A. B.2 C.3 D.1 解析：因为函数 在区间 上的平均变化率为5， 所以 ，解得 或 .又 ， 所以 .故选C. 练习4 若函数 从 至 的平均变化率的取值范围是 ，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 解析：由题意得 ， 从 至 的平均变化率为 . ， ，故选B. 练习5 已知 是定义在R上的减函数，对任意 ， 恒成立.若 ，则 的解集为( ) A. B. C. D. 解析：因为对任意 ， 恒成立， 所以 ， ， 则由 ，得 . 又 是定义在R上的减函数，所以 ，解得 . 因此，不等式 的解集为 .故选B. 练习6 若函数 在 上的最小值为 ， ( ) A.2或 B.1或 C.2 D.1 解析：函数 的图象开口向上，且对称轴方程为 . ①当 时，函数 在 上单调递增，则 ， 由 ，得 ，不符合 ； ②当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 由 ，得 或 ，又 ， 符合； ③当 时，函数 在 上单调递减， ，由 ，得 ， 又 ， 不符合.综上可得 ，故选D. 练习7 用平均变化率证明：函数 在 上是减函数，并求在区间 上满足 时，a的取值范围. 证明：设 ，则 . 由于 ，则 ， 因此函数 在区间 上是减函数. 由函数的单调性可知函数在区间 上是减函数， 要使函数在区间 上满足 ， 则只要 在区间 上的最大值 即可， 则 ，所以 ，即a的取值范围为 . $