第13章 勾股定理 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

小结与复习 第13章 勾股定理 八年级上册数学（华师版） 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 　 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c ，那么一定有　 　. 平方 a2＋b2＝c2 勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2， 要点梳理 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a、b (且 a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝_________；当 a 是斜边时，第三边 c＝_________. 注意事项 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边． 据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法： 2．勾股定理的验证 ∵四个直角三角形与中间的小正方形 拼成了一个大正方形， ∴4×ab＋(b－a)2＝c2， ∴a2＋b2＝c2. 3．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2＋b2＝ ，那么这个三角形是直角三角形． 利用此定理判定直角三角形的一般步骤： (1) 确定最大边； (2) 算出最大边的平方与另两边的　 　 ； (3) 比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是　 　三角形． 平方和 直角 c2 4．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个　 　数，称为勾股数，即满足 a2＋b2＝c2 的三个　 　数 a、b、c，称为勾股数． [注意] 勾股数都是正整数． 正整 正整 5．勾股定理的应用 应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1) 已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题； (2) 说明线段的平方关系问题； (3) 在　 上作表示 等数的点的问题； (4) 解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理． 直角 数轴 例1 在△ABC 中，已知 BD 是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，且 a＝3，b＝4，求 BD 的长． 解：∵∠B＝90°，∴b 是斜边，则在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 又∵S△ABC＝ b•BD＝ ac， 考点一 勾股定理 考点讲练 例2 已知在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC 是否为直角三角形． 解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，从而 a2＋b2＝c2， 故可以判定△ABC 是直角三角形． 考点二 勾股定理的逆定理与勾股数 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤： ①先判断哪条边最大； ②分别用代数方法计算出 a2＋b2 和 c2 的值( c 边最大)；③判断 a2＋b2 和 c2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形． 方法总结 1.下列各组数中，是勾股数的为 （ ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，9 2.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形网格的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________． (2)(4) C 针对训练 考点三 勾股定理的应用 例3 如图，正方体的梭长为 3 cm，已知点 B 与点 C 间的距离为 1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点 A 爬到点 C，需要爬行的最短距离为 . 解析：如图①，AC² = (3 + 1)² + 3² = 5²(cm). 如图②，AC² = (3 + 3)² + 1² = 37² (cm). ∵ 5²＜37²，∴需要爬行的最短距离为 5 cm. A B C 图① A B C 图② 5 cm 常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平”，把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“平面上的两点之间，线段最短”求解． 要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，对于有多种情况的需要注意分类讨论． 勾股定理解决立体图形的最短路径类问题： 方法总结 3. 一只蚂蚁从 A 点沿圆柱侧面爬到顶面相对的 B点处，如果圆柱高为 7 cm，底面半径为 cm， 那么蚂蚁爬过的最短路径 AB 的长为 . 25 cm 解析：如下图展示，连接 AB， 因为圆柱的底面半径为 cm， ， 在Rt△ACB 中，AB² = AC² + CB² = 576 + 49 = 625，AB = 25cm，即蚂蚁爬行的最短路径长为 25 cm. A B C 针对训练 A．4 米 B．6 米 C．8 米 D．10 米 C 例4 如图，一架云梯 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，如果梯子的顶端下滑 4 米，那么梯子的底部在水平方向上滑动 （　 ） 【解析】由题意知 AB = DE = 25，BC = 7，AD = 4， ∴在 Rt△ABC 中， 已知 AD = 4，则 CD = 24 - 4 = 20(米). ∴在 Rt△CDE 中， ∴BE = 15 - 7 = 8(米)．故选 C． 在 Rt△AOB 中，OA＝2，OB＝DC＝1.4， ∴ AB2＝22－1.42＝2.04，解得 AB ≈ 1.43. ∴ AC＝AB + BC ≈ 1.43 + 2.6＝4.03＞4． 答：卡车可以通过，但要小心． 解：过半圆的圆心 O，作直径的垂线交地面于点 D，在地面取点 C，使 CD＝1.4 米，过 C 作 OD 的平行线交半圆直径于点 B ，交半圆于点 A，连接 OA. 4. 如图，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？ 针对训练 1.方程思想 例5 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕是 DE，求 CD 的长． 考点四 本章数学思想和解题方法 解：由折叠知：DA＝DB，△ACD 为直角三角形． 在 Rt△ACD 中，AC2＋CD2＝AD2①， 设 CD＝x cm，则 AD＝BD＝(8－x) cm， 代入①式，得 62＋x2＝(8－x)2， 化简，得 36＋x2＝64－16x＋x2， 所以 x＝ ＝1.75， 即 CD 的长为 1.75 cm. 18 18 例6 如图，每个小方格都是边长为 1 的正方形， （1）求四边形 ABCD 的面积； （2）求∠ABC 的度数． 2.数形结合思想 解：（1）∵每个小方格都是边长为 1 的正方形， ∴S□EFGH = 5×5 = 25. ∴S四边形ABCD= S□EFGH - S△ADE - S△AFB - S△BCG - S△CDH = 25 - ×2×3 - ×2×4 - ×1×2 - ×3×3 = 25 - 3 - 4 - 1 - =12.5. （2）在 Rt△ABF 中，AB2 = AF2 + BF2 = 22 + 42 = 20. 在 Rt△BGC 中，BC2 = BG2 + CG2 = 12 + 22 = 5. ∴AB2 + BC2 = 20 + 5 = 25. 又∵AC2 = 52， ∴AB2 + BC2 = AC2. ∴△ABC 是直角三角形. ∴∠ABC = 90°． 3. 转化思想 例7 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 4，分别以 AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1、S2，则 S1+S2 等于 ． 2π 【解析】∵S1 = = πAC2， S2 = = πBC2 ∴S1+S2 = π(AC2 + BC2) = πAB2 = 2π． 22 22 5.如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 12，BC = 5，点 E 在 AB 上，将△DAE沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 A′ 处，则 AE 的长为 . 6.如图，已知在 Rt△ABC 中，∠BCA = 90°，AB = 10，分别以 AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1，S2，则 S1 + S2= ． 12.5π 针对训练 7.如图，网格中每个小正方形的边长都是 1，且 A，B， C，D 都在格点上．（要求：写出必要的过程） （1）求四边形 ABCD 的面积； （2）求∠ABC 的度数． 解：（1）S四边形ABCD＝6×6 - ×2×6 - ×2×4 - ×1×2− ×2×5 - 1×2＝18； （2）∵AB2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AC2＝32+42＝25，AB2 + BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°． 勾股定理及逆定理 勾股定理的应用 勾股定理 利用勾股定理和逆定理 解决实际问题 勾股数 确定几何体上的最短距离 a2＋b2＝c2 勾股定理的验证 课堂小结 $