13.1.3 反证法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

第3课时 反证法 13.1 勾股定理 第13章 勾股定理 八年级上册数学（华师版） 学习目标 1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题. (重点) 2. 理解并体会反证法的思想内涵. (难点) 3. 通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念. 如图，在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b (a≤b≤c) 有关系 a2 + b2 = c2 时，这个三角形一定是直角三角形吗？ 解析：由 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理可知∠C = 90°，这个三角形一定是直角三角形. c a b A C B 情境导入 思考 若将上面的条件改为“在△ABC 中，AB = c， BC = a，AC = b (a≤b≤c)，a2 + b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由. 探究： (1) 假设它是直角三角形； (2) 根据勾股定理，一定有 a2 + b2 = c2 ，与已知条件 a2 + b2≠c2 矛盾； (3) 因此假设不成立，即它不是直角三角形. c a b A C B 反证法 探究新知 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1) 先假设结论的反面是正确的； (2) 然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾； (3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 像这样的证明方法叫“反证法”. 知识要点 例1 写出下列各结论的反面： (1) a∥b； (2) a≥0； (3) b 是正数； (4) a⊥b. a＜0 b 是 0 或负数 a 不垂直于 b a 不平行于 b 典例精析 例2 在△ABC 中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C. A B C 证明：假设　　　　　， 则　　　　　(　　　　　 ). 这与　　　　　　　　　矛盾． 假设不成立． ∴　　　　　　　　． ∠B＝∠C AB＝AC 等角对等边 已知 AB≠AC ∠B≠∠C 小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C = 90°，那么 a2 + b2 = c2”是一个真命题. 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢? 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C≠90°，那么a2 + b2≠c2 ”是真命题吗? 想一想 1. 反设： 证明： 3. 得出结论： 2. 推出矛盾： 假设在△ABC 中，∠C≠90° 时， a2 + b2 = c2 成立. 根据勾股定理的逆定理，当 a² + b² = c² 时，△ABC 是直角三角形且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾. 所以假设不成立，即原命题“在△ABC 中，如果 AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么 a² + b²≠c² ”是真命题. 例3 求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：如图，两条相交直线 a，b. 求证：a 与 b 只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线 a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. a b A ● 典例精析 证明：假设 a 与 b 不止一个交点， 不妨假设有两个交点 A 和 A'， 因为两点确定一条直线，即经过 点 A 和 A' 的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立. 所以两条直线相交只有一个交点. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾. a b A ● A' ● 例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　 　　　　　　　　　　　， 于是　 　　　　　　　　　　　　　　， 这与　 　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． 所以　 　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC 中没有一个内角小于或等于 60° ∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° 三角形的内角和为180° △ABC 中至少有一个内角小于或等于 60° 点拨：至少的反面是没有！ ∠A +∠B +∠C＞60° + 60° + 60° = 180° 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.   原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有 n 个 小于 至多有 n 个 对所有 x成立 对任何 x 不成立 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少有两个 至多有（n - 1)个 至少有（n + 1)个 存在某个 x 不成立 存在某个 x 成立 不等于 某个 1.试说出下列语句的反面： （1）a 是实数； 　　 （2）b 大于 2； （3）对任意的x都成立； 　　 （4）至少有两个； （5）最多有三个； 　 a 不是实数 b小于或等于 2 存在某个x不成立 最多有一个 至少有四个 当堂练习 2.用反证法证明“若a2 ≠ b2，则 a ≠ b”的第一步是　 . 3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　　　 　　 　 .　 假设 a = b 假设这个三角形是等腰三角形 4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ） A. 有两个内角是直角 B. 有三个内角是直角 C. 至少有两个内角是直角 D. 没有一个内角是直角 C 5.否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ） A. a，b，c 都是奇数 B. a，b，c 都是偶数 C. a，b，c 中至少有两个偶数 D. a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数 D 反证法 概念 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理，得出矛盾→肯定待定命题的结论. 证明步骤 当堂小结 $