12.3.2 等腰三角形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

12.3 等腰三角形 2.等腰三角形的判定 第12章 全等三角形 八年级上册数学（华师版） 学习目标 1. 能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理.(重点) 2. 能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点) 在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ A B C A 情境导入 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系? 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？ AB = AC 你能验证你的结论吗？ 等腰三角形的判定 1 探究新知 在△BAD 与△CAD 中， ∠1 =∠2， ∴△BAD≌△CAD(AAS). ∵∠B =∠C， AD = AD， ∴AB = AC (全等三角形的对应边相等). 如图，作∠BAC 的平分线 AD. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC 是等腰三角形. ∴ AC = AB ( )， 即△ABC 为等腰三角形. ∵∠B =∠C ( )， 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所对应的边也相等（简写成“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 等角对等边 等边对等角 知识要点 例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC. A B C 证明 ∵∠A + ∠B + ∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∠A = 40°，∠B = 70°， ∴∠C = 180° -∠A -∠B， = 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠C =∠B. ∴ AB = AC(等角对等边). 典例精析 40° 70° 证明：∵ AB∥CD (已知)， ∴∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 =∠2， ∴∠B =∠1 (等量代换). ∴AB = AC (等角对等边). 例2 如图，AB∥CD，∠1 =∠2，求证：AB = AC. A B C （ （ 1 2 D 分析 要证 AB = AC，可以设法证明∠B =∠1，而∠1 =∠2，因此只要证明∠B =∠2. 一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定理吗？ 等边三角形的判定 2 A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证： AB = AC = BC. 证明：∵ ∠A =∠B， ∴ AC = BC. ∵ ∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC. 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. www.czsx.com.cn 判定2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC. 由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°. 若顶角 ∠A = 60°， 则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°. 又 AB = AC， ∴∠B =∠C. ∴∠B =∠C =∠A = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 如果是底角∠B = 60° (或∠C = 60°) 呢？ 例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED . ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 典例精析 变式 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD = AE，△ADE 还是等边三角形吗？试说明理由. A C B D E 证明： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°. ∵ ∠A + ∠ADE +∠AED = 180°，AD = AE， ∴ ∠ADE +∠AED = 120°. ∴ ∠ADE = ∠AED = 60°. ∴ △ADE 是等边三角形. 例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC． 求证：AB = AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C. ∴ AB = AC (等角对等边)． A B C E （ （ 1 2 D 例5 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∠ACB =∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'， 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明：由于直角边 AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧. A C B B' A' C' B (A) (C) ∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)， ∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°. 即点 B、C'、B' 在同一条直线上. 在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)， ∴ ∠B =∠B' (等边对等角). 在△ABC 和△A'B'C' 中， ∵∠B =∠B' (已证)， ∠ACB =∠ A'C'B' (已知)， AC = A'C' (已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS). B' A' A C B C' B (A) (C) 这样我们就证明了前面给出的 HL .判定定理 1. 在△ABC 中，已知∠A = 50°，∠B = 65°，判断△ABC 是什么三角形，为什么? △ABC是等腰三角形，因为∠B = 65°，∠A = 50°，所以∠C = 65°，∠B =∠C = 65°，所以△ABC 是等腰三角形. 2. 如图，已知∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，则∠ABD = _____°，∠BDC = _____°， 图中的等腰三角形 有_______________________. 36 72 △ABC、 △DBA、 △BCD A B C D 当堂练习 3. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，则△ABC 的周长为______cm. 9 4.如图，等边三角形 ABC 的三条角平分线交于点 O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ） A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 D A C B D E O 5.如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD = BE，求∠EDA 的度数. 解：∵ △ABC 是等边三角形， ∴∠CBA = 60°. ∵BD 是 AC 边上的中线， ∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°. ∵ BD = BE， ∴ ∠BDE = (180° -∠DBA)÷2 =(180° - 30°)÷2 = 75°. ∴ ∠EDA = 90° -∠BDE = 90° - 75° = 15°. B C D A E 解：∵△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形， ∴AO = BO = CO = DO，∠AOB =∠COD = 60°. ∵ A，O，D 三点共线， ∴ ∠DOB =∠COA = 120°. ∴ △COA≌△DOB (SAS ). ∴ ∠DBO =∠CAO. 设 OB 与 EA 相交于点 F， ∵ ∠EFB =∠AFO，∴ ∠AEB =∠AOB = 60°. 6.如图，A，O，D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，求∠AEB 的大小. C B O D A E F 等腰三角形 等腰三角形的判定：等角对等边. 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 当堂小结 $