12.2.5 斜边直角边（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的“斜边直角边”（HL）判定定理，通过舞台背景工作人员判断三角形全等的现实情境导入，复习SAS、ASA等旧知引出新问题，结合“画一画”动手操作验证，构建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过动手作图与探究发展推理能力和几何直观，典例变式强调HL应用规范与书写，落实数学语言表达。资料含情境、操作、例题及分层练习，助力学生理解HL合理性并提升应用能力，也为教师提供清晰教学路径。

12.2 三角形全等的判断 5.斜边直角边 第12章 全等三角形 八年级上册数学（华师版） 学习目标 1.已知斜边、直角边会画直角三角形，经历画直角三角形探究得到“HL”定理，体会“HL”的合理性.（重点） 2.掌握“HL”定理，能正确应用“HL”定理证明两个三角形全等.（难点） 3.能正确应用所学的全等三角形的判定定理解决问题．（难点） 1. 全等三角形的对应边 　 ，对应角 　 ． 相等 相等 2. 判定三角形全等的方法有： SAS ，ASA ， AAS ，SSS . 再忆直角三角形 Rt△ABC 直角边 斜边 A B C 直角边 复习回顾 3 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住，无法测量． (1) 你能帮他想个办法吗？ 根据“SAS”可测量其余两边与这两边的夹角. 根据“ASA”，“AAS”可测量对应一边和一锐角. 利用“HL”判定直角三角形全等 1 探究新知 4 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定 “两个直角三角形是全等的”. 你相信这个结论吗？ (2) 如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?　 下面，让我们来验证这个结论. 斜边和一条直角边对应相等 → 两个直角三角形全等 如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边. 2 cm 3 cm 步骤： 1. 画一条线段 AB，使它等于 2 cm； 2. 画∠MAB = 90°(用量角器或三角尺)； 3. 以点 B 为圆心、3 cm 长为半径画圆弧，交射线 AM 于 C； △ABC 即为所求. 4. 连结 BC. M A B C 把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？ 画一画 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL ”). 几何语言： A B C A′ B′ C′ 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL ). ∵AB = A′B′， BC = B′C′， “SSA ”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 知识要点 例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD， 求证：BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. ∵AB = BA， AC = BD . 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 应用“HL ”的前提条件是在直角三角形中 这是应用“HL”判定方法的书写格式 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路 典例精析 练一练 变式1 如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C AD ＝ BC ∠DAB ＝∠CBA BD ＝ AC ∠DBA ＝∠CAB HL HL AAS AAS 如图，AC、BD 交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC. 求证：BD = AC. 变式2 HL BD ＝ AC Rt△ABD ≌ Rt△BAC 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. 变式3 HL ∠ADB ＝ ∠CBD Rt△ABD ≌ Rt△CDB AD∥BC 证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高， ∴∠D＝∠F＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC＝AE， AD＝AF， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， 例2 如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE. AB＝AB， AD＝AF， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. 1. 如图，∠B =∠D = 90°，要证明△ABC 与△ADC 全等， 还需要补充的条件是 （写出一个即可）. C A B D 答案： AB = AD 或 BC = DC 或 ∠BAC =∠DAC 或 ∠ACB =∠ACD 一定要注意直角三角形不是只能用 HL 证明全等，但 HL 只能用于证明直角三角形的全等. 注意 当堂练习 2.如图，在△ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，BD = CE.求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC =∠CDB = 90°. 在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中， ∵CE = BD，BC = CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL ). 证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BFA =∠DEC = 90°. ∵ AE = CF，∴ AE + EF = CF + EF， 即 AF = CE. 在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， A F C E D B 3. 如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BF = DE. AB = CD， AF = CE， ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL ). ∴ BF = DE. “斜边直角边” 内容 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等） 当堂小结 $