12.1.2 定理与证明（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

该初中数学课件聚焦“定义、定理与证明”核心内容，通过刘徽正负数定义的历史素材导入，衔接已学命题、平行线等知识，结合真命题假命题实例辨析，搭建从具体到抽象的学习支架，助力学生理解概念及关系。 其亮点是历史情境与逻辑推理融合，以刘徽定义激发数学眼光的抽象能力与创新意识。通过质数乘积加1等实例探讨结论真假，培养数学思维的推理意识，典例精析规范证明步骤，强化数学语言的符号表达与模型意识。帮助学生理清概念逻辑，教师可依托清晰脉络提升教学效率。

2. 定义、定理与证明 12.1 命题、定义、定理与证明 第12章 全等三角形 八年级上册数学（华师版） 学习目标 1.理解基本事实、定理等概念.（重点） 2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明.（难点） 在中国古代数学的发展历程中，刘徽有着举足轻重的地位. 在《九章算术》的注释中，他对正负数给出了清晰的定义和解释. 刘徽是这样定义正负数的：“今两算得失相反，要令正负以名之.” 意思是当两种数量具有相反的意义时，就分别用正数和负数来命名它们.他还规定了用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数（或者用正放的算筹表示正数，斜放的算筹表示负数）. 在方程术的应用中，正负数的定义更是发挥了关键作用. 刘徽与 “正负数” 定义 情境导入 我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义. 例如：我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这些名词的定义. 讨论：你能举出其他类似的例子吗? 定义、定理与证明 1 探究新知 讨论：判断下列命题哪些是真命题? 哪些是假命题? (1) 内错角相等,两直线平行； (2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角； (3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b； (4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两点确定一条直线. 真命题 假命题 假命题 真命题 真命题 (4)(5)是公认的真命题. (4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两点确定一条直线. 基本事实：我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点. 思考：你能举例说出几个学过的基本事实吗? 2. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 1. 两点之间线段最短. 3. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行). (1) 内错角相等,两直线平行 定理： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 真命题 “内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等，两直线平行”这个基本事实的基础上推理而出的，它又可以作为判定平行线的依据. （1）一位同学在钻研数学题时发现： 2 + 1 = 3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211， 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？ 试一试：计算一下 2×3×5×7×11 + 1 与2×3×5×7×11×13 + 1，你发现了什么？ 结果都是质数. 思考 (2) 如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 他的结论正确吗？ 不正确. 如钝角三角形. （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论. 上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 探讨归纳 命题 真命题 假命题 基本事实 一般举一个反例即可 定理 基本事实是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真. 定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题. 定义，命题，基本事实，定理之间的区别与联系： 定义是命题、基本事实和定理的基础，明确了它们的讨论范围. 定义 归纳总结 证实其他命题的正确性 推理 推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 定义、基本事实 一些条件 ＋ 归纳总结 例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 求证：∠A +∠B = 90°. 证明：∵∠A + ∠B + ∠C = 180°， (三角形的内角和等于 180°)， 又∵∠C = 90° (已知)， ∴∠A +∠B = 180° -∠C = 90°(等式的性质). A B C 典例精析 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理. 方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据. 例2　两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. b a ( 2 ) 1 ) 3 你能根据图写出此定理的已知和求证吗？ 证明：我们将∠1的同位角记为∠3. ∵ a∥b (已知)， ∴∠1 =∠3 (两直线平行，同位角相等).　 已知：如图，直线 a∥b，∠1 与∠2 是同旁内角. 求证：∠1 + ∠2 = 180°. ∴ ∠1 + ∠2=180°(等量代换). 又∵∠3+∠2=180°(邻补角的定义)， 典例精析 注意： 如果要证明一个文字语言叙述的证明题，而没有给出图形、已知、求证，我们要证明这个命题，就必须： 1. 首先根据命题的要求准确的画出图形，标出字母. 2. 再根据要求按照图中所标的字母用数学语言写出已知和求证. 3. 如果命题已给出已知和求证，那么就按照所学有关的基本事实、定理、性质等直接进行证明. 1. 已知：如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O， ∠AOC 与∠BOD 是对顶角. 求证：∠AOC =∠BOD. 证明： 已知 ∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°， 补角的定义 ∴ ∠AOC =∠BOD ( ). 同角的补角相等 ∵直线 AB 与直线 CD 相交于点 O ( )， ∠BOD＋∠AOD＝180° ( ). 当堂练习 2. 用演绎推理证明下面的定理： (1) 内错角相等，两直线平行； 证明：∵∠1 =∠2 (已知)，　 ∠1 =∠3 (对顶角相等)， ∴∠2 =∠3 (等量代换).　 ∴ l1∥l2 (同位角相等，两直线平行).　 已知：如图，直线 l3 分别与 l1，l2 交于点 A，点 B，且∠1 =∠2. 求证：l1∥l2. A B l1 l2 l3 ( 1 ) 2 )3 2. 用演绎推理证明下面的定理： (2) 三角形的外角和等于 360°. 证明： 如图，∵∠1 +∠ACB＝180°， ∠2 +∠BAC＝180°，∠3 +∠ABC＝180°， ∠ACB +∠BAC +∠ABC＝180°， ∴∠1 +∠2 + ∠3＝360°. A B C ) 1 2 ) ) 3 已知：∠1，∠2，∠3 是△ABC 的外角. 求证：∠1 +∠2 + ∠3＝360°. 定义、定理与证明 基本事实 定理的概念 证明 步骤：(1) 根据题意作出图形； (2) 写出已知和求证； (3) 写出证明的过程 概念 定义 当堂小结 $