12.1 命题、定义、定理与证明 课件2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦命题、定义、定理与证明，通过判断句子正确性导入命题概念，探究非命题语句巩固认知，再分析命题结构区分条件结论，改写“如果…那么…”形式，判断真假后过渡到定义、定理与证明，构建连贯学习支架。 其亮点是以实例驱动，通过“判断-探究-归纳”培养数学眼光（抽象命题本质）和推理意识（证明定理），改写命题形式发展数学语言表达。随堂小练与典型例题结合，助力学生巩固逻辑思维，教师使用可系统教学，提升教学效率与学生应用能力。

12.1 命题、定义、定理与证明 12.1.1 命题 1.了解命题的概念. 2.会区分一个命题的条件和结论，能把一个命题改写成“如果……，那么……”的形式 3.了解判断一个命题真假的方法，会用反例说明假命题. 学习目标 试判断下列句子是否正确？ (1)三角形的内角和等于180°; (2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等; (3) 两直线平行，同旁内角相等; (4) 直角都相等; (1)(2)(4)是正确的，(3)是错误的. 这几个句子的共同特点是：可以判断一件事情的正确或错误 它们有什么共同点？ 新知导入 概念：判断某一件事情的语句，即表示判断的语句叫做命题. 下列语句中，是判断一件事情的吗？ 1.时间都去哪儿了？ 2.美不胜收的风景（啊） 3.拍书包两下 4.把门关上 5.连接点A和点B 探究 这些都不是判断一件事情的语句！ 所以都不是命题. 新知探究 我们如何识别某个语句是否是命题？ 某个语句被读者看了（或者听了）以后，读者能够得出且只能够得出“这，是正确的.”或者“这，是错误的.”结论，这样的语句就是“判断某一件事情的语句”，也就是命题.否则就不是“判断一件事情的语句”. 思考 试一试 1.你能举出一些命题吗? 2.能否举出一些不是命题的语句？ 命题一定不是： 1.疑问句 2.感叹句 3.祈使句 4.把字句 5.表示某个动作的语句等 归纳 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？ (1)如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等； (2)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； (3)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 交流讨论 如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形. 条件 结论 已知事项 由已知事项推断出来的事项 命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中用“如果”领起的部分就是条件，用“那么”领起的部分就是结论. 归纳 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式 (1)同位角相等，两直线平行； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (1)条件是：同位角相等 结论是：两直线平行 改写成：如果同位角相等，那么两直线平行. 典型例题 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式 (1)同位角相等，两直线平行； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (2)条件是：一个三角形的三个角相等 结论是：这个三角形是等边三角形 改写成：如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形. 典型例题 1.命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后接的部分是条件，“那么”后接的部分是结论. 2.有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适当变形，改写成“如果……，那么……”的形式. 归纳 1.命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行” 的条件是(　　) A．平行 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线平行于同一条直线 D 巩固练习 2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论： （1）全等三角形的对应边相等； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 解：（1）改写成：如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； 条件：两个三角形全等；结论：这两个三角形的对应边相等； （2）改写成：如果在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条 直线，那么这两条直线互相平行； 条件：在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线； 结论：这两条直线互相平行. 巩固练习 (1)三角形的内角和等于180°; (2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等; (3) 两直线平行，同旁内角相等; (4) 直角都相等. 如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，称为真命题 当条件成立时，不能保证结论总是正确，或者说结论不成立，像这样的命题，称为假命题. 正确 正确 错误 正确 概念 你是如何识别一个命题是真命题还是假命题的？ 要识别一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证； 要识别一个命题是假命题，只需要举一个反例就可以了； 例如：要说明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例：一个30°的锐角与一个120°的钝角之和为150°，不是平角. 思考 这种方法叫“举反例” 3.指出下列命题中的真命题和假命题： （1）同位角相等，两直线平行； （2）多边形的内角和等于180°； （3）三角形的外角和等于360°； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行. （真命题） （假命题） （真命题） （真命题） 巩固练习 分类与判断 概念 命题 对某一件事作出判断的语句叫做命题. 真命题和假命题. 结构 由条件和结论两部分组成，常写成“如果……，那么……”的形式. 课堂小结 1.下列语句是命题的有（ ） ①锐角小于90°； ②经过两点，能画且只能画一条直线； ③大象是白颜色的动物； ④作AD⊥BC； ⑤同旁内角互补，两直线平行． A．①②③ 　 B．①②⑤ C．①②③⑤ 　 D．①②④ C 随堂小练 2.下列命题是真命题的是( ) A. 如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角 B. 如果a2=b2, 那么a=b C. 两个互补的角一定是邻补角 D. 如果两个角是同位角,那么这两个角一定相等 A 随堂小练 3.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是(　　 ) A.∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β>∠α B.∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α C.∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β<∠α D.两个角互为邻补角 C 随堂小练 4.下列命题中，假命题有（ ） ①若a²=b²=4,则a=b=2; ②若a>b,则a²>b² ③若a>b,b>c,则a>c ④ 若 则a²=b ² A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 随堂小练 5.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)对顶角相等； (2)平行于同一条直线的两条直线平行； 解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. (2)如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行. 随堂小练 12.1.2 定义、定理与证明 1.理解定义、基本事实、定理等概念. 2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明. 学习目标 我们学过线段、角等名词，观察以下语句,它们在描述的功能有什么共同特点？ 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点. 由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角. 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 这些语句都是用来说明各自对应的名词所包含的确切意义 新知导入 我们在学习一些新的数学名词时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的语句叫做这些名词的定义. 定义就像标签，把事物与事物区别开. 一个数学名词的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断. 你能再举出一些学过的定义的例子吗？ 新知讲解 （1）两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. （2）两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. （3）两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线. （4）从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段. （5）含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的这些命题是真命题吗？ 1.两点确定一条直线; 2.两点之间，线段最短; 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 5.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 以上命题都是正确的，即都是公认的真命题. 命题有真有假,有的命题不是一目了然就能辨出真假，这就需要我们用推理的方法来加以证明 新知讲解 基本事实：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也称它为公理. 1.是真命题； 2.是实践中总结的； 3.作用是证明的依据. 例如下列的真命题作为基本事实： 1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 2.全等三角形的对应边、对应角分别相等． 新知探究 定理：数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 1.是真命题； 2.是用逻辑推理证明的； 3.作用是证明其他的依据 比如：“内错角相等，两直线平行”这条定理就是在“同位角相等,两直线平行”这条基本事实的基础上推理而出的,它又可以作为判定平行线的依据. 新知探究 基本事实、定理、命题的关系： 命题 真命题 假命题 基本事实（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实） 证明其他命题正确的依据 归纳 (1)一位同学在钻研数学题时发现: 2 + 1=3, 2 × 3 + 1 =7, 2 × 3 × 5+1 =31, 2 × 3 × 5 × 7 + l = 211. 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 思考 他的结论正确吗？ 计算一下 2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1， 你发现了什么？ (2)如图所示，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 他的结论正确吗？ 思考 画一个钝角三角形试试看. 钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，所以该同学的说法不正确 (3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论. 思考 上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 定义：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 归纳 例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）， 又∵∠C=90°(已知)， ∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质). 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理. 典型例题 方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据. 归纳 如图所示，下列推理不正确的是(　　) A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180° B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD C 巩固练习 证明 定义 定义、定理与证明 步骤：(1)根据题意作出图形. (2)写出已知和求证. (3)写出证明的过程 基本事实 、定理 课堂小结 1．下列真命题能作为基本事实的是(　　) A．对顶角相等 B．三角形的内角和是180° C．在同一平面没，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 C 2．“经过两点有且只有一条直线”是(　　) A．基本事实 B．假命题 C．定义 D．以上都不是 A 随堂小练 3.下列命题可作为定理的有(　　) (1)两直线平行，同旁内角互补；(2)相等的角是对顶角； (3)等角的补角相等；(4)垂线段最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 随堂小练 4.根据题意可知，下列说理过程中所依据的基本事实或定理是_______________________． 如图，若∠1＝∠4，则AB∥CD； 若∠2＝∠3，则AD∥BC. 内错角相等，两直线平行 随堂小练 5.如图，B，A，E三点在同一直线上，AD∥BC；∠B＝∠C；求证：AD平分∠EAC. 证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠B＝∠EAD（两直线平行，同位角相等）， ∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）. 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠EAD＝∠DAC（等量代换）， 即AD平分∠EAC. 随堂小练 $