13.1.2 直角三角形的判定（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

2.直角三角形的判定 1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点) 2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.(难点) 一、情境导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角． 你知道这是什么道理吗？ 二、合作探究 探究点一：勾股定理的逆定理 【类型一】 判断三角形的形状 判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形． (1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°； (2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25； (3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2. 解析：(1)已知两角可以求出另外一个角；(2)使用勾股定理的逆定理验证；(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证． 解：(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形； (2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，∴AC2＋AB2＝BC2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形； (3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2.根据勾股定理的逆定理可知， △ABC是直角三角形． 方法总结：在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的最大边的平方等于另外两边的平方和． 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形　 B．锐角三角形 C．钝角三角形　 D．以上答案都不对 解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC＝＝5，AC＝＝3，AB＝＝.在△ABC中，∵BC2＋AC2＝50＋18＝68，AB2＝68，∴BC2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．故选A. 方法总结：要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系 如图，已知在边长为4的正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD.求证：CE⊥EF. 解析：根据题设提供的信息，可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明． 证明：连接CF.∵四边形ABCD是边长为4的正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4. ∵点E为AB中点，AF＝AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE. 方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法． 【类型三】 勾股数 判断下列几组数中，一定是勾股数的是(　　) A．1，，　　　　 B．8，15，17 C．7，14，15 D.，，1 解析：选项A不是，因为和不是正整数；选项B是，因为82＋152＝172，且8、15、17是正整数；选项C不是，因为72＋142≠152；选项D不是，因为与不是正整数．故选B. 方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，且满足勾股定理逆定理.例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． 探究点二 勾股定理与逆定理的综合应用 【类型一】 运用勾股定理及逆定理解决面积问题 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积． 解析：连接AC，根据已知条件可求出AC，再运用勾股定理可证△ACD为直角三角形，然后可分别求出两个直角三角形的面积，两者面积相加即为四边形ABCD的面积． 解：连接AC.∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°. ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144. 方法总结：将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等． 【类型二】勾股定理及逆定理的实际应用 一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km． （1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间． （2）C岛在A港的什么方向？ 解析：（1）Rt△ABC中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD=BC-BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间=路程÷速度；（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC=90°．由方向角的定义作答． 解：（1）由题意知AD=60km，Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，得602+BD2=1002． ∴BD=80（km）．∴CD=BC-BD=125-80=45（km）．在Rt△ADC中：AC2=CD2+AD2=452+602=752，即AC=75（km），75÷25=3（小时）． 答：从C岛返回A港所需的时间为3小时． （2）∵AB2+AC2=1002+752=15625，BC2=1252=15625， ∴AB2+AC2=BC2．∴∠BAC=90°．∴∠NAC=180°-90°-48°=42°． ∴C岛在A港的北偏西42°的方向． 方法总结：明确各方位角所对应的角，并灵活运用勾股定理及其逆定理求线段和角从而解决问题． 三、板书设计 勾股定理的逆定理： 如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． 经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣． 学科网（北京）股份有限公司 $