13.1.1 第2课时 勾股定理的简单应用（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

第2课时 勾股定理的验证及简单应用 1．利用拼图的方法验证勾股定理；(重点) 2．掌握勾股定理及其简单应用．(难点) 一、情境导入 (1)如图，你能用两种方法表示大正方形的面积吗？ (2)你能由此得到勾股定理吗？ 二、合作探究 探究点一：勾股定理的验证 作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再作三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形． 证明：a2＋b2＝c2. 解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理． 证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a＋b，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a2＋b2＋ab×4，右边的正方形面积可表示为c2＋ab×4.∵a2＋b2＋ab×4＝c2＋ab×4，∴a2＋b2＝c2. 方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理． 探究点二：勾股定理的简单运用 如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒ABCD，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽AB还要长2cm，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘AB距离为6cm，求铅笔盒的宽AB的长度． 解析：设铅笔盒的宽AB的长度为x cm，则笔长为（x+2）cm，根据勾股定理列方程即可得到结论． 解：设铅笔盒的宽AB的长度为x cm，则笔长为（x+2）cm，根据题意得x2+62=，解得x=8. 答：铅笔盒的宽AB的长度8cm． 方法总结：会在实际问题中找到直角三角形模型，并根据勾股定理列方程从而解决问题. 如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米． （1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？ 解析：（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度;（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子底端水平方向上滑行的距离． 解：（1）在Rt△AOB中：根据勾股定理得AO=＝2（米）. （2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2－0.5）＝1.5（米）， 根据勾股定理：OB′==2（米），所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2－1.5=0.5（米）. 答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米． 方法总结：解决本题的关键是明确题目中的不变量和多次运用勾股定理. 如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和． 解析：运用“两点之间线段最短”先确定出P点在A1B1上的位置，再利用勾股定理求出AP＋BP的长． 解：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，交A1B1于P点，连BP.则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知P点即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km，故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km. 方法总结：解这类题的关键在于运用几何知识正确找到符合条件的P点的位置，会构造Rt△AB′E. 三、板书设计 勾股定理 通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，学会勾股定理的应用并逐步培养学生应用数学解决实际问题的能力，为后面的学习打下基础. 学科网（北京）股份有限公司 $