13.1.1 直角三角形三边的关系 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.1.1 直角三角形三边的关系 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 满分：120分 时间：100分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为（   ） A．13 B．13或 C．13或15 D． 2．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的面积分别是5和7，则正方形的面积为（   ） A．9 B．12 C．14 D．35 3．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 第5题图 第4题图 第3题图 第2题图 4．如图，是由小正方形拼成的网格，若每个正方形的边长为1，连接2个格点可得到长为的线段，这样的线段的总数为（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．14条 5．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 6．如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为， 的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（   ） A． B． C．3 D． 8．如图，四边形中，于点，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 9．如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 第10题图 第9题图 第11题图 第8题图 10．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 11．如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，，点O是的中点，连接并 延长至点D，使，作交的延长线于点E，则的长为（   ） A．9 B． C．8 D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度 m． 14．如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将三角形纸片折叠，使得点与边上的点重合，折痕为，则的长为 ． 第16题图 第15题图 第13题图 第14题图 15．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 16．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是 ． 三、解答题（共72分） 17．（12分）在Rt中，，，，分别是中，，的对边． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求，． 18．（10分）如图，在中，，，，求： (1)边上的高的长度； (2)的面积． 19．（10分）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 20．（12分）如图，将的绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长相交于点，则有，且四边形是一个正方形． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（12分）如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的长； 22．（16分）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得； 请根据以上方法解决求边上的中线的取值范围； (2)受到（1）的启发，请你解决下面的问题： 如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 13.1.1 直角三角形三边的关系 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C D A C B B 题号 11 12 答案 D B 1．B 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】当12是斜边时，第三边是； 当12是直角边时，第三边是． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，如果给的数据没有明确，此类题一定要分情况求解． 2．B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形判定与性质、勾股定理，解本题的关键在证明． 根据正方形的性质，得出，，，，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等量代换，得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质和勾股定理，结合正方形的面积，求解即可． 【详解】解：如图，作以下标记： ∵、、都是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中， ∴， 又∵，，， ∴， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为， 由勾股定理得：，即， ， ， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 4．D 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理可得长为的线段看作是长为2，宽为1的长方形的对角线，即可求解． 【详解】解：因为， 所以长为的线段看作是长为2，宽为1的长方形的对角线， 如图， 共有14条线段． 故选：D 5．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键． 设，则，故，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，解得：． ∴绳索的长是． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度，即可得出结果． 【详解】解：点表示的数为，点表示的数为， ， ，， ， 点表示的数为， 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．在中，，可知是直角三角形，，，根据勾股定理可知，将绕点逆时针旋转，所以，，所以连接（图示见详解），在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，是直角三角形，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得，且，， ∴，如图所示，连接， 在中，． 故选：． 8．C 【分析】由题意得和是直角三角形，根据勾股定理可得，，然后根据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理的运用，根据题中的已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理计算，解题中注意直角边与斜边． 9．B 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键． 根据等腰三角形性质得到，，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解： 和都是等腰直角三角形，，， ，， ． 故选：B． 10．B 【分析】本题考查三角形中求面积，涉及勾股定理求线段长、角平分线性质及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 首先，在中，由勾股定理求出，然后过点作于点，如图所示，由角平分线性质得到，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图所示： 的平分线交于点，，， ， 的面积是， 故选：B． 11．D 【分析】本题考查了折叠问题的性质，勾股定理，由折叠可得，，设，则，又由已知得，再在中利用勾股定理解答即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，， 设，则， ，四边形为长方形，点为的中点， ∴， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， 故选：． 12．B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定等知识﹒先根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理求出﹒证明得到，，根据勾股定理即可求出﹒ 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点O是的中点， ∴, ∴﹒ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，﹒ 故选：B 13．300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：． 故答案为：300． 14．3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求得，设，根据折叠的性质可得，，，则，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 设， 依题意，，，， ∴，， 在中， 即， 解得：，即， 故答案为：． 15．38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 16．5或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，分是以为底边的等腰三角形和是以为底边的等腰三角形两种情况，结合等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】解：当是以为底边的等腰三角形时，则， 由题意得，， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴当时，点P一定在的延长线上， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当是以为底边的等腰三角形时，则， ∴； 综上所述，t的值为5或， 故答案为：5或． 17．(1)； (2)； (3)，． 【分析】本题主要考查了用勾股定理解直角三角形，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 根据中，，可得即可求出的值； 根据中，，可得即可求出的值； 根据中，，可得，根据，设，，从而可得，解方程求出的值即可得到、的值． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理可得：， ，， ， ； （2）解：在中，， 由勾股定理可得：， ，， ， ； （3）解：在中，， 由勾股定理可得：， 设，， 由， 可得：， ， ，． 18．(1)12 (2)84 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的高，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先，则，又因为是边上的高，则运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设， ∵ 则， ∵是边上的高，， ∴ ∴， 解得， ∴， （负值已舍去）． （2）解：由（1）得，是边上的高， ∵， ∴． 19．(1) (2) 【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解； （2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由折叠性质得， 中，， 即， 又，， ， 故答案为：； （2）解：由折叠性质得， 设，则， 中，， 即， 解得， 即． 【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 20．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由旋转的性质得，，，即得，又由，进而得到，化简即可求证； （）利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的几何背景，旋转的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵将的绕其锐角顶点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即； （2）解：∵，即，， ∴，， ∵， ∴． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是旋转性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由旋转性质得：，，结合等腰直角三角形性质可利用证明，最后由全等三角形性质即可得证； （2）结合全等三角形性质、等腰直角三角形性质推得是直角三角形，由勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点B顺时针方向旋转到， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴（）， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 22．1．(1) (2)①见详解；②，证明见详解 【分析】（1）延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． （2）①延长到G，使得，再连接、，根据证明，则可得，根据线段垂直平分线的性质可得，将，，转换 到一个三角形中，利用三角形三边之间的关系即可得出结论． ②由全等易知，又因，可得，可得三边之间存在勾股定理关系，据此解答． 【详解】（1）解：延长到E，使得，再连接， ∵是边上的中线， ∴ 又∵， 则， ， 在中，， ∴， ∴， 则； （2）解：①延长到G，使得，连接、． ∵D是边上的中点， ∴， 又∵， 则， ， ， ． 在中，， ． ②若，.证明如下： 若，则， 由①知， ∴， ， 即， ∴在中，， 又∵， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的做出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $