12.4.2线段垂直平分线课件2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质定理与判定定理，通过“线段是否为轴对称图形”“对折后线段重合”等问题导入，衔接轴对称知识，以动手操作、测量验证为支架，引导学生从直观感知到逻辑证明构建知识脉络。 其亮点在于以“探究—证明—应用”为主线，通过对折实验培养几何直观，表格对比性质与逆定理发展推理意识，三角形垂直平分线交点证明体现模型观念。例题与分层练习结合，助力学生提升问题解决能力，教师可依托此资料高效开展探究式教学。

第十二章 全等三角形 12.4.2 线段垂直平分线 数学华东师大版八年级上册 01 教学目标 经历探索线段垂直平分线的性质定理与判定定理的过程，进一步体验轴对称的特点，体会互逆定理之间的关系. 01 会运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题，培养学生观察、发现、分析问题的能力，激发学生科学探究的兴趣. 02 提出问题，根据问题归纳线段垂直平分线的性质定理与判定定理，发展学生的空间想象. 03 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A B C D O 对称轴：线段的垂直平分线 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴. 思考：线段的垂直平分线有哪些性质呢？ 02 新知导入 【想一想】如图，直线CD垂直平分线段AB，在直线CD上任取一点 M，连结MA与MB，想一想，如果我们把线段AB沿直线CD对折，线段MA与MB会重合吗? 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是MN上任意一点. 活动一：线段垂直平分线的性质定理 A B M N C P 思考：(1)连结PA、PB，将线段沿直线MN对折，你会发现什么？ D DA=DB PA与PB完全重合. (2)换个点试试，连结DA、DB，量一量DA、DB的长，你又发现了什么？ 03 新知探究 探究 探究线段垂直平分线的性质定理 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是MN上任意一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合。 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴. 于是有：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 思考：(3)通过刚才的探究与测量，你有什么猜想，如何验证？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 活动一：线段垂直平分线的性质定理 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是MN上任意一点. A B M N C P D 03 新知探究 探究 探究线段垂直平分线的性质定理 已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 分析：图中有Rt△APC和Rt△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB. 03 新知探究 探究 探究线段垂直平分线的性质定理 已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 证明：∵MN⊥AB，∴∠ACP=∠BCP=90°， 在△ACP和△BCP中， ∵AC=BC，∠ACP=∠BCP=90°，PC=PC， ∴△ACP≌△BCP，∴PA=PB. 总结 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言： ∵MN⊥AB，AC＝BC，点P在MN上， ∴AP＝BP. A B M N C P 点在线段垂直平分线上 距离(线段)相等 活动一：线段垂直平分线的性质定理 总结归纳 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 数学语言： ∵MN垂直平分AB ， ∴PA=PB. 活动二：性质定理的逆定理 探索：这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条件 结论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 这个逆命题是真命题吗？你能证明吗？ 03 新知探究 【例】如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AB=8，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E和点D，△AEC的周长为13，求AC的长. 解：∵DE垂直平分BC，∴BE=CE， ∴C△AEC=AC+AE+CE =AC+AE+BE =AC+AB ∴13=8+AC，∴AC=5. 03 新知探究 探究 探究线段垂直平分线性质定理的逆定理 【探索】”线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等“这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢? 条件 结论 性质定理 逆命题 线段垂直平分线上的点 点到线段两端的距离相等 到线段两端距离相等的点 点在线段的垂直平分线上 活动二：性质定理的逆定理 A B Q 证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点 C， M N C ∵ QA=QB，QC⊥AB， ∴ AC=BC (等腰三角形的三线合一). ∴ 点Q在线段AB的垂直平分线上. 已知：如图，QA=QB，求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 思路1：QC⊥AB 活动二：性质定理的逆定理 A B Q 证明：取线段AB的中点C，则AC=BC. ∵QA=QB，AC=BC， ∴QC⊥AB(等腰三角形的三线合一). ∴点Q在线段AB的垂直平分线上. M N C 思路2：AC=BC 已知：如图，QA=QB，求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 03 新知探究 探究 探究线段垂直平分线的性质定理 想一想：上述填写的逆命题是否是一个真命题？ 怎样证明这个命题是否正确？ 已知：如图，QA = QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 03 新知探究 探究 探究线段垂直平分线的性质定理 证明：如图，过点Q作MN⊥AB，垂足为点C. ∵ QA = QB，QC ⊥AB， ∴ AC=CB(等腰三角形的三线合一). ∴点Q在线段AB的垂直平分线上. 总结 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵QA=QB， ∴点Q在AB的垂直平分线上． 活动二：性质定理的逆定理 A B Q M N C 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 总结归纳 于是就有定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 数学语言： ∵ PA=PB，CA=CB， ∴ PC垂直平分AB . 探究：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？ A B C O m n l 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等． 思考：怎样证明这个结论呢？ 分析：只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了. 活动三：性质定理与性质定理的逆定理的应用 03 新知探究 探究 探究三角形三边的垂直平分线相交于一点 上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明： 三角形三边的垂直平分线交于一点. 从图中可以看出，要证明三角形三边的垂直平分线交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了. l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 OA=OB OB=OC OA＝OC 点O在AC的垂直平分线n上 A B C O m n l 请你写出证明过程. 活动三：性质定理与性质定理的逆定理的应用 A B C O m n l 证明：连接 OA，OB，OC. ∵ 点O在AB，AC的垂直平分线上， ∴ OA=OB，OA=OC (线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等). ∴ OB = OC. ∴ 点O在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，且到三个顶点的距离相等. 活动三：性质定理与性质定理的逆定理的应用 03 新知探究 探究 探究三角形三边的垂直平分线相交于一点 其思路可表示如下： 试试看，现在你会证明了吗？ 03 新知探究 探究 探究三角形三边的垂直平分线相交于一点 证明：∵ l 是AB的垂直平分线，m是BC的垂直平分线，∴OA=OB，OB =OC， ∴OA =OC ， ∴点O在AC的垂直平分线n上， 即AB、AC、BC的垂直平分线相交于点O. 解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CD=BD， ∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB. 由题意，得AB-AC=3，AB+AC=15. 解得：AB=9，AC=6，∴AB的长为9cm，AC的长为6cm. 分析：根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得CD=BD，则△ACD 的周长可转化为AB+AC，由此可得AB和AC之间的数量关系. 经典例题 如图，在△ABC中，AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.已知△ACD的周长是15cm，求AB和AC的长. B E A D C 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线． 经典例题 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠ACB， 在△ADE和△ADC中， ∠AED＝∠ACB，∠DAE＝∠DAC，AD=AD， ∴△ADE≌△ADC(AAS)，∴CD=DE，AC=AE， ∴点D在CE的垂直平分线上，点A也在CE的垂直平分线上， ∴直线AD是CE的垂直平分线．  04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，PQ是线段 AB的垂直平分线，则下列结论一定正确的是( ）. A. AP =BP B. BQ = AP C. AB = AP D. PQ = BQ B 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交 AC于点D，连结BD. 若AC=8，CD = 5，则BD =_____. 3 3.如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，且BD+AD=BC. 求证：点D在边AC的垂直平分线上 . A B C D 证明：∵BD+AD=BC，BD+CD=BC， ∴AD=CD， ∴点D在边AC的垂直平分线上. 教材 练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4.如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则( ). A.点P在∠ABC的平分线上 B.点P在∠ACB的平分线上 C.点P在边AB的垂直平分线上 D.点P在边BC的垂直平分线上 D 性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言： ∵MN⊥AB，AC=BC，点P在MN上， ∴AP＝BP. 线段垂直平分线 性质的 逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵QA＝QC， ∴点Q在AB的垂直平分线上． $